Faktor

I matematik er faktoren for et naturligt tal n et produkt af strengt positive heltal mindre end eller lig med n .

Denne operation bemærkes med et udråbstegn , n !, Der læser enten "factorial of n " eller "factorial n" eller "n factorial" (sidstnævnte udtryk er det mindst anvendte). Denne notation blev introduceret i 1808 af Christian Kramp .

F.eks. Udtrykker faktor 10 antallet af mulige kombinationer af placering af de 10 gæster omkring et bord (vi siger permutationen af gæsterne). Den første gæst sidder på et af de 10 steder, han har til rådighed. Hver af sine 10 placeringer åbner 9 nye muligheder for den anden gæst, disse 8 for den tredje osv.

Faktoriet spiller en vigtig rolle i kombinatorisk algebra, fordi der er n ! forskellige måder at permutere n objekter på. Det vises i mange formler i matematik, såsom binomialformlen og Taylor-formlen .

Definition

ikke	n !
0	1
1	1
2	2
3	6
4	24
5	120
6	720
7	5.040
8	40.320
9	362.880
10	3.628.800
11	39 916 800
12	479 001600
13	6 227 020 800
14	87 178 291 200
15	1.307.674.368.000
16	20.922.789.888.000
17	355 687 428 096 000
18	6 402 373 705 728 000
19	121645100408832000
20	2.432.902.008 176.640.000
...	...
25	1.551 1210043333 098 598 4 × 10 25
Bemærkninger: Se følgende A000142 i OEIS for flere eksempler. Den decimale del af værdien på 25! Vist i videnskabelig notation er korrekt.

Lad n være et naturligt tal. Dens faktor er defineret formelt af:

{\ displaystyle n! = \ prod _ {1 \ leqslant i \ leqslant n} i = 1 \ gange 2 \ gange 3 \ gange \ ldots \ gange (n-1) \ gange n.}

Tabellen til højre giver de første fabriksbilleder; for eksempel har vi

1! = 1
2! = 1 × 2 = 2
3! = 1 × 2 × 3 = 6
4! = 1 × 2 × 3 × 4 = 24
10! = 1 × 2 × 3 × 4 × 5 × 6 × 7 × 8 × 9 × 10 = 3.628.800

Værdi på 0!

Denne definition giver også

0! = 1

da det tomme produkt efter konvention er lig med det neutrale element i multiplikationen. Denne konvention er praktisk her, fordi den gør det muligt at tælle formler opnået i kombinatorisk analyse stadig er gyldige i nul størrelser. Især er antallet af arrangementer eller permutationer for det tomme sæt lig med 1.

Der er også en definition ved induktion (ækvivalent) af det faktuelle:

0! = 1.
For ethvert heltal n > 0, n ! = ( n - 1)! × n .

Endelig giver Gamma-funktionen , som analytisk udvider faktorielt, et konsekvent resultat:

{\ displaystyle \ Gamma (n) = (n-1)! \ qquad n \ i \ mathbb {N} _ {0},}

{\ displaystyle \ Gamma (1) = 1 = 0!}

Ejendomme

Faktoren omvendt er ekspansionskoefficienterne i effektserier for den eksponentielle funktion : ${\ displaystyle \ mathrm {e} ^ {x} = \ sum _ {n = 0} ^ {+ \ infty} {\ frac {x ^ {n}} {n!}}}$ ,tilfældet $x$ = 1 giver værdien af konstanten $e$ : $\ sum _ {{n = 0}} ^ {{+ \ infty}} {\ frac 1 {n!}} = {\ mathrm e} = 2.718 \, 281 \, 828 \, 459 \ ldots$ .
De n - 1 på hinanden følgende heltal n ! + 2, n ! + 3,…, n ! + n er sammensat . Så der er heltal heltal så store som vi vil, hvor der ikke er noget primtal .

Generalisering

Faktoren funktion har til forlængelse, for alle komplekse tal andre end strengt negative heltal, ansøgningen z ↦ Γ ( z + 1) , hvor Γ betegner gammafunktionen af Euler . Faktisk har vi for ethvert naturligt tal n :

n! = \ int _ {0} ^ {{\ infty}} t ^ {n} {{\ rm {e}}} ^ {{- t}} {{\ rm {d}}} t = \ Gamma (n + 1).

Desuden opfylder funktionen z ↦ Γ ( z + 1) den samme gentagelsesrelation som det faktuelle:

{\ displaystyle \ forall z \ i \ mathbb {C} \ setminus (- \ mathbb {N}), \ quad \ Gamma (z + 1) = z \ Gamma (z).}

Denne vision om (oversat) gammafunktion som en privilegeret udvidelse af faktoriet er berettiget af følgende grunde:

de to funktioner deler den samme tilbagevendende definition;
gammafunktionen bruges generelt i en sammenhæng, der ligner (selvom den er mere generel) til den faktiske;
gamma-funktionen er den eneste funktion, der tilfredsstiller denne definition af induktion på komplekse tal, som er holomorf, og hvis logaritme for begrænsningen til positive realer er konveks ( Bohr-Mollerup sætning ).

Der er dog andre udvidelser med "gode egenskaber" såsom " Gamma-funktion Hadamard (in) ", som er fuld .

Tilnærmelse

Den Stirling formel giver en tilsvarende af n ! når n er stor:

{\ displaystyle \ lim _ {n \ to + \ infty} {\ frac {n!} {{\ sqrt {2 \ pi n}} \ left ({\ frac {n} {\ mathrm {e}}} \ højre) ^ {n}}} = 1}

hvorfra

{\ displaystyle n! \ sim {\ sqrt {2 \ pi n}} \, {\ left ({\ frac {n} {\ mathrm {e}}} \ right)} ^ {n}}

hvor tallet $e$ betegner bunden af det eksponentielle .

Vi udleder en tilnærmelse af logaritmen af n ! :

{\ displaystyle \ ln \ left (n! \ right) \ simeq n \ ln \ left (n \ right) -n}

Eksempler på applikationer

I kombinatorik findes der n ! forskellige måder at arrangere n forskellige objekter på (dvs. n ! permutationer ). Og antallet af måder at vælge k- elementer fra et sæt n er givet ved binomialkoefficienten :

{n \ vælg k} = {n! \ over k! (nk)!}.

Fakta vises også i analysen . F.eks. Involverer Taylors sætning , som udtrykker værdien ved x for en funktion ƒ som en heltalsserie , det faktuelle n ! for udtrykket, der svarer til det niende derivat af ƒ ved x .

Den volumen af en hypersphere i selv $n$ dimension kan udtrykkes ved:

{\ displaystyle \ mathrm {V} _ {n} = {\ frac {\ pi ^ {\ frac {n} {2}} \ mathrm {R} ^ {n}} {\ left ({\ frac {n} {2}} \ højre)!}}.}

Fakta bruges i vid udstrækning i sandsynlighedsteorien .

Fakta bruges ofte som et eksempel - med Fibonacci-sekvensen - til at lære rekursion inden for datalogi på grund af deres enkle tilbagevendende definition.

Talteori

Fakta har mange anvendelser inden for talteori .

For eksempel viser Wilsons sætning , at et heltal n > 1 er primært, hvis og kun hvis ( n - 1)! ≡ –1 (mod n ).

Især hvis n er primær, så deler den ikke ( n - 1)! Hvilket desuden kan udledes direkte fra Euclids lemma ; det omvendte er næsten sandt: hvis n er et andet sammensat tal end 4, så ( n - 1)! ≡ 0 (mod n ).

Et bevis på denne sidste sætning bruger, at et produkt P med k på hinanden følgende heltal altid kan deles med k (da en af k- faktorerne er ). Faktisk er P endda delelig med k ! vi kan bevise det ved at udtrykke P / k ! som en binomialkoefficienten , eller ved at sammenligne, for ethvert primtal p , den mangfoldighed af p i de primære faktor dekomponeringer af P og k ! takket være Legendre formel .

Den eneste faktor, der også er et primtal, er 2, men der er primtal fra formen n ! ± 1, kaldet faktorielle primtal .

Varianter

Mange forfattere har defineret lignende funktioner, der vokser endnu hurtigere, såvel som produkter, der kun er begrænset til visse heltal. Vi finder således i litteraturen de primære , multifaktorielle, superfaktoriske, hyperfaktorielle osv. Funktioner. Men det ser ikke ud til, at disse andre funktioner, i modsætning til det faktuelle, allestedsnærværende i de fleste grene af matematik, har haft mange andre anvendelser end rekreative , undtagen de primære; Hvad angår brugen af dem til at betegne meget stort antal , viser Knuths notationer og dem af Conway at være både mere håndterbare og meget mere effektive.

Algoritme

Beregningen af faktoriet kan oversættes med følgende rekursive algoritme , skrevet i pseudokode :

Fonction factorielle (n: entier): entier Début Si n > 1 Retourner n * factorielle(n - 1) Sinon Retourner 1 Fin si Fin

Noter og referencer

(fr) Denne artikel er helt eller delvist hentet fra den engelske Wikipedia- artikel med titlen " Faktor " ( se listen over forfattere ) .

Jean Dieudonné , Til ære for den menneskelige ånd: matematik i dag , Hachette ,1988, 316 s. ( ISBN 978-2-01-014000-6 , OCLC 20000703 ) , s. 102.
(i) HM Srivastava og Junesang Choi, Zeta og q-Zeta funktioner og associerede serie og integraler , Elsevier,2011( læs online ) , s. 124.
Gauss , aritmetisk forskning , § 127 .
" Er det de samme beviser? " , På Gowers 's weblog ,2010.
Især i OEIS .

Se også

Relaterede artikler

eksterne links

factorial n! på siden factorielle.free.fr
(en) Peter Luschny, " Hurtige faktorielle funktioner "