Artinian ring

I kommutativ algebra er en kunstnerisk ring en ring, der tilfredsstiller den faldende kædebetingelse for dens idealer . Artinske ringe skylder deres navn den østrigske matematiker Emil Artin .

Definition

Vi siger, at en kommutativ (enheds) ring A er en artistisk ring, hvis den er en A - artinian modul , med andre ord, hvis en faldende sekvens af idealer for A er stationær. Dette svarer til at sige, at ethvert ikke-tomt sæt idealer A indrømmer et minimalt element (for inklusionsrelationen).

For en ikke-kommutativ (enheds) ring definerer vi også forestillingerne om kunstner til venstre og kunstner til højre (relateret til idealer til venstre og til højre). Hvis ringen er enkel , det vil sige hvis den ikke er nul og ikke indrømmer andre bilaterale idealer end {0} og i sig selv, falder forestillingerne om kunstner til venstre og kunstner til højre sammen.

Eksempler

Hver færdig ring er kunstnerisk.
Hver krop er kunstnerisk.
Ringen af heltal er ikke artinian: $\ Z \ supsetneq2 \ Z \ supsetneq2 ^ 2 \ Z \ supsetneq2 ^ 3 \ Z \ supsetneq \ cdots.$ Ligeledes og mere generelt kan en integreret ring, der ikke er en krop, ikke være kunstnerisk.
Lad A en noetherian ring og M en maksimal ideal af A . Derefter er A / M n , hvor n er et strengt positivt heltal, en kunstnerisk ring. Det er faktisk af begrænset længde som et A- modul.
Hvis k er et felt, den kvotientringe k [T] / (T n ) er artinian. Dette er et specielt tilfælde i det foregående eksempel. Disse ringe er grundlaget for teorien om deformationer i algebraisk geometri . Mere generelt er endelige dimensionelle k- algebraer artinske ringe, da de er artinske k- moduler, og deres idealer er k - submoduler .
Hvis A er en Noetherian ring, og hvis P er et minimalt prime ideal (dvs. ikke indeholder noget andet prime ideal), så er den lokaliserede A P en artistisk ring. I algebraisk geometri fremstår en artinisk ring som den lokale ring af et Noetherian-skema på et generisk punkt .

Ejendomme

På en Artinian ring (til venstre), enhver Artinian eller finite typen modul (til venstre) er af endelig længde , i andre ord både Artinian og Noetherian .
Især er enhver Artinian-ring til venstre Noetherian til venstre.
Klassen af kunstneriske ringe er stabil efter kvotient og direkte færdigt produkt .
Enhver kunstnerisk kommutativ ring har nul Krull-dimension , det vil sige, at dens primære idealer er maksimale.
Enhver kunstnerisk kommutativ ring er det direkte produkt af et begrænset antal lokale ringe . Med andre ord: en sådan ring har kun et endeligt antal maksimale idealer, og den er isomorf til det direkte produkt af de tilsvarende lokaliserede (disse faktorer er stadig kunstneriske af to grunde: så lokaliserede eller som kvotienter).

Karakterisering :
- En kommutativ ring er kunstnerisk, hvis - og kun hvis den ifølge det foregående - er etherisk og uden nul Krull-dimension;
- Enten En lokal ring, med maksimal ideal M . Så er A kunstnerisk, hvis og kun hvis M n = 0 for et strengt positivt heltal n .

Noter og referencer

(en) MF Atiyah og IG Macdonald , Introduktion til kommutativ algebra , Addison-Wesley , 1969, kap. 8

N. Bourbaki , Elements of mathematics , Algebra , Chapter 8, § 7, proposition 1, (ii), p. VIII.115 ; definition 1, s. VIII. 116 og følge 1, b, s. VIII.117 . Bemærk, at i Bourbaki er en simpel ring defineret andet end i denne artikel.
N. Bourbaki , Elementer i matematik , Algebra , kapitel 8, s. VIII.5 .
N. Bourbaki, Elementer i matematik, Algebra, kapitel 8 , s. VIII.7 .
N. Bourbaki, Elements of mathematics, Algebra, Chapter 8 , Paris, 1981, reed. 2012, delvist tilgængelig på Google Books og på Springer Publishing-webstedet , s. VIII.5-6 .
N. Bourbaki, Elementer i matematik , Algebra , kapitel 8, s. VIII.8 .
(i) David Eisenbud , Kommutativ Algebra with a View Toward algebraisk geometri , Springer , al. " GTM " ( nr . 150)2004( 1 st ed. 1995) ( læses online ) , s. 76(i dette arbejde - jf. s. 11 - antages alle ringe at være kommutative).
Serge Lang , Algebra [ detaljerede udgaver ], Dunod, 2004, s. 456 , øvelse 10.9.
(i) Robert B. Ash, et kursus i kommutativ algebra ( læses online ) , " Primær nedbrydningsprodukter og associerede Bonusser " , s. 12-13, forslag 1.6.5 og 1.6.7.

Relateret artikel

Ring halv perfekt (in)