Transponeret ansøgning

I matematik og mere præcist i lineær algebra er det transponerede kort over et lineært kort u : E → F mellem to vektorrum kortet t u : F * → E * mellem deres dualer defineret af:

\ forall \ ell \ i F ^ {*}, \ qquad ^ {\ operatorname {t}} \! u (\ ell) = \ ell \ circ u

eller igen, hvis er krogen på dobbelthed af E : ${\ displaystyle \ langle \ ;, \ \ rangle}$

\ forall x \ i E, \ forall \ ell \ i F ^ {*}, \ qquad \ langle ^ {\ operatornavn {t}} \! u (\ ell), x \ rangle = \ langle \ ell, u ( x) \ rangle.

Den resulterende lineære form kaldes det transponerede kort over langs . ${\ displaystyle ^ {\ operatorname {t}} \! u (\ ell) \ i E ^ {*}}$ $\ Ell$ $u$

Denne definition generaliserer til K- moduler til højre på en ring (ikke nødvendigvis kommutativ ), idet man husker at dualiteten af et K- modul til højre er et K- modul til venstre eller et højre modul på l ' modsat ring K op .

Ejendomme

Kortet t u, der således er forbundet med u, er ligesom det lineært.
Kortet, der forbinder dets transponering til et lineært kort kaldes transponering. Det er i sig selv et lineært kort fra L ( E , F ) til L ( F *, E *).
Transponeringsansøgningen er kompatibel med sammensætningen : hvis u er lineær fra E til F og v lineær fra F til G , $^ {\ operatorname {t}} \! (v \ circ u) = ^ {\ operatorname {t}} \! u \ circ ^ {\ operatorname {t}} \! v.$ (Især hvis u er en isomorfisme, så er det inverse af transponeringen af u lig med transponeringen af det inverse af u .)
For alle dele A af E og B af F har vi [ u ( A )] ⊥ = ( t u ) −1 ( A ⊥ ), og u ( A ) ⊂ B ⇒ t u ( B ⊥ ) ⊂ A ⊥ .
Hvis E og F er endelige dimensionelle vektorrum i et kommutativt felt med respektive baser B og C , så er matrixen for transponering af u , i de dobbelte baser C * og B *, transponeringen af matrixen for u i databaser B og C : $mat_ {C ^ {*}, B ^ {*}} (^ {\ operatorname {t}} \! u) = ^ {\ operatorname {t}} \! (mat_ {B, C} (u)).$ Ja, hvis B = ( e 1 , ..., e n ) og C = ( f 1 , ..., f m ), elementet af indeks i, k af matrixen mat C *, B * ( t u ) er < t u ( f k *), e i > og elementet af indeks k, jeg af matricen måtten B , C ( u ) er < f k *, u ( e i )>.
Betragtning af, at matricen af et kompositmateriale er produktet af matricer , finder man, fra de to foregående punkter, giver formlen T ( AB ) = t B . t A .

Ansøgning transponeret generelt

Begrebet transponeret kommer i spil på en meget mere generel måde. Hvis vi har en applikation mellem to sæt: $f$

$f: X \ højrepil Y$ .

Vi udleder for ethvert sæt en ansøgning : $Z$ $f ^ {*}$

${\ displaystyle f ^ {*}: \ mathrm {Hom} _ {Set} (Y, Z) \ rightarrow \ mathrm {Hom} _ {Set} (X, Z)}$

defineret af hvor betegner sæt af kortlægninger af in . $f ^ {*} (g) = g \ circ f$ ${\ displaystyle \ mathrm {Hom} _ {Ensemble} (A, B)}$ $B ^ A$ $PÅ$ $B$

Hvis , og er grupper , kan vi bruge præcis den samme definition til konstruktion $x$ $Y$ $Z$

$f ^ {*}: \ mathrm {Hom} _ {Group} (Y, Z) \ rightarrow \ mathrm {Hom} _ {Group} (X, Z)$

hvor denne gang betegner sæt af morfismer af grupper af in . $\ mathrm {Hom} _ {Group} (A, B)$ $PÅ$ $B$

Transponeringen Man kunne endda definere en ring homomorfi , af topologiske rum , af topologiske vektorrum , etc.

Denne konstruktion falder derfor inden for de generelle rammer for kategoriteori .

Hvis er en kategori , er objekter af, og er et element af . Så for ethvert objekt med er der en applikation kaldet en transponering af : ${\ mathfrak {C}}$ $x$ $Y$ ${\ mathfrak {C}}$ $f$ ${\ displaystyle \ mathrm {Hom} _ {\ mathfrak {C}} (X, Y)}$ $Z$ ${\ mathfrak {C}}$ $f ^ {*}$ $f$

${\ displaystyle f ^ {*}: \ mathrm {Hom} _ {\ mathfrak {C}} (Y, Z) \ rightarrow \ mathrm {Hom} _ {\ mathfrak {C}} (X, Z)}$ .

Det er det billede af den functor Hom kontravariant af de kategori -apparater . ${\ displaystyle \ mathrm {Hom} _ {\ mathfrak {C}} (f, Z)}$ $f$ ${\ displaystyle \ mathrm {Hom} _ {\ mathfrak {C}} (\ cdot, Z)}$ ${\ mathfrak {C}}$ ${\ displaystyle \ mathrm {Ens}}$

Bemærkninger

Ved at indstille (λμ) y * = y *. (Μ.λ) hvor (μ, y *) ↦ μ y * er K's virkning på F *, (μ, y *) ↦ y * .μ er virkningen af K op på F *, (λ, μ) ↦ λμ er produktet i K , (λ, μ) ↦ μ.λ er produktet i K op osv.
Skal tages i "ℤ-lineær" forstand, dvs. morfisme hos abeliske grupper , hvis ringen ikke er kommutativ.
Dette gælder for K- moduler ret frit endeligt på en ring K ikke nødvendigvis kommutativ, transponering af en matrix med koefficienter i K og derefter en matrix med koefficienter i K op .

Relateret artikel

Assistent operatør