I matematik , den dobbelte plads af et vektorrum E er rummet af lineære former på E .
Strukturen i et rum og dets dobbelte er tæt forbundet. I slutningen af denne artikel præsenteres nogle resultater om forbindelserne mellem dobbelt rum og hyperplaner , hvilket muliggør en "geometrisk" forståelse af visse egenskaber ved lineære former.
Den topologiske dual er en variant, der meget ofte overvejes i funktionel analyse , når vektorrummet er forsynet med en yderligere struktur af topologisk vektorrum .
Lad ( K , +, ×) være et kommutativt felt og E et K - vektorrum .
Vi kalder lineær form på E et hvilket som helst lineært kort fra E til K , dvs. ethvert kort ϕ : E → K sådan, at
Sættet L ( E , K ) af lineære former over E er et K- vektorrum kaldet E- dobbeltrummet og betegnet med E *.
Den dobbelthed beslag er den ikke-degenererede bilineær formular
En indlejring af et vektorrum i et andet er et injektivt lineært kort .
Hvis vektorrummet E er et reelt præhilbertisk rum, det vil sige udstyret med et skalarprodukt (∙ | ∙), gør disse yderligere data det muligt at definere en naturlig indlejring af E i E * : kortet φ som til hver vektor x af E forbinder den lineære form φ ( x ): E → R , y ↦ ( y | x ) . Således E er isomorf til underrum φ ( E ) af E * .
Eller ( e jeg ) jeg ∈ I en basis (muligvis uendelig) af E . Derefter defineres familien af lineære former ( e i *) i ∈ I ved:
, Hvor x jeg er koordinat af x svarer til vektoren e i ,eller
hvor δ ij er Kronecker-symbolet ,er en gratis familie af E * , så det unikke lineære kort fra E til E *, der sender (for alle i ) e i til e i * er en indlejring.
Det er ikke kanonisk , fordi det afhænger af valget af en base.
Desuden, når dimensionen af E er uendelig, er den strengt mindre end den for E * (ifølge Erd d'Es-Kaplansky-sætningen ), det vil sige, at intet lineært kort over E i E * ikke er surjektiv .
Hvis rummet E har en begrænset dimension n , bliver indlejringen af det foregående afsnit tværtimod en isomorfisme fra E til E *.
Sætning af det dobbelte grundlag - Lad ( e 1 , ..., e n ) en base E . Derefter er familien ( e 1 *, ..., e n *) et grundlag for E *, kaldet dobbelt basis . Vi har især:
For eksempel danner Lagrange-polynomierne ℓ 0 , ℓ 1 ,…, ℓ n forbundet med n + 1 forskellige skalarer x 0 , x 1 , ..., x n en basis for vektorrummet for polynomer med en grad mindre end eller lig med n . Det dobbelte grundlag dannes af n + 1-evalueringsfunktionerne: ℓ i * ( P ) = P ( x i ).
A ° er naturligt isomorf til det dobbelte af kvotientvektorrummet E / Vect ( A ) .
.Med andre ord, B ° er skæringspunktet for kerner af elementer B .
Med ovenstående notationer er ( A °) ° lig med Vect ( A ), mens ( B °) ° indeholder Vect ( B ); det er lig med det, så snart B er færdig .
I det særlige tilfælde af et euklidisk rum med en begrænset dimension er kortet φ defineret i afsnittet "Eksempel: tilfælde af et prehilbertisk rum" ovenfor en isomorfisme af E på E *. Modulo denne isomorfisme, finder vi derefter ortogonaliteten defineret af det skalære produkt.
En vigtig anvendelse af studiet af dobbelt rum er repræsentationen af et vektorunderrum som et kryds mellem hyperplaner .
Lad E være et vektorrum og F et underrum. For enhver basis B af rummet F ° for de former, der annullerer på F , er underområdet F = ( F °) ° = ( Vect ( B ) ) ° = B ° skæringspunktet mellem kernerne af elementerne i B , dvs. for en hvilken som helst vektor x af E , F har en endelig codimension q hvis og kun hvis B indeholder nøjagtigt q former ϕ 1 ,…, ϕ q , og vi kan derefter repræsentere F ved q uafhængige lineære ligninger :
Omvendt, lad B være et endeligt sæt uafhængige lineære former. Derefter betegner F = B ° krydset mellem deres kerner og er B et grundlag for ( B °) ° = F °.
Denne sætning generaliserer de elementære resultater, der er kendt i dimension 2 eller 3 på repræsentation af linjer eller plan ved ligninger. Især i et 3-dimensionelt vektorrum er skæringspunktet mellem to uafhængige plan en linje.
Bemærk: begrebet lige linje eller plan i et affinalt rum (som svarer til geometrisk intuition) bør ikke forveksles med det, der anvendes her, om vektorlinje eller vektorplan . Vi kalder en vektorlinje for et 1-dimensionelt underrum og et vektorplan for et 2-dimensionelt underrum.
Hvis E og F er to vektorrum på K og u ∈ L ( E , F ) et lineært kort, er det transponerede kort over u , betegnet t u , kortet for F * i E * givet af
Kortet t u er lineært for alle u , og kortet u ↦ t u er lineært.
Hvis E , F og G er tre vektorrum, har vi det
På det sprog, kategorier , betyder dette, at den operation, associerer sin dobbelte med et vektorrum er en kontravariant functor .
Hvis E = K m og F = K n , så er L ( E, F ) = M n , m ( K ), og vi finder transponering af matricerne .
Vi definerer et lineært kort i af E i ( E *) * ved hjælp af formlen
Med andre ord er i ( x ) den lineære form på E *, som til enhver lineær form ϕ på E associerer ϕ ( x ) .
I modsætning til dips af E i E * , ansøgningen jeg er naturligt , fordi det afhænger af de eneste data fra E .
Det er også injektiv, det vil sige, at for enhver ikke-nul vektor x af E er en lineær form φ således at (fordi x er afsluttet i en base ( e i ) i ∈ I , og ⟨ e i * e i ⟩ = 1 ).
Hvis E har en begrænset dimension, er jeg derfor en isomorfisme (mens hvis E har en uendelig dimension, er der ingen lineær overvejelse fra E til E ** ).
I tilfælde af topologiske vektorrum er situationen markant anderledes (se artiklen Topologisk dobbelt ).
På et ikke-kommutativt felt skal vi skelne vektorrummene til venstre, hvis handlingen af den multiplikative gruppe K * er en handling til venstre , og vektorrummene til højre, hvis denne handling er en handling til højre.
Det dobbelte af et vektorrum til venstre er et vektorrum til højre og omvendt.
Er faktisk E en vektor plads tilbage på K , u ∈ L ( E, K ) og λ ∈ K . Vi definerer u .λ med formlen
Det er faktisk et lineært kort, fordi vi for enhver vektor x i E og alle skalarer λ og μ i K har
Ovenstående er stadig gyldig, hvis vi erstatter "krop" med " ring " og "vektorrum" med " modulus ".
Det skal bemærkes i forbifarten, at hvis K er et ikke-kommutativt felt, og hvis E og F er K- vektorrum med dimension mindst 2, er L ( E , F ) ikke længere et vektorrum, men kun en abelisk gruppe. Ligeledes, hvis K er en ikke-kommutativ ring, og hvis E og F er K- moduler, der ikke er isomorfe til K , er L ( E , F ) kun udstyret med en abelsk gruppestruktur.