Produkthætte

I matematik og især inden for algebraisk topologi er cap-produktet en binær operation, der gør det muligt at samle kæder og cochains. Det blev introduceret af Eduard Čech i 1936 og uafhængigt af Hassler Whitney i 1938.

Definition

Lad X være et topologisk rum og A en ring . Produkthætten er en bilinær applikation defineret på strenge og ental co-kæder

\ rynke panden \;: C_ {p} (X; A) \ gange C ^ {q} (X; A) \ højrepil C _ {{pq}} (X; A)

ved at spørge

\ sigma \ frown \ psi = \ psi (\ sigma | _ {{[v_ {0}, \ ldots, v_ {q}]}}) \ sigma | _ {{[v_ {q}, \ ldots, v_ { p}]}},

med og og hvor er begrænsningen af det enkle kort til ansigtet genereret af vektorerne . $\ sigma: \ Delta ^ {p} \ højrepil X$ $\ psi \ i C ^ {q} (X; A)$ $\ sigma | _ {{[v_ {0}, \ ldots, v_ {q}]}}$ $\ sigma$ $v_ {0}, \ ldots, v_ {q}$

Ejendomme

Vi har formlen . $\ partial (\ sigma \ frown \ psi) = (- 1) ^ {q} (\ partial \ sigma \ frown \ psi - \ sigma \ frown \ delta \ psi)$

Det antyder, at hætteproduktet af en cyklus med en cocycle er en cyklus; cap-produkt af en cyklus og en cobord er en kant; og produkthætten på en kant og en cocycle er en kant.

Dette gør det muligt at definere et produkthætte i homologi og kohomologi:

\ rynke panden \;: H_ {p} (X; A) \ gange H ^ {q} (X; A) \ højrepil H _ {{pq}} (X; A).

Produkthætten og produktkoppen er relateret til forholdet $\ psi (\ sigma \ frown \ varphi) = (\ varphi \ smile \ psi) (\ sigma)$ eller $\ sigma: \ Delta ^ {{p + q}} \ højrepil X$ , ${\ displaystyle \ psi \ i C ^ {q} (X; A) {\ text {et}} \ varphi \ i C ^ {p} (X; A).}$

Dualitet af Poincaré

Sætning - Hvis M er en række lukket justerbar størrelse n af fundamental klasse (i) , derefter programmet defineret af en isomorfi for alle k . $[M] \ i H_ {n} (M; A)$ $D: H ^ {k} (M; A) \ højrepil H _ {{nk}} (M; A)$ $D (\ alpha) = [M] \ rynke panden \ alpha$

Reference

(en) Allen Hatcher , algebraisk topologi , New York, CUP ,2001, xii + 544 s. ( ISBN 978-0-521-79540-1 , læs online ) , s. 239-241