Karakteristisk for en ring

I algebra er karakteristikken for en (enheds) ring A pr. Definition rækkefølgen for additivloven for det neutrale element i den multiplikative lov, hvis denne rækkefølge er endelig; hvis denne rækkefølge er uendelig, er ringens karakteristika pr. definition nul .

Vi betegner 0 A for en enhedsring ( A , +, ×) det neutrale element af "+" og 1 A for "×".

Karakteristikken for en ring A er derfor det mindste heltal n > 0 sådan, at

 ikke.1PÅ = 1PÅ+1PÅ+⋯+1PÅ⏟ikkevilkår = 0PÅ {\ displaystyle {\ n.1_ {A} ~ = ~ \ underbrace {1_ {A} + 1_ {A} + \ cdots + 1_ {A}} _ {n \; {\ text {terms}}} ~ = ~ 0_ {A}} ~}

hvis der findes et sådant heltal. Ellers (med andre ord, hvis 1 A er af uendelig rækkefølge), er karakteristikken nul.

Bemærk. Denne definition er i overensstemmelse med litteraturen i XXI th  århundrede . Bourbaki siger eksplicit at definere karakteristikken ved en ring kun, hvis denne ring indeholder en krop. Lang betragter idealet for Z dannet af n således, at n .1 A = 0; hvis dette ideal er prime, det vil sige om formen a Z, hvor a er nul eller et primtal , definerer det karakteristikken for A som tallet a . Det definerer det ikke ellers.

Homomorfismen af Z i A

Der er en unik morfisme af enhedsringe fra i A ( er faktisk et indledende objekt i kategorien ringe). Per definition, hvis n er et strengt positivt heltal, har vi: f{\ displaystyle f}Z{\ displaystyle \ mathbb {Z}}Z{\ displaystyle \ mathbb {Z}}

f(ikke)=1PÅ+⋯+1PÅ{\ displaystyle f (n) = 1_ {A} + \ cdots + 1_ {A} \,},

hvor 1 A gentages n gange. Da det er en euklidisk ring , er kernen af et hovedideal, og pr. Definition er karakteristikken for A den positive generator. Mere eksplicit er det det unikke naturlige tal c sådan at kernen af er det ideelle . Z{\ displaystyle \ mathbb {Z}}f{\ displaystyle f} f{\ displaystyle f}vs.Z{\ displaystyle c \ mathbb {Z}}

Egenskaber på ringe

• Den karakteristiske A er den unikke heltal c nonnegative som enten en ensartet sub-ring A .Z/vs.Z{\ displaystyle \ mathbb {Z} / c \ mathbb {Z}}

Dette følger af ovenstående definition og af faktoriseringsteoremet . Vi udleder især:

• Hvis B er en enhedsunderring af A , har A og B den samme egenskab.
• Ringe med nul karakteristik er de, som er en enhedsunderring. De er derfor uendelige.Z{\ displaystyle \ mathbb {Z}}

Dette er tilfældet for feltet med komplekse tal og alle dets enhedsunderringe, såsom feltet med reelle tal eller feltet med rationelle tal . VS{\ displaystyle \ mathbb {C}}R{\ displaystyle \ mathbb {R}}Q{\ displaystyle \ mathbb {Q}}

• Enhver fuldt ordnet ring har nul karakteristik.

Faktisk er homomorfismen stigende. Ethvert strengt positivt heltal sendes til et strengt positivt element i ringen, a fortiori andet end 0.Z→PÅ{\ displaystyle \ mathbb {Z} \ til A} Dette er for eksempel tilfældet med (og dens enhedsunderringe). R{\ displaystyle \ mathbb {R}}

• Den eneste ring, hvis karakteristik er lig med 1, er nullringen .
• Karakteristikken for en integreret ring er enten nul eller et primtal.

Faktisk, hvis er en enhedsunderring af en integreret ring, så er den i sig selv integral, derfor er c nul eller prim.Z/vs.Z{\ displaystyle \ mathbb {Z} / c \ mathbb {Z}}

• For morphism enhed ringe g  : A → B , de karakteristiske B skel, som af A .

Ja, homomorfi af enheden ringer er forbindelsen homomorfi g ∘ f . Hvis p og q er de respektive karakteristika for A og B , er kernen af g ∘ f derfor , eller g ( f ( p )) = g (0 A ) = 0 B , så den indeholder p , med andre ord q deler s . Z→B{\ displaystyle \ mathbb {Z} \ til B}qZ{\ displaystyle q \ mathbb {Z}}qZ{\ displaystyle q \ mathbb {Z}}

• Hvis A er en kommutativ ring , og hvis dens karakteristika er et primtal p , så har vi for alle elementer x, y i A ( x + y ) p = x p + y p . Ansøgningen til x associerede x p er en endomorfisme ring kaldet Frobenius endomorfisme .

Resultatet følger straks af Newtons binomiale formel og af det faktum, at p opdeler de binomiale koefficienter, der vises i ekspansionen.

Egenskaber på kroppe

Som for enhver integreret ring er karakteristikken for et felt K enten 0 eller et primtal p . Desuden indeholder K i det andet tilfælde, som for enhver ring med karakteristikken p , der ikke er nul, en kopi, hvoraf (da her er p primt) er et felt: det er det unikke, endelige felt F p med p- elementer. Z/sZ{\ displaystyle \ mathbb {Z} / p \ mathbb {Z}}

• Ethvert felt med nulkarakteristik indeholder en kopi af .Q{\ displaystyle \ mathbb {Q}}

Faktisk indeholder et sådant felt K allerede (som enhver ring med nul karakteristik) en kopi af . Da K er et felt, indeholder det derfor feltet for fraktioner af , nemlig området for rationelle mennesker. Ethvert organ har derfor en minimal sub-organ, dets primære organ , isomorf (ifølge sin karakteristiske) til et finit felt F p eller kroppens . Z{\ displaystyle \ mathbb {Z}}Z{\ displaystyle \ mathbb {Z}}Q{\ displaystyle \ mathbb {Q}}Q{\ displaystyle \ mathbb {Q}}

• Ethvert endeligt felt har for karakteristisk et primtal og for kardinal en styrke af dette tal.

Hvis K er et endeligt felt, har det som enhver begrænset ring en ikke-nul karakteristik. Af ovenstående er dens karakteristik derfor et primtal p og K indeholder en kopi af feltet F p . Faktisk er K et vektorrum på F p . Så sin kardinalitet er p til potensen af dets dimensioner (som derfor er nødvendigvis begrænset, med andre ord K er en begrænset udvidelse af F p ).

• For ethvert primtal p findes der uendelige felter med karakteristisk p  :

for eksempel inden for rationelle fraktioner på F p eller algebraisk lukning af F s .

Noter og referencer

1. For eksempel (i) Joseph Gallian , Contemporary Abstract Albegra , Cengage Learning,2010, 656  s. ( ISBN  978-0-547-16509-7 , læs online ) , s.  252-253.
2. N. Bourbaki, Algebra, kapitel 4 til 7 , Masson ,nitten og firs, s.  V.2.
3. Serge Lang, Algebra , Dunod ,2004, s.  97.

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">