Ramanujan kongruenser
I matematik er Ramanujan- kongruenser bemærkelsesværdige kongruenser om partitionsfunktionen p ( n ). Den matematiker Srinivasa Ramanujan opdagede kongruens:
s(5k+4)≡0(mod5)s(7k+5)≡0(mod7)s(11k+6)≡0(mod11).{\ displaystyle {\ begin {align} p (5k + 4) & \ equiv 0 {\ pmod {5}} \\ p (7k + 5) & \ equiv 0 {\ pmod {7}} \\ p (11k +6) & \ equiv 0 {\ pmod {11}}. \ Afslut {justeret}}}![{\ displaystyle {\ begin {align} p (5k + 4) & \ equiv 0 {\ pmod {5}} \\ p (7k + 5) & \ equiv 0 {\ pmod {7}} \\ p (11k +6) & \ equiv 0 {\ pmod {11}}. \ Afslut {justeret}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c4d0030b7ab2962a11292bb63f02dfa4b1be70b9)
Det betyder at
- Hvis et tal er kongruent til 4 modulo 5, det vil sige at det er inkluderet i det følgende
4, 9, 14, 19, 24, 29 ,. . .
så er antallet af dets partitioner et multiplum af 5.
- Hvis et tal er kongruent til 5 modulo 7, det vil sige at det er inkluderet i det følgende
5, 12, 19, 26, 33, 40 ,. . .
så er antallet af dets partitioner et multiplum af 7.
- Hvis et tal er kongruent til 6 modulo 11, det vil sige at det er inkluderet i det følgende
6, 17, 28, 39, 50, 61 ,. . .
så er antallet af dets partitioner et multiplum af 11.
Sammenhæng
I sit papir fra 1919 fremlægger han bevis for de to første kongruenser ved hjælp af følgende identiteter (ved hjælp af Pochhammers Q- symbolnotation ):
∑k=0∞s(5k+4)qk=5(q5)∞5(q)∞6∑k=0∞s(7k+5)qk=7(q7)∞3(q)∞4+49q(q7)∞7(q)∞8.{\ displaystyle {\ begin {align} & \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} p (5k + 4) q ^ {k} = 5 {\ frac {(q ^ {5}) _ {\ infty} ^ {5}} {(q) _ {\ infty} ^ {6}}} \\ & \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} p (7k + 5) q ^ {k} = 7 {\ frac {(q ^ {7}) _ {\ infty} ^ {3}} {(q) _ {\ infty} ^ {4}}} + 49q {\ frac {(q ^ {7}) _ {\ infty} ^ {7}} {(q) _ {\ infty} ^ {8}}}. \ end {justeret}}}![{\ displaystyle {\ begin {align} & \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} p (5k + 4) q ^ {k} = 5 {\ frac {(q ^ {5}) _ {\ infty} ^ {5}} {(q) _ {\ infty} ^ {6}}} \\ & \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} p (7k + 5) q ^ {k} = 7 {\ frac {(q ^ {7}) _ {\ infty} ^ {3}} {(q) _ {\ infty} ^ {4}}} + 49q {\ frac {(q ^ {7}) _ {\ infty} ^ {7}} {(q) _ {\ infty} ^ {8}}}. \ end {justeret}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b2003fba3bbe3ab608085d2a1a5bc9d9455ac811)
Han siger derefter, at "det ser ud til, at der ikke er nogen egenskaber med lige så enkelhed for andre primtal end disse".
Efter Ramanujans død i 1920 ekstraherede GH Hardy beviser for tre kongruenser fra et upubliceret manuskript af Ramanujan på p ( n ) (Ramanujan, 1921). Beviset bruger Eisenstein-serien .
I 1944 definerede Freeman Dyson rangfunktionen og formodede eksistensen af en krumtapfunktion til skillevægge, der ville give et kombinatorisk bevis for kongruenserne i Ramanujan modulo 11. Fyrre år senere fandt George Andrews og Frank Garvan en sådan funktion og beviste samtidig de tre kongruenser af Ramanujan modulo 5, 7 og 11.
I 1960'erne opdagede AOL Atkin ved University of Illinois i Chicago yderligere kongruenser for små primtal . For eksempel:
s(113⋅13k+237)≡0(mod13).{\ displaystyle p (11 ^ {3} \ cdot 13k + 237) \ equiv 0 {\ pmod {13}}.}![{\ displaystyle p (11 ^ {3} \ cdot 13k + 237) \ equiv 0 {\ pmod {13}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b22dd22f863f7691e40b83314171fd6b2f5eed08)
ved at udvide resultaterne af A. Atkin viste Ken Ono i 2000, at der er sådanne Ramanujan-kongruenser for hvert primært heltal med 6. For eksempel giver hans resultater
s(1074⋅31k+30064597)≡0(mod31){\ displaystyle p (107 ^ {4} \ cdot 31k + 30064597) \ equiv 0 {\ pmod {31}}}![{\ displaystyle p (107 ^ {4} \ cdot 31k + 30064597) \ equiv 0 {\ pmod {31}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f020eec48106ef527fc9b91057e89802bb348415)
; i 2005 forbedrede hans elev Karl Mahlburg disse resultater yderligere ved at forklare kranken.
En konceptuel forklaring på Ramanujan-observationen blev endelig opdaget i januar 2011 ved at overveje Hausdorff-dimensionen af følgende funktion i l-adic topologi :
P{\ displaystyle P}![P](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b4dc73bf40314945ff376bd363916a738548d40a)
Pℓ(b;z): =∑ikke=0∞s(ℓbikke+124)qikke/24.{\ displaystyle P _ {\ ell} (b; z): = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} p \ left ({\ frac {\ ell ^ {b} n + 1} {24} } \ højre) q ^ {n / 24}.}![{\ displaystyle P _ {\ ell} (b; z): = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} p \ left ({\ frac {\ ell ^ {b} n + 1} {24} } \ højre) q ^ {n / 24}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/efc31d99b7ff70ee2a8db968d077535b03b91257)
Vi ser, at den kun har dimension 0 i de tilfælde, hvor ℓ = 5, 7 eller 11, og da delingsfunktionen kan skrives som en lineær kombination af disse funktioner, kan dette betragtes som en formalisering og bevis for l observation af Ramanujan.
I 2001 gav RL Weaver en effektiv algoritme til at finde kongruenser for partitionsfunktionen og udgjorde i alt 76.065 kongruenser. Dette blev udvidet i 2012 af F. Johansson til 22.474.608.014 kongruenser, et eksempel er
s(9999594⋅29k+28995221336976431135321047)≡0(mod29).{\ displaystyle p (999959 ^ {4} \ cdot 29k + 28995221336976431135321047) \ equiv 0 {\ pmod {29}}.}![{\ displaystyle p (999959 ^ {4} \ cdot 29k + 28995221336976431135321047) \ equiv 0 {\ pmod {29}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/32471a917a746f8afb2224c56d505b825a0ffe6f)
Se også
Referencer
-
GH Hardy og EM Wright ( oversat fra engelsk af François Sauvageot, præf. Catherine Goldstein ), Introduktion til talteorien [" En introduktion til teorien om tal "] [ detaljer i udgaven ], kapitel 19 (“Resultater”), afsnit 19.12.
-
(in) S. Ramanujan , " kongruensegenskaber for partitioner " , Mathematische Zeitschrift , vol. 9,1921, s. 147–153 ( DOI 10.1007 / bf01378341 ).
-
(i) Amanda Folsom , Zachary A. Kent og Ken Ono , " f-adic egenskaber tilstandssummen " , Advances in matematik , vol. 229, nr . 3,2012, s. 1586 ( DOI 10.1016 / j.aim.2011.11.013 ).
-
(i) JH Bruinier og K. Ono , " Algebraiske formler til koefficienterne for halvintegral vægt svag harmonisk Maas-form " , Advances in Mathematics , bind. 246,20. oktober 2013, s. 198-219 ( arXiv 1104.1182 , læs online ).
-
(i) Rhiannon L. Weaver , " New kongruens for tilstandssummen " , The Ramanujan Journal , vol. 5,2001, s. 53 ( DOI 10.1023 / A: 1011493128408 ).
-
(i) Fredrik Johansson , " Effektiv implementering af Hardy-Ramanujan-Rademacher-formlen " , LMS Journal of Computation and Mathematics , bind. 15,2012, s. 341 ( DOI 10.1112 / S1461157012001088 ).
- Ken Ono , “ Distribution of the partition function modulo m, ” Annals of Mathematics , vol. 151,2000, s. 293–307 ( DOI 10.2307 / 121118 , JSTOR 121118 , zbMATH 0984.11050 , læs online )
- (en) Ken Ono , Modularitetens web: aritmetik af koefficienterne for modulære former og q-serier , bind. 102, Providence, RI, American Mathematical Society ,2004, 129 s. ( ISBN 0-8218-3368-5 , zbMATH 1119.11026 , læs online )
- S. Ramanujan , " Nogle egenskaber ved p (n), antallet af partitioner af n ", Proceedings of the Cambridge Philosophical Society , bind. 19,1919, s. 207-210
eksterne links
- K. Mahlburg , ” Partition Congruences and the Andrews - Garvan - Dyson Crank, ” Proceedings of the National Academy of Sciences , bind. 102, nr . 43,2005, s. 15373–76 ( PMID 16217020 , PMCID 1266116 , DOI 10.1073 / pnas.0506702102 , Bibcode 2005PNAS..10215373M , læs online [PDF] )
-
Dysons rang, krumtap og stedfortræder .
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">