I matematik , specifikt i generel topologi , er Baire-rummet navnet givet - ifølge René Baire - for at indstille alle suiter af heltal med en vis topologi . Dette rum bruges ofte i beskrivende sætteori , til det punkt, at dets elementer ofte kaldes "reals". Det betegnes ofte med B , N N , ω ω eller ω ω.
Vi kalder Baire rum , betegnet N N , det kartesiske produkt af et tælleligt sæt kopier af sæt N af naturlige heltal , udstyret med produkttopologien , hvor hver kopi af N er udstyret med den diskrete topologi .
Ved definition af produktet topologi, betyder dette, at en åben base af N N dannes af sæt af sekvenser, hvoraf et endeligt antal termer faste, de andre tager alle de mulige værdier; strengere er sådan en åben af formen:
,hvor og er to sekvenser af heltal med fast længde n , og den åbne N N er møder såsom U .
Vi kan også definere topologien i Baire-rummet ved hjælp af følgende ultrametriske afstand : hvis u og v er to forskellige sekvenser og n det mindste heltal således , udgør vi (og vi udgør ). Denne afstand inducerer den tidligere topologi og gør Baire- rummet til et komplet rum .
Sættet N N har kardinalen i den rigtige linje .
Baires plads har følgende egenskaber:
Baires plads er homomorf til det sæt irrationelle tal, der er forsynet med den sædvanlige topologi (induceret af det af reelle tal); en eksplicit homeomorfisme af sættet med irrationelle på ] 0, 1 [ i ( N *) N * er givet ved rækkefølgen af heltal, der vises i udvidelsen af det irrationelle i fortsat brøkdel [0; a 1 , a 2 ,…].
Set fra den beskrivende sætteori fører det faktum, at den virkelige linje er forbundet , til tekniske vanskeligheder, hvorfor vi ofte foretrækker at arbejde i Baires rum. Da ethvert polsk rum er det kontinuerlige billede af Baire-rummet, er det ofte muligt at demonstrere generelle resultater over polske rum ved at bevise dem for Baire-rummet og ved at bevise, at disse resultater bevares ved kontinuitet.
N N er også af mindre interesse i reel analyse , da det er et komplet rum for den ovenfor definerede afstand, hvilke irrationelle ikke er til sædvanlige målinger, på trods af at disse to rum er homomorfe som 'topologiske rum.