Forbindelse (matematik)

Den connectivity er en forestilling om topologi , der formaliserer begrebet "objekt i ét stykke." Et objekt siges at være forbundet, hvis det er lavet af et enkelt "stykke". Ellers er hver af stykkerne en tilsluttet komponent i det undersøgte objekt.

Definition

Lad E være et topologisk rum . Følgende fire forslag er ækvivalente:

E er ikke foreningen af to usammenhængende ikke-åbne åbninger ;
E er ikke sammenslutningen af to usammenhængende ikke-fri lukket ;
den eneste åben-lukket af E er ∅ og E ;
ethvert kontinuerligt kort over E i et to-elementssæt med den diskrete topologi er konstant.

Hvis en af disse ækvivalente betingelser er opfyldt, siger vi, at rummet E er forbundet .

Den sidste af disse fire karakteriseringer er ofte den mest bekvemme at bruge til at demonstrere et tilsluttet resultat.

En del X af et topologisk rum E siges at være forbundet, hvis det er et forbundet rum, når det er forsynet med den inducerede topologi .

Forbindelse og reelle tal

De tilsluttede dele af ℝ er intervallerne .

Ejendomme

Begrebet sammenhæng er tydeligt uforanderligt af homeomorfier .
Ethvert sæt leveret med dets grove topologi er forbundet. Det følger heraf, at det tomme sæt er forbundet, såvel som ethvert rum reduceret til et punkt .

Union, kryds, vedhæftning, produkt

Hvis X og Y er to forbundne dele af et topologisk rum, er foreningen og skæringspunktet mellem X og Y generelt ikke forbundet.

På den anden side er forbindelsen mellem de to forbundne dele forbundet, så snart de har et fælles punkt (det er endda nok, at en af de to møder vedhæftningen af den anden). Mere generelt :

For enhver familie (endelig eller ej) af forbundne dele, hvis skæringspunkt ikke er tom, er unionen forbundet.

Eksempler på anvendelse:

enhver del forbundet med buer er forbundet (som en samling af stierne i denne del, der alle har samme faste oprindelse);
hvis er en sekvens af forbundne dele sådan, at hver enkelt har et punkt til fælles med det næste, så er forbindelsen forbundet (som en genforening, som ved induktion er forbundet). $(X_{n})_{{n\in \mathbb{N} }}$ $(\forall n\in \mathbb{N} ,X_{n}\cap X_{{n+1}}\neq \varnothing )$ $\cup _{{n\in \mathbb{N} }}X_{n}$ $Y_{n}:=\cup _{{k\leq n}}X_{k}$

Hvis A er en tilsluttet del af E, er dens overholdelse A forbundet, fordi mere generelt er enhver del B af E sådan, at A ⊂ B ⊂ A er forbundet.

Sætning af clearing told: i et topologisk rum, en dermed forbundet del, som opfylder begge en del C og dens komplementære nødvendigvis matche grænsen af C .

Et produkt af ikke-tomme rum er forbundet, hvis (og kun hvis) hver faktor er. Mere generelt er det samlede rum for en bundbundt og beslægtet fiber forbundet.

Relaterede komponenter

Givet et punkt x i et topologisk rum E , er forbindelsen af alle tilsluttede dele, der indeholder x , forbundet. Det er den største (i betydningen af inkluderingsforholdet) af alle de tilsluttede dele, der indeholder x . Er betegnet med C x og kaldes tilsluttede komponent af x i E . De tilsluttede komponenter i E- punkterne er derfor de maksimale tilsluttede dele til inkludering (der er kun en, hvis rummet er tilsluttet). De danner en skillevæg af E ; dvs: de er klassen af ækvivalensrelationen på E . To punkter i E siges at være forbundet, hvis de er i den samme tilsluttede komponent.

Vi har som minimum C x = { x }; dette betyder, at { x } er den eneste tilsluttede delmængde af E, der indeholder x, men ikke nødvendigvis at x er et isoleret punkt (se eksempler). Hvis C x = { x } for ethvert punkt x af E , siger vi, at E er helt diskontinuerlig . Vi har højst C x = E ; dette er tilfældet, hvor E er forbundet.

De tilsluttede komponenter er altid lukkede, men ikke altid åbne (de er hvis og kun hvis rummet er deres topologiske sum ); imidlertid:

de tilsluttede komponenter i et lokalt forbundet rum er åbne;
Enhver tilsluttet ikke-upåvirket del, der både er lukket og åben, er en tilsluttet komponent.

Eksempler

ℝ * har to tilsluttede komponenter: ℝ + * og ℝ - *.
Mere generelt har gruppen GL ( n , ℝ) af inverterbare matricer af størrelse n to tilsluttede komponenter, givet ved tegnet på determinanten .
I ℕ og mere generelt i et rum udstyret med den diskrete topologi er de tilsluttede komponenter singletoner.
I ℚ er intet punkt isoleret, men de tilsluttede komponenter er også singletoner. Det samme fænomen forekommer for hele Cantor . Dette er derfor eksempler på totalt diskontinuerlige rum .
Enhver åben af ℝ er lokalt forbundet (fordi ℝ er) er derfor en forening ( derfor en genforening til de mest $tællbare$ ) $\cup k \inκ I k$ af usammenhængende ufordøjelige åbne intervaller: dens tilsluttede komponenter. Det er derfor homomorft til ℝ × $κ$ (hvor $κ$ er udstyret med den diskrete topologi ).

Forbindelse og kontinuitet

Ifølge definitionen er et rum forbundet, når dets billede af et kontinuerligt kort aldrig er det diskrete rum {0, 1}. Imidlertid er sidstnævnte ( a fortiori ) ikke forbundet. Mere generelt :

Ethvert kontinuerligt billede af et beslægtet er relateret.

Det vil sige, hvis E er en tilsluttet plads og f en kontinuerlig kortlægning af E i et rum F , så f ( E ) er en tilsluttet delmængde af F . Faktisk, hvis g er et kontinuerligt kort over f ( E ) i det diskrete rum {0, 1}, så er g ∘ f - kontinuerligt på den tilsluttede E - konstant, derfor er g konstant. I særdeleshed :

dette giver et bevis for, at enhver sti er forbundet - hvilket svarer til tilfældet, hvor E er et reelt interval - og af sætningen af mellemliggende værdier (hvilket er det særlige tilfælde af en sti i ℝ) under forudsætning af at have tidligere bevist at ethvert reelt interval er forbundet, som angivet ovenfor , uden at bruge denne sætning;
hver kvotient af en tilsluttet er forbundet.

Lokalt konstante applikationer

Definition - Et kort f over et topologisk rum X i et sæt Y siges at være lokalt konstant (en) på X, hvis et punkt i X har et kvarter, hvor f er konstant.

En lokal konstant funktion over X er ikke nødvendigvis konstant over X , men det er, hvis rummet X er forbundet, som følgende sætning viser.

Sætning - Hvis f er lokalt konstant på X , når den er konstant på hver tilsluttet komponent i X .

Det omvendte af denne sætning er falsk generelt (tag X = ℚ), men sandt, hvis X er lokalt forbundet.

To grundlæggende anvendelser til analyse

For at vise, at en egenskab er sand for alle punkterne i en del, som vi ved at være forbundet, viser vi, at det sæt punkter, der tilfredsstiller det, er åbent og lukket.

Dette er hvad der gøres for sætningen om unikhed af de globale løsninger til en differentialligning og for princippet om analytisk udvidelse .

Ansøgningerne er mange. Linjen ℝ og planet ℝ 2 er ikke homomorfe: hvis dette var tilfældet, ville linjen frataget et punkt være homomorf til det plan, der var frataget et punkt. Men det andet rum er relateret, det første er det ikke.

Det samme argument viser, at cirklen S 1 er ikke homeomorphic til et interval.

Dette argument strækker sig ikke til højere dimensioner. Hvis vi ønsker at vise ved hjælp af de samme ideer, at ℝ 2 og ℝ 3 ikke er homomorfe, er vi nødt til at bringe den enkle sammenhæng (det vil sige sammenhængen med buer i blonderummet ) ind. Resultatet gælder stadig for de højere dimensioner , men kræver kraftigere værktøjer som homologi til demonstrationen .

Vi kan også som anvendelse af sammenhæng citere analysen af gåden i de tre huse . Formålet med denne gåde er at forbinde tre punkter i planen identificeret med huse til tre andre identificeret med leverandører (vand, gas og elektricitet). Hvert hus skal være knyttet til de tre udbydere, og linkene må ikke krydse hinanden. Beviset for umuligheden af opløsning er baseret på Jordans sætning , der udtrykkes i form af forbindelse.

I en topologisk gruppe G , det tilsluttede apparat af den identitet, kaldes den neutrale komponent (en) og noterede G 0 , er en fremtrædende undergruppe . Ligesom enhver tilsluttet komponent , G 0 er lukket i G , og desuden åbne, hvis G er sluttet lokalt (navnlig hvis G er lokalt forbundet ved cirkelbuer, navnlig hvis G er en Lie gruppe ). Den kvotientgruppe G / G 0 (forsynet med kvotienten topologi ) er fuldstændig diskontinuert ; det er diskret, hvis og kun hvis G 0 er åben.

Følgende egenskab er meget nyttig til at vise forbindelsesresultater:

Lad G være en topologisk gruppe og H en undergruppe. Hvis gruppen H og rummet G / H er forbundet, er G selv forbundet.

Noter og referencer

Denne egenskab demonstreres i Wikiversity- kapitlet om tilslutningsmuligheder ( se nedenfor ).
(i) Gregory Naber, topologi, geometri, og Gauge Fields: Foundations , Springer ,2013( læs online ) , s. 81.
Se for eksempel denne korrigerede øvelse på Wikiversity .
(in) Markus Stroppel, lokalt kompakte grupper , EMS ,2006( læs online ) , s. 55.
(en) O. Ya. Viro (en) , OA Ivanov, N. Yu. Netsvetaev og VM Kharlamov (de) , Elementær Topologi , AMS ,2008( læs online ) , s. 192 og 201.

Se også

Relaterede artikler

Godt lænket rum
Space unicohérent (en)
Sætning Phragmén-Brouwer (en)

Bibliografi

Georges Skandalis , topologi og analyse 3 rd år , Dunod , coll. "Sciences Sup", 2001
Claude Wagschal, Topologi og funktionel analyse , Hermann , coll. "Metoder", 1995