Fréchet plads

Et Fréchet-rum er en matematisk struktur af et topologisk vektorrum, der tilfredsstiller visse sætninger, der vedrører Banach-rum selv i fravær af en norm . Dette navn henviser til Maurice Fréchet , en fransk matematiker, der især deltog i grundlæggelsen af topologi og dens anvendelser i funktionel analyse . Det er i dette sidste domæne, at strukturen i Fréchet-rum er særlig nyttig, især ved at give en naturlig topologi til rum med uendeligt differentierbare funktioner og til distributionsrum .

Definition

Et ægte topologisk vektorrum kaldes et Fréchet-rum, hvis det er på samme tid:

eller mere simpelt: hvis det er lokalt konveks og kan måles med en fuld afstand og uændret ved oversættelse.

For et Fréchet-rum, der ikke er nul, er der flere afstande, der er uforanderlige ved oversættelse, der inducerer topologien, og de er alle komplette, da de inducerer den samme ensartede struktur.

I funktionel analyse anvendes følgende ækvivalente definition direkte:

Et Fréchet-rum er et komplet ægte topologisk vektorrum (i ensartet forstand), hvis topologi er induceret af en tællelig og adskillende familie af semi-normer .

Ligeledes er der intet kanonisk valg af en sådan familie af semi-normer. Der er heller ingen naturlig sammenhæng mellem de kompatible og uforanderlige afstande og disse familier af semi-normer.

Eksempler

Ethvert Banach-rum er et Fréchet-rum, men det omvendte er falsk, dvs. nogle Fréchet-rum, som C ∞ ([0, 1]) eller C (ℝ), er ikke normerbare .

Rummet C ∞ ([0, 1]) af uendeligt differentierbare funktioner over intervallet [0, 1] er forsynet med semi-normer for ethvert heltal k ≥ 0: ${\ displaystyle p_ {k} (f) = \ sup _ {x \ in [0,1]} \ left | f ^ {(k)} (x) \ right |}$ hvor f (0) = f og for alle k > 0 betegner f ( k ) k - derivatet af f . I dette rum konvergerer en sekvens ( f n ) af funktioner til funktionen f ∈ C ∞ ([0, 1]), hvis og kun hvis for alle k ≥ 0, sekvensen ( f n ( k ) ) konvergerer ensartet til f ( k ) .
Fréchet-rummet C ( X ) for kontinuerlige funktioner på et topologisk rum X σ-compact er forsynet med de semi-normer, der er defineret af sup- normerne på en række kompakter K n, der dækker X (for X = ℝ kan vi tage K n = [- n , n ]). Den opnåede topologi er identificeret med den kompakt-åbne topologi . For eksempel for rummet C ( ℕ ) af sekvenser (ægte eller kompleks) kan vi tage singletoner som kompakter . De tilsvarende semi-normer associerer med hver sekvens modulet for en fast indeksperiode for sekvensen. Konvergensen af en række sekvenser udgør derfor term-til-term konvergens.

Ved at kombinere disse to ideer definerer vi en Fréchet-struktur på pladsen til klassefunktionerne C m ( m ≤ $\infty$ ) på en åben Ω på ℝ p og med værdier i et Banach-rum ved hjælp af halvstandarder ${\ displaystyle p_ {k, n} (f): = \ sup _ {| \ alpha | = k} \ sup _ {x \ in K_ {n}} \ | \ partial ^ {\ alpha} f (x) \ | \ quad (n, k \ in \ mathbb {N} {\ text {and}} k \ leq m)}$ hvor a- betegner multi-indekser og sekvensen af kompakte K n covers w.

Vi definerer det samme, mere generelt, Fréchet-rummet af funktioner i klasse C m en række σ-kompakt klasse C m .

Ejendomme

Fuldstændighedshypotesen gør det muligt at anvende Baires sætning og dens konsekvenser på blandt andet Fréchet-rum :
- den Banach-Steinhaus sætning : enhver simpelthen afgrænset familie af lineære afbildninger af en Fréchet plads i en topologisk vektorrum er equicontinuous;
- the open map theorem : ethvert surjectivt kontinuerligt lineært kort mellem to Fréchet-rum er åbent ;
- dens følge: ethvert kontinuerligt lineært bijektivt kort mellem to Fréchet-rum er en homeomorfisme ;
- den lukkede graf sætning : enhver lineær anvendelse af en lukket graf mellem to Fréchet mellemrum er kontinuerlig.

Lokal konveksitet giver også følgende egenskaber:
- punkterne i et Fréchet-rum er adskilt af dets topologiske dualitet (jf. Hahn-Banach-sætning ).
- enhver kompakt konveks i et Fréchet-rum er vedhæftningen af den konvekse kuvert af dets ekstreme punkter (jf. Kerin-Milman-sætning ).

Den lokale inversionssætning gælder generelt ikke for Fréchet-rum, men der er fundet en svag version under navnet Nash-Moser-sætning .
Ethvert kvotient af et Fréchet-rum med et lukket vektorunderrum er komplet (er derfor et Fréchet-rum). Metrisabilitetshypotesen er her afgørende.

Stammer fra Gateaux

Rummet med kontinuerlige lineære kort mellem to Fréchet-rum, der ikke priori udgør et Fréchet-rum, konstruktionen af en differens for kontinuerlige funktioner mellem to Fréchet-rum går gennem definitionen af derivatet af Gateaux .

Φ er en funktion defineret på en åben U en Frechet rum X , med værdier i en Frechet rum Y . Den Gateaux derivat af Φ i et punkt x af U og i en retning h af X er grænsen i Y (når den findes)

${\ displaystyle \ Phi '(x; h) = \ lim _ {t \ til 0 \ oven på \ neq 0} \, {\ frac {1} {t}} {\ Big (} \ Phi (x + th ) - \ Phi (x) {\ Big)},}$

hvor variablen t tages reel.

Funktionen Φ siges at være Gateaux-differentierbar i x, hvis der findes et kontinuerligt lineært kort Φ ' G ( x ) fra X til Y, således at for enhver h af X , (Φ' G ( x )) ( h ) = Φ '( x; h ).

Differensen af Φ program kan derefter ses som en funktion defineret på en del af Frechet rummet X × X med værdier i Y . Det kan muligvis differentieres igen.

For eksempel er den afledte lineære operator D : C ∞ ([0,1]) → C ∞ ([0,1]) defineret af D ( f ) = f ' uendelig differentierbar. Dens første forskellen er for eksempel defineret for hvert par ( f , h ), i uendeligt differentiable funktioner af D ' ( f ) ( h ) = h' , dvs. D ' ( f ) = D .

Imidlertid strækker Cauchy-Lipschitz-sætningen sig ikke til at løse almindelige differentialligninger på Fréchet-rum i al almindelighed.

Noter og referencer

(in) Jean Dieudonné , Afhandling om analyse , bind. 2, s. 66 .
(en) SM Khaleelulla, modeksempler i topologiske vektorrum , NML 936, s. 108, giver et eksempel (nævnt på MathOverflow ) af et lokalt konvekst komplet rum, hvis kvotient af et bestemt lukket underområde ikke engang er sekventielt komplet.

Se også

Relaterede artikler

Bibliografi

N. Bourbaki , Elements of mathematics , EVT , Masson editions , 1981
(en) François Treves , Topologiske vektorrum, distributioner og kerner , Dover-publikationer ,2013( 1 st ed. , 1967, Academic Press ), 592 s. ( ISBN 978-0-486-31810-3 , læs online )