Fødsel |
1952 Lyon ( Frankrig ) |
---|---|
Nationalitet | Frankrig |
Områder | matematik |
Institutioner | CNRS |
Eksamensbevis |
Paris Higher Normal School Paris-Sud University |
Tilsynsførende | Luc Illusie |
Priser | Medlem af Videnskabsakademiet |
Gérard Laumon , født i 1952 i Lyon , er en fransk matematiker . En tidligere studerende ved École normale supérieure studerede han ved University of Orsay , hvor han afsluttede sin afhandling i 1983 under vejledning af Luc Illusie . Han har været medlem af Academy of Sciences siden 2004.
Han har overvåget afhandlinger fra blandt andet Laurent Lafforgue og Ngô Bảo Châu , som begge modtog Fields-medaljen i henholdsvis 2002 og 2010 og Sophie Morel , der modtog en pris fra European Mathematical Society i 2012.
I 2004 Gérard Laumon og Ngo Bao Chau modtaget Clay Research Award for demonstreret i tilfælde af enhedsgrupper, den grundlæggende lemma (i) af Langlands og Shelstad (i) , et centralt element i Langlands program i talteori .
Han er gift med Geneviève Raugel .
I en række værker, hvoraf en del forud for hans indtræden i CNRS , har Gérard Laumon vist, hvordan en l-adisk analog af det stationære faseprincip gjorde det muligt at demonstrere produktets formel for konstanterne af funktionelle ligninger af L fungerer på funktionsfelter, og også for at give et nyt bevis på Weils formodning bevist af Deligne. Han definerede også lokale Fourier-transformationer, der spillede en rolle i Henniarts bevis for den digitale lokale Langlands-korrespondance.
I en række værker foreslog han en formodentlig generalisering af Drinfelds geometriske konstruktion af automatiske former forbundet med rang 2 Galois-repræsentationer på funktionsfelter. Han definerede en global analog af den nilpotente kegle, som senere blev vist at være 0-fiberen af Hitchin-fibrering, og som styrer de særlige forhold ved de automatiske bundter. Han introducerede også geometriske analoger til Eisenstein-serien .
Ved hjælp af Arthurs ikke-invariante sporingsformel på funktionsfelter opnåede Gérard Laumon med hjælp fra J.-L. Waldspurger et udtryk for zeta-funktionen i den kompakte understøtningskohomologi af Drinfeld modulære manifolder. funktioner. Ved desuden at bruge Delignes formodning om Lefschetz-sporformlen (formodning demonstreret af Pink i den betragtede situation og af Fujiwara generelt) opnåede han yderligere en eksplicit formel for den kompakte supportkohomologi af Drinfeld modulære manifolds. Af rang d som et virtuelt modul på produktet af Galois-gruppen af funktionsfeltet og Hecke-algebraen. Den nye ingrediens er eksistensen af meget cuspidale pseudokoefficienter til Steinberg-repræsentationen af PGL_d på et lokalt ikke-arkimæisk felt.
Dette er et arbejde i samarbejde med M. Rapoport og U. Stuhler fra universitetet i Wuppertal inden for rammerne af et Procope-projekt. I dette arbejde studerede de modulvarianterne af elliptiske D-bjælker. Disse er kompakte varianter af de modulopbyggede sorter fra Drinfeld. De beregnede deres l-adiske kohomologi og opnåede en global korrespondance mellem automorfe repræsentationer for opdeling af algebraer på et funktionsfelt og l-adiske repræsentationer af Galois-gruppen af den samme gruppe af funktioner. Denne korrespondance fungerer som et værktøj til at opbygge en lokal korrespondance mellem irreducerbare cuspidale repræsentationer af GL_d (F) og irreducible komplekse repræsentationer af dimension d af Galois-gruppen af F for et lokalt ikke-arkimedisk felt F med karakteristisk p> 0. Den således konstruerede korrespondance bevarer parternes L- og epsilonfaktorer, er kompatibel med det abeliske klassefelt, pendler til modstridende og er bindende.
Gérard Laumon demonstrerede, at Euler-Poincaré-karakteristikken for enhver l-adisk pervers skive på en algebraisk torus på et algebraisk lukket felt er positiv (i karakteristisk 0 var dette resultat opnået tidligere af Loeser og Sabbah).
Ved at følge den samme metode som den, han udviklede til GL_d på funktionsfelterne, er det i princippet muligt at beregne kohomologien med kompakte understøtninger af Shimura-sorterne, der er knyttet til en reduktiv gruppe G på et talfelt, som som virtuelt modul på produktet fra Galois-gruppen og Hecke-algebra (metoden fungerer meget godt i tilfælde af klassiske modulkurver og endnu bedre i tilfælde af Hilbert-Blumenthal-manifolds). Så snart gruppen G ikke længere er en lineær gruppe, skaber fænomenerne L-indiscernability naturligvis nye vanskeligheder. Ved at bruge resultaterne fra Kottwitz (formel for antallet af punkter på endelige felter af sorterne fra Shimura, delvis stabilisering af formlen for sporene ...), af Clozel, Labesse, Hales, Waldspurger (grundlæggende lemma) og af Arthur (beregning af rester), han var i stand til at udføre beregningen af denne kohomologi med kompakte understøtninger i sagen G = GSp_ {4, Q} (sorten af Shimura er derefter en række moduler af hovedsageligt polariserede abeliske overflader).
I dette arbejde har M. Rapoport og Gérard Laumon vist, hvordan man vender en gentagelsesformel af Atiyah og Bott for Betti-numrene i feltet af halvstabile G-bundter på en tilsluttet kompakt Riemann-overflade. Til dette brugte de efter et forslag fra Kottwitz et centralt Langlands-lemma om kombinatorikken af parabolik i G.
I to foredrag holdt på en konference organiserede han sammen med Beauville, Drinfeld, Henniart og Lazslo i Luminy (Juni 1995), tager han op og forbedrer de resultater, han havde opnået i 1986-87 på den første Drinfeld-konstruktion af automorfe skiver til GL_n på et funktionsfelt. Især kan han nu formulere en præcis nedstigningsformodning for vilkårlig n.
Gérard Laumon skrev i foråret 1995 en ny version af en forudgivelse fra IHES (1985) om en udvidelse af Fourier-Mukai-transformationen til O-moduler på abelske sorter til D-moduler. I denne nye version definerer den mere generelt en Fourier-transformation til moduler på generaliserede 1-mønstre, der omfatter alle de eksisterende geometriske Fourier-transformationer i nulkarakteristik. Denne transformation kan ses som den geometriske Langlands-korrespondance for GL (1) og fungerer som model for denne korrespondance for andre grupper.
I Marts 1996, begyndte han med L. Moret-Bailly at skrive en bog om algebraiske felter. En foreløbig version af dette arbejde var genstand for en præpublikation fra University of Paris-Sud. Den endelige version blev offentliggjort i Ergebnisse der Mathematik-serien af Springer-Verlag i 1999.
Under forberedelsen af hans Bourbaki-tale om Frenkels, Gaitsgory og Vilonens arbejde om Drinfeld-Langlands korrespondance definerede han en homogen Fourier-transformation, der forlænger den geometriske Radon-transformation, og som har den fordel, at den ikke afhænger af karakteristikken.
Han viste, at de Springer-fibre, der er involveret i det grundlæggende Lemma for enhedsgrupper, er belægninger af komprimerede jakobere med ental kurver. Især indrømmer de naturlige deformationer. Takket være disse deformationer var han i stand til at reducere det grundlæggende Lemma for enhedsgrupper til en ren formodning af Goresky, Kottwitz og MacPherson.
I dette arbejde etablerede de i samarbejde med Ngô Bao Châu det grundlæggende Langlands-Shelstad Lemma for enhedsgrupper af rang n> p på lokale ikke-arkimediske felter med karakteristisk p> 0. Tilfældet med enhedsgrupper af rang n> p på ikke-arkimediske lokale felter med karakteristisk 0 og restkarakteristik p> 0 kan udledes af tidligere resultater af Hales og Waldspurger. Nyheden i forhold til hans tidligere arbejde er brugen af Hitchins fibrering, som giver komprimerede jakobiske familier knyttet til gruppeteori.
I dette arbejde i samarbejde med P.-H. Chaudouard, de udvidede et argument fra Goresky, Kottwitz og MacPherson for det almindelige grundlæggende lemma til tilfældet med det vægtede grundlæggende lemma. Husk, at det grundlæggende vægtede lemma er en serie af kombinatoriske identiteter mellem vægtede orbitalintegraler, som blev formuleret af Arthur, og som er nødvendige for at fuldføre stabiliseringen af sporingsformlen og bevise den endoskopiske Langlands-overførsel.
Ligesom Goresky, Kottwitz og MacPherson opnåede de kun et delvis resultat (kun homogene elementer i uforgrenet tori er tilgængelige med metoden).
Geometrien af det vægtede fundamentale lemma involverer på en større måde en toroidformet komprimering af den dobbelte torus og dens sammenhængende kohomologi.
I et arbejde i samarbejde med P.-H. Chaudouard, de udvidede til det vægtede grundlæggende lemma, som Arthur formodede, beviset for Ngô Bao Châu for det almindelige grundlæggende lemma i Langlands-Shelstad.
En første del består af definitionen af en forestilling om stabilitet med vægt, mellem mellem stabil og halvstabil, for Higgs-bundter, forestilling om stabilitet, der gør det muligt at afkorte Hitchin-fibrering, så det samlede rum for Hitchin-fibrering således afkortes er glat på basislegemet, og selve fibrationen er ren.
I en anden del udvidede de Ngô Bao Châus kohomologiske argumenter til denne fibrering af Hitchin. En anvendelse af sporingsformlen Grothendieck-Lefschetz giver os mulighed for ved induktion at udlede en global version af Arthurs vægtede grundlæggende lemma for funktionsfelter. En standard passage fra global til lokal giver det grundlæggende lemma vægtet i lige karakteristika for Lie algebras. Arthurs vægtede grundlæggende lemma for grupper med ulige egenskaber følger takket være Waldspurgers arbejde.
I lidt over to år har han arbejdet med Pierre-Henri Chaudouard for at tælle antallet af point i den stabile del af Hitchins fibrering. Det er det samme som at beregne globale nilpotente-vægtede orbitalintegraler involveret i sporingsformlen Arthur-Selberg.
De opnåede delresultater for nilpotente regelmæssige blok- og nul kvadratkredsløb.
Ngô Bao Châus supportteorem for den elliptiske del af Hitchins fibrering er et vigtigt redskab i hans bevis for Langlands og Shelstads fundamentale lemma. Med Pierre-Henri Chaudouard udvidede de det til den hyperbolske del i deres arbejde med det grundlæggende vægtede lemma. I denne artikel udvider de det til hele Hitchins fibrering.
I flere år har Laurent Lafforgue foreslået en ny tilgang til at etablere funktionalitet i al almindelighed. Denne tilgang var allerede delvist blevet overvejet af Braverman og Kazdhan i 1998.
Transponeret i tilfælde af reduktive grupper på endelige felter antyder denne tilgang eksistensen af en involutiv Fourier-transformation, der hidtil ikke er kendt, forbundet med en reduktiv gruppe G på et endelig felt og med en homomorfisme af den dobbelte gruppe G i en lineær gruppe GL (n). Definitionen er spektral og derfor ikke eksplicit. Nogle tests viser, at en sådan transformation kunne gives af en kerne, der kan beregnes ved hjælp af summer fra Kloostermann-typen.
Adskillige en måned invitationer: IAS af Princeton , Fields Institute of Toronto , University of Cambridge , Bernoulli Center for EPFL i Lausanne , etc.