I matematik er en reduktiv gruppe en algebraisk gruppe G på en krop lukket algebraisk, da den unipotente radikal af G (det vil sige undergruppens elementer unipotent (en) for den radikale (in) ) er triviel . Enhver semi-simpel algebraisk gruppe (en) er reduktiv, ligesom enhver algebraisk torus og enhver generel lineær gruppe .
Mere generelt, på et felt k, som ikke nødvendigvis er algebraisk lukket, er en reduktiv gruppe en glat affin algebraisk gruppe G, således at den enpotente gruppe af G på den algebraiske lukning af k er triviel. Det er nødvendigt at indføre algebraisk lukning i denne definition for at inkludere tilfældet med basisfelter , der ikke er perfekte , såsom lokale eller globale funktionsfelter over endelige felter .
Dette navn af reduktiv kommer fra den fuldstændige reduktionsevne af repræsentationer af en sådan gruppe, når karakteristiske af kroppen er nul. I ikke-nul karakteristik viser Haboushs sætning en lidt svagere egenskab, som Mumford havde formodet .
Hvis G er en lukket glat undergruppe af GL n ( k ), der virker irreducerbart på k n , så er G reduktiv. Især GL n og SL n er reduktive (den anden er endda semi-enkel).
Reduktive Lie-grupper defineres som Lie- grupper, hvis Lie- algebra er reduktiv ; konkret er det summen af en abelisk Lie-algebra og en semi-simpel Lie-algebra . Vi tilføjer undertiden den betingelse, at den neutrale komponent (in) (den tilsluttede komponent i det neutrale element i gruppen) har et endeligt indeks .
En Lie-algebra siges at være reduktiv, hvis dens tilstødende repræsentation er fuldstændig reducerbar , men dette betyder ikke, at alle dens endelige dimensionelle repræsentationer er. Begrebet reduktiv gruppe er ikke helt den samme for Lie-grupper som for algebraiske grupper, fordi en reduktiv Lie-gruppe kan være gruppen af reelle punkter i en unipotent algebraisk gruppe.
F.eks. Er Lie-algebra ℝ, abelian og af dimension 1, åbenlyst reduktiv, og det er samtidig Lie-algebra for den reduktive algebraiske gruppe (ℝ * + , ∙) og for den enpotente algebraiske gruppe (ikke- reduktiv ) (ℝ , +), som ikke er isomorfe som algebraiske grupper, hovedsageligt fordi det eksponentielle kort ikke er en algebraisk funktion.
, hvis referencer var:
Dataradikal (i)