Systemidentifikation

Den Identifikationssystemet eller parametrisk identifikation er en teknik til automatisk opnå en matematisk model af et system fra målinger.

Principper og mål

De identifikation omfatter påføring eller observerede forstyrrelse signaler ved indgangen af et system (for eksempel et elektronisk system, disse kan være tilfældig binær eller pseudo-tilfældige, Welsh, sinus ved flere frekvenser ...) og analysere udgangssignalet for at opnå en rent matematisk model. De forskellige parametre i modellen svarer ikke til nogen fysisk virkelighed i dette tilfælde. Identifikation kan ske enten i tid (tidsrum) eller i frekvens ( Laplace-rum ). Undgå rent teoretiske modeller baseret på fysiske ligninger (generelt differentialligninger), som er lange at opnå og ofte for komplekse til den givne udviklingstid, er derfor mulig med denne teknik.

De forskellige typer modeller

Princippet med en parametrisk identifikation er at udtrække en matematisk model fra observationer. Modellen skal gøre det muligt at beregne output fra processen y til enhver tid t, hvis systemets indledende betingelser er kendte. Til dette kan vi bruge værdierne for indgangene på nuværende og tidligere tidspunkter ( u (t), u (t-1), ... ) og de tidligere værdier for output ( y (t- 1), y (t-2), ... ) i tilfælde af en regressiv model.

Det er stadig vigtigt at have grundlæggende kendskab til systemet for at vælge en passende type model

• Model med en indgang / en udgang ( SISO ) eller flere indgange og flere udgange ( MIMO )
• Model lineær eller ikke-lineær (i dette tilfælde, hvad er ikke lineær med hvad?)
• Model kontinuerlig eller diskret
• Regressiv eller uafhængig model: for en regressiv model afhænger output på et øjeblik t , y (t) af de tidligere øjeblikke (y (ti)).
• Model stokastisk eller deterministisk

Generelt er modellen repræsenteret som en overføringsfunktion ved hjælp af Z-transformationen . Identifikation kræver en modelstruktur kendt på forhånd for at identificere forskellige parametre i denne struktur. Her er de 3 mest anvendte modelstrukturer:

ARX-modellen

ARX-modellen ( Auto Regressive model med eXternal-indgange ) er en auto-regressiv model, der inkluderer u (t) -indgange og nul gennemsnitlig hvid støj . Derudover inkluderer modellen en ren forsinkelse på k- uretslag. Hvis samples systemet på en sampling periode T , så forsinkelsen vil være k * T . ζ(t){\ displaystyle \ zeta (t)}

I tidsmæssig form  :

Y(t)=B⋅[u(t-k),u(t-1-k),...]T-PÅ⋅[y(t-1),y(t-2),...]T+PÅ⋅[ζ(t),ζ(t-1),...]{\ displaystyle Y (t) = B \ cdot [u (tk), u (t-1-k), ...] ^ {T} -A \ cdot [y (t-1), y (t- 2), ...] ^ {T} + A \ cdot [\ zeta (t), \ zeta (t-1), ...]}

I et diskret rum ved hjælp af Z-transformationen  :

y(z)=z-k⋅B(z-1)PÅ(z-1)⋅u(z)+1PÅ(z-1)⋅ζ(z){\ displaystyle y (z) = z ^ {- k} \ cdot {\ frac {B (z ^ {- 1})} {A (z ^ {- 1})}} \ cdot u (z) + { \ frac {1} {A (z ^ {- 1})}} \ cdot \ zeta (z)}

ARMAX-modellen

ARMAX-modellen ( Auto Regressive Moving Average med eXternal-indgange ) tager ARX- modelens attributter, men inkluderer en overføringsfunktion med et justerbart gennemsnit på den hvide støj . Generelt bruges hvid støj til at modellere ikke-målbare forstyrrelser i modellen. Disse ikke-målbare forstyrrelser (termiske udsving, jordens vibrationer ...) er dog sjældent nul og kan også reagere på en model.

y(z)=z-k⋅B(z-1)PÅ(z-1)⋅u(z)+T(z-1)PÅ(z-1)⋅ζ(z){\ displaystyle y (z) = z ^ {- k} \ cdot {\ frac {B (z ^ {- 1})} {A (z ^ {- 1})}} \ cdot u (z) + { \ frac {T (z ^ {- 1})} {A (z ^ {- 1})}} \ cdot \ zeta (z)}

ARIMAX (eller CARIMA) -modellen

I ARIMAX-modellen ( Auto Regressive Integrated Moving Average med eXternal-indgange ) er støjmodellen direkte integreret:

y(z)=z-k⋅B(z-1)PÅ(z-1)⋅u(z)+T(z-1)(1-z-1)⋅PÅ(z-1)⋅ζ(z){\ displaystyle y (z) = z ^ {- k} \ cdot {\ frac {B (z ^ {- 1})} {A (z ^ {- 1})}} \ cdot u (z) + { \ frac {T (z ^ {- 1})} {(1-z ^ {- 1}) \ cdot A (z ^ {- 1})}} \ cdot \ zeta (z)}

Identifikationsprocedure

For at opnå et ensartet mønster er det vigtigt at aktivere processen med alle frekvenser inden for dets driftsområde. Det anvendte indgangssignal skal derfor være rig på frekvenser (have et bredt spektrum). Generelt anvendes et pseudo-tilfældigt periodisk signal (PRBS).

Når systemet har flere indgange / flere udgange, er det vigtigt at anvende dekorrelerede signaler for ikke at indføre identifikationsforstyrrelse. En almindelig idé om spændende input efter hinanden er en dårlig metode, fordi den introducerer identifikationsforstyrrelse og ikke afspejler normal systemdrift. Det er vigtigt at følge en streng procedure for at identificere en proces:

• Bestemmelse af en testprotokol: indgangssignalernes statistiske egenskaber til at feje alle frekvenser af interesse, signal / støjforholdet skal være højt nok, og antallet af målepunkter skal være signifikant for testen (> 1000)
• Bestemmelse af modelstruktur: type model, rækkefølge og forsinkelse
• Identifikation: valg af en algoritme til at finde modellen, mens fejlene mellem målingerne og modellen minimeres, generelt en algoritme baseret på metoden med mindste kvadrater (LS, RLS, RELS).
• Modelvalidering: Udførelse af flere verifikationstest. Det er nødvendigt for dette trin at anvende foranstaltninger, der er forskellige fra dem, der blev brugt under identifikationen.

Andre tilgange er også mulige, især ved at se på delrumsmatricerne i et system (men mindre effektiv end ovenfor for ikke-lineære systemer).

Dette kan således let give en mindre “teoretisk” model og bidrage til at forbedre effektivitet, kontrol eller forudsigelse (for eksempel for handlingsværdier i et økonomisk system).

Værktøjskasser Matlab og Scilab findes til at løse algoritmer (f.eks. ARMAX-type). De til Octave skal oprettes.

Bibliografi

• Ioan Doré Landau , Identifikation og kontrol af systemer. 2 nd  revideret og udvidet udgave , Hermès, 1993 ( ISBN  2-86601-365-4 )
• Rapporter 06008 og 05603 fra laboratoriet for systemanalyse og arkitektur er tilgængelige via http://www.laas.fr
• (en) Lennart Ljung, systemidentifikation , teori for brugeren ( ISBN  0-13-881640-9 )
• (en) Rik Pintelon og Johan Schoukens, systemidentifikation , en frekvensdomæne-tilgang ( ISBN  0-7803-6000-1 )