Identitet (matematik)

I matematik bruges ordet "identitet" i flere sanser: det kan for eksempel betegne et veldefineret objekt, der spiller en bestemt rolle i en familie af objekter (man taler således om funktionsidentiteten blandt funktionerne, af elementets identitet. i en gruppe af matrixidentiteten blandt matricerne osv.).

Denne artikel er viet til en anden betydning: en identitet er en lighed mellem to udtryk, som er sand uanset værdierne for de forskellige anvendte variabler ; ved misbrug af sprog døber vi undertiden også "identitet" en lighed mellem konstante udtryk , som man betragter som grundlæggende eller overraskende. Identiteter bruges generelt til at omdanne et matematisk udtryk til et andet, især til at løse en ligning eller til at udtrykke et vigtigt forhold mellem visse elementer i en teori.

Eksempler

I trigonometri bruges mange identiteter til at udføre beregninger.
For eksempel, $\ sin ^ {2} (x) + \ cos ^ {2} (x) = 1$ er en identitet i den rette forstand, sand uanset værdien af det reelle (og endda komplekse ) tal . $x$
Den identitet Vandermonde , i kombinatorik , er sandt for alle værdierne af de tre naturlige tal , der er indtrådt dér.
Eulers berømte identitet ${{\ rm {e}}} ^ {{{{\ rm {i}}} \ pi}} + 1 = 0$ linker på en enkel og slående måde grundlæggende konstanter for matematisk analyse : 0 ; 1 ; $jeg$ ; $π$ ; og $e$ .

Bemærkelsesværdige identiteter

Nogle algebraiske identiteter er kvalificeret som "bemærkelsesværdige" i gymnasiet . De letter beregningen eller faktoriseringen af polynomiske udtryk.

For eksempel giver den bemærkelsesværdige identitet , som er sand uanset elementerne og en kommutativ ring (som for de relative heltal eller feltet for de reelle tal ...) en beregningsmetode til at udføre en multiplikation, hvis man har enkel lister over firkanter: ved hjælp af $(a + b) ^ {2} = a ^ {2} + 2ab + b ^ {2}$ $på$ $b$

ab = \ dfrac {(a + b) ^ 2 - a ^ 2 - b ^ 2} {2}

ab = \ dfrac {(a + b) ^ 2 - (a - b) ^ 2} {4}

Produktets beregning kommer til beregninger af summer eller divisioner med 2 og læsning af kvadratlisten. $ab$

Identiteter, der definerer matematiske forestillinger

Nogle matematiske strukturer defineres ved hjælp af identiteter.

Et vektorrum med et antisymmetrisk bilinear-kort er pr. Definition en Lie-algebra , når Jacobi-identiteten er tilfreds: $V \,$ $\ left [\ cdot, \ cdot \ right]: V \ gange V \ rightarrow V \,$ $\ for alt x, y, z \ i V, \ qquad \ venstre [x, \ venstre [y, z \ højre] \ højre] + \ venstre [z, \ venstre [x, y \ højre] \ højre] + \ venstre [y, \ venstre [z, x \ højre] \ højre] = 0$
En algebra over et feltkommutativ er pr. Definition en Jordan-algebra , når den interne multiplikationsoperation er kommutativ og verificerer Jordanens identitet . $(x, y) \ rightarrow (x \ cdot y)$ $(x \ cdot y) \ cdot (x \ cdot x) = x \ cdot (y \ cdot (x \ cdot x))$

Bemærkninger

N. Bourbaki taler om "polynomiske identiteter" til de virkelige relationer af formen Q ( P 1 , ..., P n ) = 0 med Q , P 1 , ..., P n af polynomer med koefficienter hele . Kollegiets bemærkelsesværdige identiteter er specielle tilfælde af dette, se N. Bourbaki , Elementer i matematik. Algebra , Paris, CCLS,1970, kap. 3, s. 27.

eksterne links

Encyclopedia of Equation Online encyklopædi over matematiske identiteter