Polarisationsidentitet

I matematik , polarisering identiteter vedrører multilinear algebra . De svarer til en karakterisering af symmetriske bilineære former , Hermitian sesquilinear former . Hvis E er et vektorrum , disse figurer er kortlægninger af E × E i området af skalarer ( reelle eller komplekse ). De er fuldt ud karakteriseret ved deres adfærd på diagonalen, det vil sige ved kendskab til en sådan form f på sæt af punkter (x , x ) hvor x er et vilkårligt element i E . Applikationen φ til x associerede f ( x , x ) er den kvadratiske form, der er tilknyttet.

Der er således en ækvivalens mellem symmetriske bilineære former og kvadratiske former. En polarisationsidentitet gør det muligt at udtrykke en symmetrisk bilinær form eller en hermitisk sesquilinear form fra den tilknyttede kvadratiske form.

Polarisationsidentiteter

Der er to forskellige typer af polarisationsidentiteter, dem der gælder for bilineære former og dem for sesquilineære former.

Symmetriske bilineære former

Sammenhængen med polarisationsidentiteterne er den for et vilkårligt vektorrum E på et kommutativt felt K og med en anden egenskab end to. Lad φ være en kvadratisk form på E , ikke nødvendigvis defineret og ikke nødvendigvis positiv (hvis feltet K er ordnet).

Definition  -  Vi kalder polarisationsidentitet for hver af de følgende tre ligheder, som definerer den unikke symmetriske bilineære form f af E × E i K således, at  : f(x,x)=φ(x){\ displaystyle f (x, x) = \ varphi (x)}

∀x,y∈Ef(x,y)=12(φ(x+y)-φ(x)-φ(y)),{\ displaystyle \ forall x, y \ i E \ quad f (x, y) = {\ frac {1} {2}} {\ bigl (} \ varphi (x + y) - \ varphi (x) - \ varphi (y) {\ bigr)},}

∀x,y∈Ef(x,y)=12(φ(x)+φ(y)-φ(x-y)),{\ displaystyle \ forall x, y \ i E \ quad f (x, y) = {\ frac {1} {2}} {\ bigl (} \ varphi (x) + \ varphi (y) - \ varphi ( xy) {\ bigr)},}

∀x,y∈Ef(x,y)=14(φ(x+y)-φ(x-y)).{\ displaystyle \ forall x, y \ i E \ quad f (x, y) = {\ frac {1} {4}} {\ bigl (} \ varphi (x + y) - \ varphi (xy) {\ bigr)}.}

Især lad E en prehilbert plads reel hvis normen af en vektor x betegnes: og skalarproduktet af to vektorer x og y  : . Følgende to bånd er verificeret: ‖x‖{\ displaystyle \ scriptstyle {\ | x \ |}}(x|y){\ displaystyle \ scriptstyle {(x | y)}}

∀x,y∈E(x|y)=12(‖x+y‖2-‖x‖2-‖y‖2){\ displaystyle \ forall x, y \ i E \ quad (x | y) = {\ frac {1} {2}} {\ bigl (} \ | x + y \ | ^ {2} - \ | x \ | ^ {2} - \ | y \ | ^ {2} {\ bigr)} \ quad} og (x|y)=14(‖x+y‖2-‖x-y‖2).{\ displaystyle \ quad (x | y) = {\ frac {1} {4}} {\ bigl (} \ | x + y \ | ^ {2} - \ | xy \ | ^ {2} {\ bigr )}.}

Polarisationsidentiteterne kommer fra følgende egenskab, hvis f er en hvilken som helst bilinær form af E × E :

∀x,y∈Ef(x+y,x+y)=f(x,x)+f(y,y)+f(x,y)+f(y,x){\ displaystyle \ forall x, y \ i E \ quad f (x + y, x + y) = f (x, x) + f (y, y) + f (x, y) + f (y, x )}

og det kort, som ( x , y ) associerer ( f ( x , y ) + f ( y , x )) / 2, er symmetrisk.

En konsekvens af polarisationsidentiteter er, at hvis f er en symmetrisk bilinær form, således at f ( x , x ) = 0 over et vektors underrum F , så er f nul over vektors underrum F x F ( f ( x , y ) = 0 for alle elementer i F).

Seksklinære former til venstre

Hvis feltet K, der ligger til grund for E , ikke er det reelle tal, men som det er forsynet med en absolut værdi , bevarer begrebet norm en betydning. Hvis K er feltet for komplekserne, er den "absolutte værdi" modulet . Fra dette synspunkt er begrebet sesquilinear form den analoge, på et komplekst vektorrum, af den af ​​bilinear form på et reelt vektorrum. I dette afsnit er E et komplekst vektorrum.

Eller g en sesquilinear formular (ikke nødvendigvis Hermitian) på E . Det antages at være sesquilinear til venstre , det vil sige semi-lineær med hensyn til den første variabel og C - lineær med hensyn til den anden. Vi betegner med φ ( x ) = g ( x , x ).

Definition  -  Vi kalder polarisationsformel eller polær form for φ følgende ligestilling, så vi kan finde den venstre sesquilineære form g af E × E i ℂ:

∀x,y∈Eg(x,y)=14(φ(x+y)-φ(x-y)+jegφ(x-jegy)-jegφ(x+jegy)).{\ displaystyle \ forall x, y \ i E \ quad g (x, y) = {\ frac {1} {4}} {\ bigl (} \ varphi (x + y) - \ varphi (xy) + { \ rm {i}} \ varphi (x - {\ rm {i}} y) - {\ rm {i}} \ varphi (x + {\ rm {i}} y) {\ bigr)}.}

Her betegner jeg den imaginære enhed .

En konsekvens af polariseringsformlen er, at hvis g er en sesquilinear form, således at g ( x , x ) = 0 over et komplekst vektorunderrum F , så er g nul over vektorunderrummet F x F  ; g ( x , y ) = 0 for alle elementerne x og y for F.

Hermitian former (til venstre)

Hvis den startende sesquilineære form g er Hermitian, har kortet φ reelle værdier.

Omvendt, hvis g er en sesquilinear form (til venstre), og hvis funktionen φ har reelle værdier, viser polarisationsformlen, at g er Hermitian:

g(y,x)=g(x,y)¯{\ displaystyle g (y, x) = {\ overline {g (x, y)}}}.

Hvis kortet φ (defineret af φ ( x ) = g ( x , x )) har en reel værdi, definerer dette kort en kvadratisk form på det reelle vektorrum, der er knyttet til E , dvs. det kontrollerer: φ (αx) = α² φ (x) hvis α er et reelt tal. φ kaldes den hermitiske kvadratiske form forbundet med g.

Positive hermitiske former

Bemærkning om reelle præhilbertiske rum (afsnit om bilineære former) generaliseres, hvis E er et komplekst prehilbertisk rum, hvis norm for en vektor x er noteret: og det skalære produkt af to vektorer x og y , bemærket, er en hermitisk form til venstre: ‖x‖{\ displaystyle \ scriptstyle {\ | x \ |}}(x|y){\ displaystyle \ scriptstyle {(x | y)}}

∀x,y∈E(x|y)=14(‖x+y‖2-‖x-y‖2+jeg‖x-jegy‖2-jeg‖x+jegy‖2).{\ displaystyle \ forall x, y \ i E \ quad (x | y) = {\ frac {1} {4}} {\ bigl (} \ | x + y \ | ^ {2} - \ | xy \ | ^ {2} + {\ rm {i}} \ | x- \ mathrm {i} y \ | ^ {2} - {\ rm {i}} \ | x + {\ rm {i}} y \ | ^ {2} {\ bigr)}.}

Tilfælde af sesquilinear former til højre

Hvis startformen var sesquilinear til højre , ville polariseringsformlen være:

∀x,y∈Eh(x,y)=14(φ(x+y)-φ(x-y)+jegφ(x+jegy)-jegφ(x-jegy))=14∑k=03jegkφ(x+jegky).{\ displaystyle \ forall x, y \ i E \ quad h (x, y) = {\ frac {1} {4}} {\ bigl (} \ varphi (x + y) - \ varphi (xy) + { \ rm {i}} \ varphi (x + {\ rm {i}} y) - {\ rm {i}} \ varphi (x - {\ rm {i}} y) {\ bigr)} = {\ frac {1} {4}} \ sum _ {k = 0} ^ {3} {\ rm {i}} ^ {k} \ varphi (x + {\ rm {i}} ^ {k} y). }

Andre polarisationsformler

Der er andre polariseringsformler (givet her for en rigtig sesquilinear form ):

∀x,y∈Eh(x,y)=12(φ(x+y)+jegφ(x+jegy)-(1+jeg)(φ(x)+φ(y))){\ displaystyle \ forall x, y \ i E \ quad h (x, y) = {\ frac {1} {2}} {\ bigl (} \ varphi (x + y) + {\ rm {i}} \ varphi (x + {\ rm {i}} y) - (1 + {\ rm {i}}) (\ varphi (x) + \ varphi (y)) {\ bigr)}} ∀x,y∈Eh(x,y)=-12(φ(x-y)+jegφ(x-jegy)-(1+jeg)(φ(x)+φ(y))).{\ displaystyle \ forall x, y \ i E \ quad h (x, y) = - {\ frac {1} {2}} {\ bigl (} \ varphi (xy) + {\ rm {i}} \ varphi (x - {\ rm {i}} y) - (1 + {\ rm {i}}) (\ varphi (x) + \ varphi (y)) {\ bigr)}.}

For en positiv hermitisk form, fra de tidligere formler, opnår vi ved at isolere den virkelige del:

Re⟨u,v⟩=12(‖u+v‖2-‖u‖2-‖v‖2),Re⟨u,v⟩=12(‖u‖2+‖v‖2-‖u-v‖2),Re⟨u,v⟩=14(‖u+v‖2-‖u-v‖2).{\ displaystyle {\ begin {array} {l} {\ text {Re}} \ langle u, v \ rangle = {\ frac {1} {2}} \ left (\ | u + v \ | ^ {2 } - \ | u \ | ^ {2} - \ | v \ | ^ {2} \ right), \\ [3pt] {\ text {Re}} \ langle u, v \ rangle = {\ frac {1 } {2}} \ left (\ | u \ | ^ {2} + \ | v \ | ^ {2} - \ | uv \ | ^ {2} \ right), \\ [3pt] {\ text { Re}} \ langle u, v \ rangle = {\ frac {1} {4}} \ left (\ | u + v \ | ^ {2} - \ | uv \ | ^ {2} \ right). \ slut {array}}}

For den imaginære del af en hermitisk (positiv) form til højre  :

Jeg er⟨u,v⟩=12(‖u+jegv‖2-‖u‖2-‖v‖2),Jeg er⟨u,v⟩=12(‖u‖2+‖v‖2-‖u-jegv‖2),Jeg er⟨u,v⟩=14(‖u+jegv‖2-‖u-jegv‖2).{\ displaystyle {\ begin {array} {l} {\ text {Im}} \ langle u, v \ rangle = {\ frac {1} {2}} \ left (\ | u + \ mathrm {i} v \ | ^ {2} - \ | u \ | ^ {2} - \ | v \ | ^ {2} \ right), \\ [3pt] {\ text {Im}} \ langle u, v \ rangle = {\ frac {1} {2}} \ left (\ | u \ | ^ {2} + \ | v \ | ^ {2} - \ | u- \ mathrm {i} v \ | ^ {2} \ højre), \\ [3pt] {\ text {Im}} \ langle u, v \ rangle = {\ frac {1} {4}} \ left (\ | u + \ mathrm {i} v \ | ^ { 2} - \ | u- \ mathrm {i} v \ | ^ {2} \ right). \ End {array}}}

Disse formler kan omskrives til Hermitian-former, der ikke nødvendigvis er positive.

Korrespondance mellem symmetriske bilineære (eller Hermitian) former og kvadratiske former

Kortet, som til en symmetrisk bilinær form (hhv. En sesquilinear form til venstre) knytter sin kvadratiske form (henholdsvis det tilknyttede kort φ) er et injektivt lineært kort og inducerer derfor en isomorfisme af vektorrum (altid med en anden karakteristik) af 2) på dets billede (vektorrummet for kvadratiske former i tilfælde af en symmetrisk bilinær form). Den polære form svarer til den gensidige isomorfisme . I tilfælde af de hermitiske sesquilineære former er billedet det virkelige underrum af de hermitiske kvadratiske former.

Standarder som følge af et punktprodukt

Det er muligt at gå længere ved hjælp af parallelogramreglen .

Virkelig sag

I dette afsnit betegner E et ægte vektorrum. Hvis φ er en kvadratisk form, verificerer den følgende ligestilling kendt som parallelogramreglen:

∀x,y∈Eφ(x+y)+φ(x-y)=2(φ(x)+φ(y)).{\ displaystyle \ forall x, y \ i E \ quad \ varphi (x + y) + \ varphi (xy) = 2 {\ bigl (} \ varphi (x) + \ varphi (y) {\ bigr)}. }

Det omvendte er sandt under den antagelse, at for alle vektorer x og y er den numeriske funktion t ↦ φ ( x + ty ) kontinuerlig eller endda kun målbar .

Demonstration

Definer f ved polarisationsidentiteten:

∀x,y∈Ef(x,y)=14(φ(x+y)-φ(x-y)).{\ displaystyle \ forall x, y \ i E \ quad f (x, y) = {\ frac {1} {4}} {\ Big (} \ varphi (x + y) - \ varphi (xy) {\ Stor)}.}

• f ( x , x ) = φ ( x ) = φ (- x ):
  • identiteten af ​​parallelogrammet, anvendt på y = x , giver: φ (2 x ) + φ (0) = 4 φ ( x ), især φ (0) = 0, så f ( x , x ) = ( φ (2 x ) - φ (0)) / 4 = φ ( x );
  • anvendt på x = 0, giver det (ved at genbruge at φ (0) = 0): φ (- y ) = φ ( y ).
• f ( x + y , z ) = f ( x , z ) + f ( y , z ):

Se spørgsmål 5.2 om normaliserede vektorrum / Øvelser / Normer # Øvelse 1-4: norm og prikprodukt på Wikiversity .

• For enhver vektor z er kortet f (∙, z ) ℝ-lineært  :
  Se artiklen Cauchy funktionel ligning .
• Kortet f er symmetrisk bilinear:
  Den symmetriske karakter af f kommer fra pariteten af φ og bilineariteten udledes derefter fra det foregående punkt.

Vi udleder følgende sætning:

Fréchets sætning - Von Neumann - Jordan- reel sag  -  En norm N over E stammer fra et skalarprodukt, hvis og kun hvis N 2 respekterer parallelogramets identitet. Dette skalære produkt er så unikt, da det er givet af en af ​​de tre polarisationsidentiteter i det virkelige tilfælde .

Tilstrækkelige forhold. For at en norm N over et ægte vektorrum E kan stamme fra et punktprodukt, er en af ​​følgende nødvendige betingelser tilstrækkelig:

1. ∀x,y∈E såsom IKKE(x)=IKKE(y)=1,IKKE(x+y)2+IKKE(x-y)2≤4.{\ displaystyle \ forall x, y \ i E ~ {\ tekst {såsom}} ~ N (x) = N (y) = 1, \ quad N (x + y) ^ {2} + N (xy) ^ {2} \ leq 4.}
2. ∀x,y∈E såsom IKKE(x)=IKKE(y)=1,IKKE(x+y)2+IKKE(x-y)2≥4.{\ displaystyle \ forall x, y \ i E ~ {\ text {såsom}} ~ N (x) = N (y) = 1, \ quad N (x + y) ^ {2} + N (xy) ^ {2} \ geq 4.}
3. Der findes et kort F  : [0, 2] → ℝ således at:
   ∀x,y∈E såsom IKKE(x)=IKKE(y)=1,IKKE(x-y)=F(IKKE(x+y)).{\ displaystyle \ forall x, y \ i E ~ {\ tekst {sådan at}} ~ N (x) = N (y) = 1, \ quad N (xy) = F (N (x + y)). }

Kompleks sag

I dette afsnit betegner E et komplekst prehilbertisk vektorrum. Parallellogrammets identitet er stadig gyldig for standarden.

Situationen er her igen analog med situationen for virkelige rum. Normen for et hermitisk skalarprodukt karakteriserer det. Enhver norm, der tilfredsstiller parallelogramets lighed, er resultatet af et skalarprodukt.

Fréchet-Von Neumann-Jordan sætning kompleks sag  -  En norm N over E stammer fra et hermitisk skalarprodukt, hvis og kun hvis N 2 respekterer identiteten af ​​parallelogrammet. Dette skalære produkt er så unikt, da det bestemmes af polariseringsformlen.

Bemærk  : afhængigt af valget af polariseringsformel opnår vi en Hermitian-form til venstre eller til højre (med unikhed i hvert af de to tilfælde).

Demonstration

Da den virkelige sag allerede er behandlet, hvis E betragtes som et reelt vektorrum, er det udstyret med et skalarprodukt f, som normen stammer fra. Definer h ved:

∀x,y∈E,h(x,y)=f(x,y)+jegf(x,jegy).{\ displaystyle \ forall x, y \ i E, \ quad h (x, y) = f (x, y) + {\ rm {i}} f (x, {\ rm {i}} y).}

Under hensyntagen til de egenskaber, der er erhvervet for f , er det derefter tilstrækkeligt for at bevise, at h er en rigtig sesquilinær form, som normen stammer fra, til at kontrollere følgende tre punkter:

1. ∀x∈E,h(x,x)=f(x,x) ;{\ displaystyle \ forall x \ i E, \ quad h (x, x) = f (x, x) ~;}
2. ∀x,y∈E,h(jegx,y)=jegh(x,y) ;{\ displaystyle \ forall x, y \ i E, \ quad h ({\ rm {i}} x, y) = {\ rm {i}} h (x, y) ~;}
3. ∀x,y∈E,h(y,x)=h(x,y)¯.{\ displaystyle \ forall x, y \ i E, \ quad h (y, x) = {\ overline {h (x, y)}}.}

• For alle vektorer x og y , h ( i x , y ) = i h ( x , y ) og h ( y , x ) = h ( x , y )  :
  Ved at identificere reelle dele og imaginære dele kommer vi tilbage til at vise at for alle vektorer z og y , f ( i z , i y ) = f ( z , y ), dvs. operatøren af ​​multiplikation med i bevarer punktproduktet f . Dette resulterer (via en af ​​de tre polarisationsidentiteter i det virkelige tilfælde), at det er ℝ-lineært og bevarer normen.
• For enhver vektor x , h ( x , x ) = f ( x , x ):
  Ifølge det foregående punkt er h ( x , x ) lig med sin reelle del.

Noter og referencer

1. N. Bourbaki , EVT , kap. V, s. 2
2. Ramis, Deschamp, Odoux, Special matematik kursus , bind 2, Masson, s. 103
3. JM Arnaudiès og H. Fraysse, bilinear algebra og geometri , Dunod University, s. 128.
4. For en variant anvendelse af den første polarisation identitet, se Georges Skandalis , Topologie et analysere 3 e  année , Dunod, Coll. “Sciences Sup”, 2001, s.  272 og 318.
5. (i) P. Jordan og J. von Neumann, "  er indre produkter i lineære metriske rum  " , Ann. af matematik. , Vol.  36, nr .  3,1935, s.  719-723 ( læs online ).
6. Dette navn er angivet i Haim Brezis , Funktionel analyse: teori og applikationer [ detalje af udgaver ] , s.  87.
7. betingelser 1 og 2 er det ikke engang nødvendigt at antage, at N er en norm: egenskaberne ved separation og homogenitet er tilstrækkelige, sub-additivitet er ikke påkrævet på forhånd , jf (en) IJ Schoenberg , "  En bemærkning til MM Dags karakterisering af indre produktrum og en formodning om LM Blumenthal  ” , Proc. Bitter. Matematik. Soc. , Vol.  3,1952, s.  961-964 ( læs online ).
8. (i) David Albert Senechalle , "  En karakterisering af indre produktrum  " , Proc. Bitter. Matematik. Soc. , Vol.  19,1968, s.  1306-1312 ( læs online ).

(en) Kōsaku Yosida , funktionel analyse , Springer, 1980 ( ISBN  3-540-10210-8 )

eksterne links

• Kvadratisk form, polarisering af V. og F. Bayart i bibmath.net
• Prehilbertian rum af C. Antonini et al. i les-mathematiques.net 2001

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">