Hermitisk rum

I matematik er et hermitisk rum et vektorrum på kommutativt felt af komplekser med en begrænset dimension og forsynet med et Hermitian-punktprodukt . Den geometri af et sådant rum er analog med den af et euklidisk rum . Mange egenskaber er fælles for begge strukturer.

Således er de karakteristiske markeringer som Cauchy-Schwarz- uligheden og den trekantede ulighed altid gyldige, eksistensen af bestemte baser , der siges at være ortonormal , sikres, og den kanoniske relation mellem rummet og dets dobbelte er af samme art som den af den euklidiske konfiguration.

Den algebraisk lukkede karakter af den underliggende krop gør diagonaliseringen af endomorfier kompatibel med det skalære produkt mere generelt. Udtrykket kompatibel her betyder normalt , det vil sige pendling med dets supplement .

Endelig er et hermitisk rum med dimension n også et euklidisk rum med dimension 2 n , derfor er de topologiske egenskaber nøjagtigt de samme.

Denne struktur skylder sit navn den franske matematiker Charles Hermite ( 1822 - 1901 ) .

Definition og første egenskaber

Definitioner

Målet er at generalisere den euklidiske rumstruktur til komplekse tal, hvilket giver fordelen ved at være et algebraisk lukket felt. På den anden side er der ikke længere en ordrerelation, der er kompatibel med kroppens operationer, og firkanten af et kompleks er undertiden negativ. For at overvinde denne vanskelighed er det skalære produkt ikke længere en bilinær form, men en hermitisk form.

En hermitisk form er en kortlægning〈⋅, ⋅〉 fra E × E til ℂ således at:

for alle x i E er kortet φ x af E i ℂ defineret af φ x ( y ) = 〈y , x〉, en lineær form og
for alle x og y i E , (hvor repræsenterer konjugationen ). $\ langle x, y \ rangle = \ overline {\ langle y, x \ rangle}$ ${\ bar {\ cdot}}$

Især 〈x , x〉 er reel og er en kvadratisk form på E set som ℝ-vektorrum. $x \ mapsto \ langle x, x \ rangle$

Bemærk også, at en hermitisk form med denne definition er sesquilinear til højre .

Hvilket fører til følgende definitioner:

Definition - Et prikprodukt over et komplekst vektorrum er en hermitisk form 〈⋅, ⋅〉 sådan at den virkelige kvadratiske form er positiv bestemt . $x \ mapsto \ langle x, x \ rangle$

Under disse betingelser er den reelle del af 〈⋅, ⋅〉 et euklidisk skalarprodukt til den reelle vektorrumsstruktur opnået ved begrænsning, og den imaginære del er en alternativ ikke-degenereret bilinær form , med andre ord en symplektisk form . ${\ mathfrak {Re}} \ left (\ langle \ cdot, \ cdot \ rangle \ right)$

Udtrykket Hermitian-produkt er synonymt med dot-produkt over et komplekst vektorrum.

Definition - Et hermitisk rum er et komplekst vektorrum med en begrænset dimension og forsynet med et punktprodukt.

Kortlægningen, som til en vektor x forbinder kvadratroden af punktproduktet af x i sig selv, er en norm kaldet den hermitiske norm ; den tilknyttede afstand , som med to vektorer forbinder normen for deres forskel, kaldes den hermitiske afstand .

I resten af artiklen betegner E et komplekst vektorrum med en begrænset dimension, ℂ kroppen af komplekse tal, 〈⋅, ⋅〉 et skalarprodukt på E , valgt lineært i forhold til den første variabel og semi-lineær med hensyn til pr. sekund. Normen bemærkes ║ ∙ ║.

Eksempler

Vektorrummet ℂ n , udstyret med det kanoniske skalære produkt og den tilhørende norm, defineret for x = ( x 1 ,…, x n ) og y = ( y 1 ,…, y n ), ved $\ langle x, y \ rangle = x_ {1} \ overline {y_ {1}} + x_ {2} \ overline {y_ {2}} + \ ldots + x_ {n} \ overline {y_ {n}} = \ sum _ {{i = 1}} ^ {n} x_ {i} \ overline {y_ {i}} {\ text {et}} \ | x \ | = {\ sqrt {\ sum _ {{i = 1}} ^ {n} | x_ {i} | ^ {2}}},$ er et hermitisk rum kaldet kanonisk hermitisk rum med dimension n .
På vektorområdet M n (ℂ) af firkantede matricer af orden n , identificeret med ℂ ( n 2 ) , omskrives det kanoniske skalære produkt derfor: $\ langle A, B \ rangle = \ sum _ {{i, j \ in \ {1, \ ldots, n \}}} A _ {{ij}} \ overline {B _ {{ij}}} = { \ mathrm {tr}} (AB ^ {*})$ hvor $tr$ betegner sporet, og B * betegner tillægs (eller transkonjugat) matrix for B (det vil sige transponere af matrixen, hvis koefficienter er konjugaterne for koefficienterne B ). Den tilknyttede norm kaldes " Frobenius-normen ".
Vektorrummet for komplekse polynomer med en grad mindre end eller lig med n ,
- leveres med det skalære produkt $\ left \ langle \ sum _ {{i = 0}} ^ {{n}} a_ {i} X ^ {i}, \ sum _ {{i = 0}} ^ {{n}} b_ {i} X ^ {i} \ højre \ rangle = \ sum _ {{i = 0}} ^ {n} a_ {i} \ overline {b_ {i}}$ er et hermitisk rum, trivielt isomorft til det kanoniske hermitiske rum med dimension n + 1.
- med et andet skalarprodukt: $\ langle P, Q \ rangle = \ int _ {0} ^ {1} P (t) \ overline {Q (t)} \ {{\ rm {d}}} t$ er også et hermitisk rum. Dette skalar produkt er, at for Hilbert rummet $L 2 ([0, 1])$ (af uendelig dimension), begrænset til underrum af polynomiumfunktioner (identificeret som polynomier) af grad mindre end eller lig med n .
- leveres med det skalære produkt (forskelligt fra de to foregående): $\ langle P, Q \ rangle = \ sum _ {{i = 0}} ^ {n} P (x_ {i}) \ overline {Q (x_ {i})}$ (hvor x 0 ,…, x n er n + 1 forskellige komplekser) er isomorf til det kanoniske hermitiske rum med dimension n + 1, ved kortet P ↦ ( P ( x 0 ),…, P ( x n )).

Uligheder og identiteter

Følgende egenskaber er verificeret i ethvert komplekst prehilbertisk rum , med dimension ikke nødvendigvis endelig. Nogle er kun en gentagelse af egenskaberne ved det virkelige $prikprodukt Re$ (〈⋅, ⋅〉), som har den samme tilknyttede norm som 〈⋅, ⋅〉.

Ligesom den virkelige situation bekræftes de to klassiske tillæg altid. Hvis x og y betegner to vektorer af E :

den Cauchy-Schwarz : ; $| \ langle x, y \ rangle | \ leq \ | x \ | \ | y \ |$
den Trekantsuligheden : Sidstnævnte viser, at den tredje aksiom af definitionen af en standard , sagde subadditivity er markeret. De to andre (adskillelse og homogenitet) er åbenbart det. $\ | x + y \ | \ leq \ | x \ | + \ | y \ |.$
Udviklingen af kvadratet af normen for en sum, $\ | x + y \ | ^ {2} = \ | x \ | ^ {2} + \ | y \ | ^ {2} +2 {{\ rm {Re}}} \ venstre (\ langle x, y \ rangle \ right),$ giver os mulighed for at etablere den pythagorasiske sætning : hvis x og y er ortogonale , så i modsætning til den euklidiske situation er det omvendte ikke længere sandt, da et skalarprodukt her kan være en ren imaginær ikke-nul. $\ | x + y \ | ^ {2} = \ | x \ | ^ {2} + \ | y \ | ^ {2}.$
Udviklingen af kvadratet af normen for summen af to vektorer viser parallelogramreglen , som karakteriserer de normer, der er resultatet af et punktprodukt : $\ | x + y \ | ^ {2} + \ | xy \ | ^ {2} = 2 \ | x \ | ^ {2} +2 \ | y \ | ^ {2},$
såvel som den polære identitet: $\ | x + y \ | ^ {2} - \ | xy \ | ^ {2} = 2 \ langle x, y \ rangle +2 \ langle y, x \ rangle.$
Den polarisering identitet (formuleret her en ret sesquilinear formular ), mere præcise, viser, at skalarproduktet helt bestemmes af normen: $\ langle x, y \ rangle = {\ frac 14} \ sum _ {{k = 0}} ^ {3} {{\ rm {i}}} ^ {k} \ | x + {{\ rm {i }}} ^ {k} y \ | ^ {2}.$

Ejendomme

Ortonormalt grundlag

Situationen er nøjagtig den samme som i et euklidisk rum:

enhver ortonormal familie er gratis ;
hvis E er et hermitisk rum med dimension n og B et ortonormalt grundlag for E, så er det skalære produkt 〈u , v〉 lig med det skalære produkt 〈for alle vektorer u og v for E af koordinaterne x og y i B x , y〉 i det kanoniske hermitiske rum med dimension n . Med andre ord respekterer den lineære sammenhæng fra E til which n, som associerer med en hvilken som helst vektor dens koordinater i B de to skalære produkter og således udgør en isomorfisme af hermitiske rum;
beviset for Bessels ulighed viser, at hvis ( f i ) er en ortonormal basis af et vektors underrum F af E , indrømmer enhver vektor x af E en ortogonal projektion på F , hvis koordinater i ( f i ), kaldet Fourier-koefficienter, er de 〈X , f i〉 og bekræft $\ sum | \ langle x, f_ {i} \ rangle | ^ {2} \ leq \ | x \ | ^ {2} ~;$
vi udleder Gram-Schmidt-algoritmen , som sikrer eksistensen af et ortonormalt grundlag.

Dobbelt, supplerende og tensor produkt

Husk, at i denne artikel er en hermitisk form en rigtig sesquilinear form med hermitisk symmetri.

Konfigurationen er igen analog med den i det euklidiske rum. Prikproduktet giver et kanonisk kort φ af E i dets dobbelte E *:

{\ displaystyle \ forall x, y \ i E \ quad \ varphi _ {x}: E \ rightarrow \ mathbb {C} \ quad y \ mapsto \ varphi _ {x} (y) = \ langle y, x \ rangle .}

Rækkefølgen vendes her sammenlignet med den konvention, der er valgt i artiklen om det euklidiske rum. Faktisk ville φ x ellers være semi-lineær , og vi ville opnå en lineær sammenkædning af E i dets modsatte (vektorrum af semi-lineære former).

Med den valgte rækkefølge har vi en semi-lineær sammenhæng φ fra E til dens dobbelte E *. Når E * er udstyret med den dobbelte norm , er denne sammenhæng endda en isometri (ifølge Cauchy-Schwarz ulighed ), hvilket beviser, at denne norm er Hermitian, det vil sige forbundet med et skalarprodukt: den, der er defineret af 〈φ ( x ), φ ( y )〉 = 〈y , x〉.

Vi udleder fra φ to sammenhæng ψ 1 og ψ 2 , fra rummet L ( E ) endomorfismer af E i rummet L 3/2 ( E ) fra de sesquilineære former til højre:

\ forall a \ i {{\ rm {L}}} (E) ~ \ forall x, y \ i E \ quad \ psi _ {1} (a) (x, y) = \ langle a (x), y \ rangle {\ text {and}} \ psi _ {2} (a) (x, y) = \ langle x, a (y) \ rangle.

ψ 1 er lineær og ψ 2 er semi-lineær, så forbindelsesbinding ψ 2 −1 ∘ψ 1 er semi-lineær. Til en endomorfisme a forbinder den endomorfismen a * kaldet supplerende og defineret af følgende ligestilling:

\ forall x, y \ i E \ quad \ langle a (x), y \ rangle = \ langle x, a ^ {*} (y) \ rangle.

Endomorfismer, der er lig med (resp. Modsat) til deres supplerende, siges at være eremitere eller selvassocierede medarbejdere (resp. Antihermitians eller anti-self-associates).

Den semi-lineære - deraf ℝ-lineær - kort L ( E ) → L ( E ), a ↦ a * er ikke kun bijektiv (en semi-isomorfisme) men involutiv (( a *) * = a ). I L ( E ) betragtes som et ℝ-vektorrum, er det derfor symmetrien med hensyn til ℝ-underområdet for hermitiske endomorfier, med hensyn til den yderligere antihermitianer.

Hermitisk skalarprodukt på et tensorprodukt , især på L ( E ) ≃ E * ⊗ E , defineres på samme måde som det euklidiske tilfælde. Vi opnår

\ langle a, b \ rangle = {\ mathrm {Tr}} (a \ circ b ^ {*}).

Den semi-lineære symmetri a ↦ a * bevarer den tilknyttede norm derfor også det tilknyttede euklidiske skalære produkt $Re$ (〈⋅, ⋅〉) (jf. § “Definitioner” ).

Eksempler

Vi har ( $i$ a ) * = - $i$ ( a *). Hvis en er hermitisk, $jeg$ en er antihermitian.
Hvis A er matrixen for a med hensyn til en ortonormal basis, er den for tillægsstøtten den supplerende matrix A *.
Når endomorfismerne er repræsenteret af matricer på et fast ortonormalt grundlag, finder vi således det kanoniske Hermitian-produkt på M n (ℂ) .

Euklidisk rum, Hermitisk rum

Lad E være et hermitisk rum. Det virkelige vektorrum E ℝ, der udledes af det ved begrænsning af skalarer (en), er naturligt udstyret med et euklidisk skalarprodukt 〈⋅, ⋅〉ℝ = $Re$ (〈⋅, ⋅〉). Hvis B = ( e 1 ,…, e n ) er basis for E, og hvis $jeg$ betegner den imaginære enhed , så er B ℝ = ( e 1 ,…, e n , $i$ e 1 ,…, $i$ e n ) en basis af E ℝ , som derfor har dimension 2 n . Desuden, hvis B er ortonormalt for 〈⋅, ⋅〉, så er B ℝ ortonormalt for 〈⋅, ⋅〉ℝ .
Omvendt, lad F være et euklidisk rum med dimension n , det er muligt at nedsænke F i et hermitisk rum med dimension n : det kompleksiserede F ℂ : = ℂ⊗ F af F , udstyret med det hermitiske skalarprodukt opnået ved at tensorisere det af ℂ af det euklidiske skalære produkt fra F : ${\ displaystyle \ forall \ lambda \ otimes x, \ mu \ otimes y \ i F _ {\ mathbb {C}} \ quad \ langle \ lambda \ otimes x, \ mu \ otimes y \ rangle _ {F _ {\ mathbb {C}}} = \ lambda {\ overline {\ mu}} \ langle x, y \ rangle _ {F}.}$ Hvis ( f 1 , ..., f n ) er en ortonormal basis for F, er (1⊗ f 1 ,…, 1⊗ f n ) en ortonormal basis for F ℂ . Det er almindeligt at identificere vektorerne f i og 1 ⊗ f i .

Disse to konstruktioner strækker sig til rammen af præhilbertiske dimensionelle rum, der ikke nødvendigvis er endelige.

Bemærkninger

De to konventioner (venstre og højre) eksisterer sammen. Denne artikel tager den rigtige konvention; artiklerne Kompleks sesquilinear form og Polarisationens identitet favoriserer venstrefløjen.
Metoden, der udsættes her, bruges ofte, når forfatteren af et værk ønsker at være formelt streng. En formalisering orienteret mod fysik er givet i C. Semay og B. Silvestre-Brac, Introduction au calcul tensoriel, application à la physique , Dunod, 2007 ( ISBN 978-2-10-050552-4 ) .

Se også

eksterne links

Prikproduktet over ℂ n , Gram-Schmidt-metoden, Hermitian-matricer, enhed og diagonalisering af Véronique Hussin og Alina Stancu, fra University of Montreal
Hermitian-rum af C. Antonini et al. , 2001, på les-mathematiques.net

Bibliografi

Serge Lang , Algebra [ detaljer af udgaver ]