Paritet af en funktion

I matematik , den pariteten af en funktion af en reel , kompleks eller vektor variabel er en egenskab, først kræver symmetri af domæne definition i forhold til oprindelse , så udtrykkes ved den ene eller den anden af følgende forhold:

lige funktion : for alle x i definitionsdomænet, $f (- x ) = f ( x )$ ;
ulige funktion : for alle x i definitionsdomænet, $f (- x ) = - f ( x )$ .

I reel analyse er lige funktioner funktioner, hvis repræsentative kurve er symmetrisk i forhold til y-aksen, såsom konstante funktioner , kvadratfunktionen og mere generelt magtfunktionerne med jævne eksponenter , cosinus- og hyperbolske cosinusfunktioner ... Odd funktioner er dem, hvis repræsentative kurve er symmetrisk med hensyn til oprindelsen, såsom identitet , terning og mere generelt magtfunktioner med ulige eksponent- , invers- , sinus- , tangens- , hyperbolske sinus- og hyperbolske tangensfunktioner og deres gensidige .

De eneste funktioner, der skal være både lige og ulige, er nul-funktionerne på et symmetrisk domæne.

Enhver funktion er generelt hverken lige eller ulige, selvom dens definitionsdomæne er symmetrisk med hensyn til oprindelsen. Enhver funktion defineret på et sådant domæne er på den anden side skrevet på en unik måde som summen af en lige funktion og en ulige funktion.

Demonstrationen af pariteten af en funktion af en reel variabel (hvad enten den er lige eller ulige) gør det især muligt at begrænse sin undersøgelse til positive realer.

brug

Paritetsfunktionen bruges for eksempel til kun at studere funktioner over halvdelen af deres definitionsinterval, hvor den anden halvdel udledes af symmetri. Bemærk, at en ulige funktion, defineret som 0, er nul på dette punkt (faktisk, da det er ulige, for alt , og derfor ; således . $f$ $f (-x) = - f (x)$ $x$ $f (0) = - f (0)$ $f (0) = 0$

Vi kan også forenkle den integrale beregning i tilfælde af en lige eller ulige funktion, da for lige er lig med , hvilket kan ses med den grafiske repræsentation af området under kurven, og henholdsvis for ulige er lig med . Faktisk vil der være så stort et positivt område af til som der er et negativt område af til . $\ int _ {{- n}} ^ {n} f (x) \, {\ mathrm d} x$ $f$ ${\ displaystyle 2 \ times \ int _ {0} ^ {n} f (x) dx \,}$ $\ int _ {{- n}} ^ {n} f (x) \, {\ mathrm d} x,$ $f$ ${\ displaystyle 0}$ ${\ displaystyle 0}$ $ikke$ $-ikke$ ${\ displaystyle 0}$

Denne definition af paritet og imparitet kan også gøres eksplicit med begrebet symmetrizering af en funktion: den symmetriiserede funktion af en funktion s er den funktion š, der associeres med en given, og for eksempel er s , selvom den er lig med dens symmetriseret. ${\ displaystyle s (-x)}$ $x$

Jævn og ulige del af en funktion

Hvis er en delmængde af symmetrisk med hensyn til 0 (dvs. hvis tilhører derefter tilhører ), kan enhver funktion entydigt nedbrydes som summen af en lige funktion og en ulige funktion: $E$ $\ mathbb {R}$ $x$ $E$ $-x$ $E$ $f: E \ til \ mathbb {R}$

{\ displaystyle f (x) = f _ {\ text {p}} (x) + f _ {\ text {i}} (x)}

, hvor den lige funktion er

{\ displaystyle f _ {\ text {p}} (x) = {\ frac {f (x) + f (-x)} {2}}}

og den ulige funktion er

{\ displaystyle f _ {\ text {i}} (x) = {\ frac {f (x) -f (-x)} {2}}}

Faktisk er vektorunderrummet for lige funktioner og ulige funktioner yderligere i rummet af funktioner i . $E$ $\ mathbb {R}$

Derfor kan vi tale om den lige del af og dens ulige del. For eksempel er den eksponentielle funktion er som summen af funktioner hyperbolske cosinus , og hyperbolske sinus , . $f$ ${\ displaystyle x \ mapsto {\ frac {\ mathrm {e} ^ {x} + \ mathrm {e} ^ {- x}} {2}}}$ ${\ displaystyle x \ mapsto {\ frac {\ mathrm {e} ^ {x} - \ mathrm {e} ^ {- x}} {2}}}$

Grafisk repræsentation

Lad være en funktion defineret på og dens graf i et aksekoordinatsystem . $f$ $E$ $(C_ {f})$ $(Ox), (Oy)$

$f$ er en jævn funktion, hvis og kun hvis den er symmetrisk omkring aksen , parallelt med aksen . $(C_ {f})$ $(Oy)$ $(Okse)$
$f$ er en ulige funktion, hvis og kun hvis er symmetrisk omkring oprindelsen . $(C_ {f})$ $O$

Funktionen er jævn. ${\ displaystyle x \ mapsto x ^ {4}}$
Funktionen er ulige. ${\ displaystyle x \ mapsto x ^ {3} -3x}$

Men en funktion, hvis repræsentative kurve har en akse eller et symmetricenter, er ikke nødvendigvis lige eller ulige: det er nødvendigt, at centrum er eller aksen er . $O$ $(Oy)$

Nogle egenskaber

Hver konstant funktion er jævn.
Enhver jævn og monoton funktion over dens definitionssæt er konstant.
Den eneste funktion, der er både lige og ulige, er null- funktionen (konstant funktion lig med nul).
Generelt er summen af en lige funktion og en ulige funktion hverken lige eller ulige; eks: 1 + x .
Summen eller forskellen på to lige funktioner er jævn.
Summen eller forskellen på to ulige funktioner er ulige.
Paritet følger, for produkt eller kvotient , den regel af tegn : ethvert produkt eller kvotient af to endda funktioner er en lige funktion, ethvert produkt eller kvotient af to ulige funktioner er også en lige funktion, et produkt eller kvotient af en lige funktion ved ulige funktion er en ulige funktion.
Den derivat af en lige funktion er en ulige funktion; afledningen af en ulige funktion er en lige funktion.
En primitiv af en ulige funktion på E er ikke nødvendigvis ens, medmindre E er et interval.
En primitiv af en jævn funktion på E er ikke nødvendigvis ulige, undtagen hvis E er et interval, og hvis den primitive betragtning desuden er den, der forsvinder ved 0.
Forbindelsen med to ulige funktioner er ulige; forbindelsen g ∘ f af en lige funktion g med en ulige funktion f er en lige funktion.
Forbindelsen g ∘ f af en hvilken som helst funktion g med en jævn funktion f er en jævn funktion.

Se også

Noter og referencer

Hvilket sandsynligvis er en af grundene til dette valg af ordforråd.
Bevis ved analyse-syntese er klassisk og er blot et specialtilfælde af diagonalisering af symmetri : se f.eks X. Oudot og Mr. Allano Chevalier Matematik HPIC - PTSI 1 st år: Alt i én , Hatchet ,2008( læs online ) , kap. 11 (“Vektorrum”), s. 203og denne øvelse korrigeret på Wikiversity .