Sti integreret

En fuld sti (" path integral " på engelsk) er en funktionel integral , det vil sige at integrering er funktionel, og summen overtages af funktionerne og ikke på reelle tal (eller komplekse ) som for almindelige integraler . Vi har derfor her at gøre med et integreret i uendelig dimension. Således skelner vi omhyggeligt stienintegral (funktionel integral) fra en almindelig integral beregnet på en sti med fysisk rum, som matematikere kalder krumlinjær integral .

Det var Richard Feynman, der introducerede stiintegraler i fysik i sin afhandling, forsvarede iMaj 1942, der beskæftiger sig med formuleringen af kvantemekanik baseret på Lagrangian . Den oprindelige motivation kommer fra ønsket om at opnå en kvanteformulering af Wheeler og Feynmans absorberteori fra en Lagrangian (snarere end en Hamiltonian ) som udgangspunkt. På grund af den Anden Verdenskrig , vil disse resultater ikke blive offentliggjort indtil 1948. Denne matematiske værktøj hurtigt etableret sig i teoretisk fysik med sin generalisering til kvantefeltteori , så især en kvantificering af ikke- Abelian gauge teorier. Enklere end den kanoniske kvantisering procedure.

Derudover udviklede matematikeren Mark Kac et lignende koncept til den teoretiske beskrivelse af Brownian-bevægelse , inspireret af resultater opnået af Norbert Wiener i 1920'erne. I dette tilfælde taler vi om Feynman-Kac-formlen , som er en integreret del af Wiener-foranstaltningen.

Genesis af begrebet stiintegral

Som studerende på 3 e- cyklus ledet af Wheeler i Princeton University søger den unge Feynman en kvantificeringsmetode baseret på Lagrangian for at beskrive et system, der ikke nødvendigvis skal Hamiltonian . Hans primære motivation er at kvantificere den nye formulering af klassisk elektrodynamik baseret på fjern handling, som han netop har udviklet med Wheeler.

I foråret 1941 mødte han Herbert Jehle, dengang en besøgende i Princeton, der fortalte ham under en aften på Nassau Tavern eksistensen af en artikel af Dirac, der specifikt diskuterer kvantificering fra Lagrangian. Jehle specificerer over for Feynman, at denne formulering tillader en kovariant relativistisk tilgang meget lettere end den, der er baseret på Hamiltonian. Den næste dag går de to fysikere til biblioteket for at studere Diracs artikel. De læser især følgende sætning:

For to øjeblikke og naboer, amplituden af elementære overgang er lig med

t

{\ displaystyle t + \ epsilon \,}

{\ displaystyle \ langle q_ {2} (t + \ epsilon) | q_ {1} (t) \ rangle \,}

{\ displaystyle \ exp (iS [q] / \ hbar) \,}

I denne formel er størrelsen S [ q ( t )] den klassiske handling :

{\ displaystyle S [q_ {2} (t + \ epsilon), q_ {1} (t)] \ = \ \ int _ {t} ^ {t + \ epsilon} L (q, {\ dot {q} }) \ \ mathrm {d} t \ = \ L \ left (q_ {1}, {\ frac {q_ {2} -q_ {1}} {\ epsilon}} \ right) \ \ epsilon \,}

For at forstå hvad Dirac betyder analogt , studerer Feynman sagen om en ikke-relativistisk massepartikel m, som Lagrangian er skrevet for:

{\ displaystyle L (q, {\ dot {q}}) \ = \ {\ frac {m} {2}} {\ dot {q}} ^ {2} \ - \ V (q)}

Vi ved det :

{\ displaystyle \ langle q_ {2} | \ psi (t + \ epsilon) \ rangle \ = \ \ psi (q_ {2}, t + \ epsilon) \ = \ \ int \ mathrm {d} q_ {1} \, \ langle q_ {2} (t + \ epsilon) | q_ {1} (t) \ rangle \, \ langle q_ {1} | \ psi (t) \ rangle}

Feynman antager derefter et forhold mellem proportionalitet :

{\ displaystyle \ psi (q_ {2}, t + \ epsilon) \ = \ A \ \ int \ mathrm {d} q_ {1} \, \ exp \, \ left (\, i \, {\ frac { S [q (t)]} {\ hbar}} \, \ right) \ \ psi (q_ {1}, t)}

hvor A er en ukendt konstant. I nærværelse af Jehle demonstrerer Feynman , at denne ligning indebærer, at adlyder Schrödinger-ligningen: ${\ displaystyle \ psi (q, t) \,}$

{\ displaystyle \ left [\, - \ {\ frac {\ hbar ^ {2}} {2m}} \ {\ frac {\ partial ^ {2} ~~} {\ partial q ^ {2}}} \ + \ V (q) \, \ right] \ \ psi (q, t) \ = \ i \, \ hbar \ {\ frac {\ partial ~~} {\ partial t}} \ psi (q, t) }

på betingelse af at den ukendte konstant A er lig med:

{\ displaystyle A \ = \ {\ sqrt {\ frac {m} {2 \ pi \ hbar i \ epsilon}}}}

I efteråret 1946, under det halvtredsårige af Princeton University, mødte Feynman Dirac, og følgende korte udveksling fandt sted:

Feynman. - " Vidste du, at disse to størrelser var proportionale?" " Dirac. - " Er de det? " Feynman. - " Ja. " Dirac. - " Åh! Det er interessant. "

Dette lakoniske svar sætter en stopper for diskussionen ... For mere historiske detaljer vil man med overskud læse artiklen fra Schweber.

Påmindelser på propagatoren af Schrödinger-ligningen

For at forenkle notationerne begrænser vi os nedenfor til tilfældet med en enkelt rumdimension. Resultaterne strækker sig let til et hvilket som helst antal dimensioner.

Definition

Overvej en ikke-relativistisk partikel med masse m , beskrevet i kvantemekanik ved hjælp af en bølgefunktion . Lad os antage, at vi giver os selv den oprindelige tilstand på et fast startmoment . Derefter gives bølgefunktionen på et senere tidspunkt , løsning af Schrödinger-ligningen , af den integrerede ligning: ${\ displaystyle \ psi (q_ {0}, t_ {0}) \,}$ ${\ displaystyle t_ {0} \,}$ ${\ displaystyle t_ {1}> t_ {0} \,}$

{\ displaystyle \ psi (q_ {1}, t_ {1}) \ = \ \ int \ mathrm {d} q_ {0} \ K (q_ {1}, t_ {1} | q_ {0}, t_ { 0}) \ \ psi (q_ {0}, t_ {0})}

hvor er propagatoren af partiklen: ${\ displaystyle K (q_ {1}, t_ {1} | q_ {0}, t_ {0}) \,}$

{\ displaystyle {K (q_ {1}, t_ {1} | q_ {0}, t_ {0}) \: = \ \ left \ langle q_ {1} {\ Big |} e ^ {- i {\ hat {H}} (t_ {1} -t_ {0}) / \ hbar} {\ Big |} q_ {0} \ right \ rangle}}

Ĥ er den Hamilton-operatør af partiklen.

Chapman-Kolmogorov ligning

Husk på, at hvis propagatoren adlyder ligningen Chapman-Kolmogorov : ${\ displaystyle t_ {2}> t_ {1}> t_ {0} \,}$

{\ displaystyle K (q_ {2}, t_ {2} | q_ {0}, t_ {0}) \ = \ \ int \ mathrm {d} q_ {1} \ K (q_ {2}, t_ {2 } | q_ {1}, t_ {1}) \ K (q_ {1}, t_ {1} | q_ {0}, t_ {0})}

Denne relation giver os mulighed for at finde propagatorens udtryk i form af en stiintegral.

Ekspression af propagatoren i form af stiintegral

Lad os se efter propagatorens udtryk mellem det første øjeblik og det sidste øjeblik . ${\ displaystyle K (q_ {f}, t_ {f} | q_ {i}, t_ {i}) \,}$ $t_ {i} \,$ ${\ displaystyle t_ {f} \,}$

Anvendelse af Chapman-Kolmogorov ligningen

Tidsintervallet er opdelt i N elementære tidsintervaller ved varighed ved at indføre N + 1 gange: ${\ displaystyle \ Delta t = t_ {f} -t_ {i} \,}$ $\ epsilon \,$

{\ displaystyle t_ {k} \ = \ t_ {0} \ + k \ \ epsilon}

til

{\ displaystyle \, k \ in \ {0, \ dots, N \}}

med og . Der er derfor N - 1 mellemliggende tidspunkter mellem den indledende tid og den sidste tid . For at tidsintervallerne skal have en elementær varighed , er grænsen underforstået. ${\ displaystyle t_ {0} = t_ {i} \,}$ ${\ displaystyle t_ {N} = t_ {f} \,}$ ${\ displaystyle t_ {k} \,}$ $t_ {0} \,$ ${\ displaystyle t_ {N} \,}$ ${\ displaystyle \ epsilon = t_ {k + 1} -t_ {k} \,}$ ${\ displaystyle N \ til + \ infty \,}$

Anvendelse af Chapman-Kolmogorov-ligningen for første gang gør det muligt at skrive:

{\ displaystyle K (q_ {N}, t_ {N} | q_ {0}, t_ {0}) \ = \ \ int \ mathrm {d} q_ {N-1} \ K (q_ {N}, t_ {N} | q_ {N-1}, t_ {N-1}) \ K (q_ {N-1}, t_ {N-1} | q_ {0}, t_ {0})}

derefter anvende det en anden gang:

{\ displaystyle K (q_ {N}, t_ {N} | q_ {0}, t_ {0}) \ = \ \ int \ mathrm {d} q_ {N-1} \ mathrm {d} q_ {N- 2} \ K (q_ {N}, t_ {N} | q_ {N-1}, t_ {N-1}) \ K (q_ {N-1}, t_ {N-1} | q_ {N- 2}, t_ {N-2}) \ K (q_ {N-2}, t_ {N-2} | q_ {0}, t_ {0})}

Og så videre. Vi opnår endelig efter N - 1 ansøgninger til N - 1 mellemliggende tider:

{\ displaystyle K (q_ {N}, t_ {N} | q_ {0}, t_ {0}) \ = \ \ int \ left [\, \ prod _ {k = 1} ^ {N-1} \ mathrm {d} q_ {k} \, \ right] \ K (q_ {N}, t_ {N} | q_ {N-1}, t_ {N-1}) \ times \ cdots \ times K (q_ { k + 1}, t_ {k + 1} | q_ {k}, t_ {k}) \ times \ cdots \ times K (q_ {1}, t_ {1} | q_ {0}, t_ {0}) }

Vi bliver således ført til at overveje den elementære propagator :

{\ displaystyle K (q_ {k + 1}, t_ {k + 1} | q_ {k}, t_ {k}) \ = \ \ left \ langle q_ {k + 1} {\ Big |} e ^ { -i {\ hat {H}} \ epsilon / \ hbar} {\ Big |} q_ {k} \ right \ rangle}

Elementær propagator: Feynman-Dirac formel

For en endimensionel ikke-relativistisk massepartikel i et potentiale, hvis Hamilton-operator er skrevet: $m \,$

{\ displaystyle {\ hat {H}} \ = \ {\ hat {H}} _ {0} \ + \ V ({\ hat {q}})}

og den elementære propagator er skrevet:

{\ displaystyle K (q_ {k + 1}, t_ {k + 1} | q_ {k}, t_ {k}) \ = \ <q_ {k + 1} | e ^ {- i \, [\, {\ hat {H}} _ {0} + V ({\ hat {q}}) \,] \, \ epsilon / \ hbar} | q_ {k}>}

Vi bruger Trotter-Kato-formlen :

{\ displaystyle e ^ {t ({\ hat {A}} + {\ hat {B}})} \ = \ \ lim _ {n \ to \ infty} \ \ left [\ e ^ {{\ hat { A}} t / n} \ \ times \ e ^ {{\ hat {B}} t / n} \ \ right] ^ {n}}

Denne formel er ikke triviel, fordi operatørerne og generelt ikke pendler! Vi kommer her: ${\ displaystyle {\ hat {A}} \,}$ ${\ displaystyle {\ hat {B}} \,}$

{\ displaystyle K (q_ {k + 1}, t_ {k + 1} | q_ {k}, t_ {k}) \ = \ <q_ {k + 1} | e ^ {- i \ epsilon {\ hat {H}} _ {0} / \ hbar} \ \ times \ e ^ {- i \ epsilon V ({\ hat {q}}) / \ hbar} | q_ {k}>}

Vi kan output eksponentielt indeholdende potentialet, som kun afhænger af positionen:

{\ displaystyle K (q_ {k + 1}, t_ {k + 1} | q_ {k}, t_ {k}) \ = \ <q_ {k + 1} | e ^ {- i \ epsilon {\ hat {H}} _ {0} / \ hbar} | q_ {k}> \ \ times \ e ^ {- i \ epsilon V (q_ {k}) / \ hbar}}

Det resterende matrixelement er propagator for den frie partikel , så vi kan endelig skrive udtrykket:

{\ displaystyle K (q_ {k + 1}, t_ {k + 1} | q_ {k}, t_ {k}) \ = \ K_ {0} (q_ {k + 1}, t_ {k + 1} | q_ {k}, t_ {k}) \ \ times \ e ^ {- i \ epsilon V (q_ {k}) / \ hbar}}

Nu er udtrykket for den gratis propagator kendt nøjagtigt:

{\ displaystyle K_ {0} (q_ {k + 1}, t_ {k + 1} | q_ {k}, t_ {k}) \ = \ {\ sqrt {\ frac {m} {2 \ pi i \ hbar \ epsilon}}} \ \ exp \ left ({\ frac {+ im (q_ {k + 1} -q_ {k}) ^ {2}} {2 \ hbar \ epsilon}} \ højre)}

Bemærk, at det eksponentielle argument kan omskrives i form af et diskretiseret udtryk for hastigheden :

{\ displaystyle {\ dot {q}} _ {k} \ = \ {\ frac {(q_ {k + 1} -q_ {k})} {\ epsilon}}}

som :

{\ displaystyle K_ {0} (q_ {k + 1}, t_ {k + 1} | q_ {k}, t_ {k}) \ = \ {\ sqrt {\ frac {m} {2 \ pi i \ hbar \ epsilon}}} \ \ exp \ left ({\ frac {+ im {\ dot {q}} _ {k} ^ {2} \ epsilon} {2 \ hbar}} \ right)}

Vi udleder, at den elementære propagator er skrevet:

{\ displaystyle K (q_ {k + 1}, t_ {k + 1} | q_ {k}, t_ {k}) \ = \ \ {\ sqrt {\ frac {m} {2 \ pi i \ hbar \ epsilon}}} \ \ exp \ left ({\ frac {+ im {\ dot {q}} _ {k} ^ {2} \ epsilon} {2 \ hbar}} \ right) \ times \ \ exp \ left ({\ frac {-i \ epsilon V (q_ {k})} {\ hbar}} \ højre)}

Argumenterne for, at de to eksponentielle nu er komplekse tal, kan man skrive uden problemer:

{\ displaystyle K (q_ {k + 1}, t_ {k + 1} | q_ {k}, t_ {k}) \ = \ \ {\ sqrt {\ frac {m} {2 \ pi i \ hbar \ epsilon}}} \ \ exp \ left ({\ frac {+ im {\ dot {q}} _ {k} ^ {2} \ epsilon} {2 \ hbar}} \ - \ i \ epsilon {\ frac { V (q_ {k})} {\ hbar}} \ højre)}

eller igen:

{\ displaystyle K (q_ {k + 1}, t_ {k + 1} | q_ {k}, t_ {k}) \ = \ \ {\ sqrt {\ frac {m} {2 \ pi i \ hbar \ epsilon}}} \ \ exp \ left [+ {\ frac {i} {\ hbar}} \ \ left ({\ frac {m} {2}} {\ dot {q}} _ {k} ^ {2 } \ - \ V (q_ {k}) \ højre) \ \ epsilon \ \ højre]}

Udtrykket i parentes repræsenterer partiklens lagrangiske:

{\ displaystyle L (q_ {k}, {\ dot {q}} _ {k}) \ = \ {\ frac {m} {2}} {\ dot {q}} _ {k} ^ {2} \ - \ V (q_ {k})}

dermed Feynman-Dirac formlen for den elementære propagator:

{\ displaystyle K (q_ {k + 1}, t_ {k + 1} | q_ {k}, t_ {k}) \ = \ \ {\ sqrt {\ frac {m} {2 \ pi i \ hbar \ epsilon}}} \ \ exp \ left [+ {\ frac {i} {\ hbar}} \ L (q_ {k}, {\ dot {q}} _ {k}) \ \ epsilon \ \ right]}

Sti integreret

Vi injicerer Feynman-Dirac-udtrykket i den generelle formel:

{\ displaystyle K (q_ {N}, t_ {N} | q_ {0}, t_ {0}) \ = \ \ int \ left [\, \ prod _ {k = 1} ^ {N-1} dq_ {k} \, \ højre] \ K (q_ {N}, t_ {N} | q_ {N-1}, t_ {N-1}) \ gange \ prikker \ gange K (q_ {k + 1}, t_ {k + 1} | q_ {k}, t_ {k}) \ gange \ prikker \ gange K (q_ {1}, t_ {1} | q_ {0}, t_ {0})}

Han kommer :

{\ displaystyle K (q_ {N}, t_ {N} | q_ {0}, t_ {0}) \ = \ \ left (\, {\ frac {m} {2 \ pi i \ hbar \ epsilon}} \, \ højre) ^ {N / 2} \ \ int \ venstre [\, \ prod _ {k = 1} ^ {N-1} dq_ {k} \, \ højre] \ \ exp \ venstre [+ { \ frac {i} {\ hbar}} \ L (q_ {N-1}, {\ dot {q}} _ {N-1}) \ \ epsilon \ \ right] \ times \ dots \ times \ exp \ venstre [+ {\ frac {i} {\ hbar}} \ L (q_ {k}, {\ dot {q}} _ {k}) \ \ epsilon \ \ right] \ times \ dots \ times \ exp \ venstre [+ {\ frac {i} {\ hbar}} \ L (q_ {0}, {\ dot {q}} _ {0}) \ \ epsilon \ \ right]}

Argumentet for, at eksponentielle er komplekse tal, kan vi skrive:

{\ displaystyle K (q_ {N}, t_ {N} | q_ {0}, t_ {0}) \ = \ \ left (\, {\ frac {m} {2 \ pi i \ hbar \ epsilon}} \, \ højre) ^ {N / 2} \ \ int \ venstre [\, \ prod _ {k = 1} ^ {N-1} dq_ {k} \, \ højre] \ \ exp \ venstre [+ { \ frac {i} {\ hbar}} \ \ left [\, L (q_ {N-1}, {\ dot {q}} _ {N-1}) + \ dots + L (q_ {k}, {\ dot {q}} _ {k}) + \ dots + L (q_ {0}, {\ dot {q}} _ {0}) \, \ right] \ \ epsilon \ \ right]}

Vi anerkender i det eksponentielle argument en diskretisering af den klassiske handling :

{\ displaystyle \ lim _ {N \ to \ infty} \ sum _ {k = 1} ^ {N-1} L (q_ {k}, {\ dot {q}} _ {k}) \ epsilon \ = \ \ int _ {t_ {0}} ^ {t_ {N}} L (q (t), {\ dot {q}} (t)) dt \ = \ S \ left [\, q (t) \ , \ ret]}

Vi udleder med Feynman udtrykket af propagatoren som en funktionel integral på alle kontinuerlige stier:

{\ displaystyle K (q_ {N}, t_ {N} | q_ {0}, t_ {0}) \ = \ \ int {\ mathcal {D}} q (t) \ {\ textrm {e}} ^ {+ {\ frac {i \, S \ left [\, q (t) \, \ right]} {\ hbar}}}}

med den formelle foranstaltning:

{\ displaystyle {\ mathcal {D}} q (t) \ = \ \ lim _ {N \ to \ infty} \ left (\, {\ frac {m} {2 \ pi i \ hbar \ epsilon}} \ , \ højre) ^ {N / 2} \ \ venstre [\, \ prod _ {k = 1} ^ {N-1} dq_ {k} \, \ højre]}

Fortolkning

Feynmans formel:

{\ displaystyle K (q_ {f}, t_ {f} | q_ {i}, t_ {i}) \ = \ \ int {\ mathcal {D}} q (t) \ {\ textrm {e}} ^ {+ {\ frac {i \, S \ left [\, q (t) \, \ right]} {\ hbar}}}}

indrømmer følgende fortolkning: for at beregne amplituden for overgangen fra det oprindelige punkt i øjeblikket mod det sidste punkt i øjeblikket er det nødvendigt at overveje alle de kontinuerlige stier, der kontrollerer randbetingelserne: og . Hver sti tildeles en kompleks "vægt" af enhedsmodul :, hvor beregnes den klassiske handling på denne sti. Derefter “summerer” vi denne utallige uendelighed af komplekse vægte, og i sidste ende opnår vi den ønskede overgangsamplitude. $q_i \,$ $t_ {i} \,$ ${\ displaystyle q_ {f} \,}$ $t_f$ ${\ displaystyle q (t) \,}$ ${\ displaystyle q (t_ {i}) = q_ {i} \,}$ ${\ displaystyle q (t_ {f}) = q_ {f} \,}$ ${\ displaystyle \ exp (iS [q (t)] / \ hbar) \,}$ ${\ displaystyle S [q (t)] \,}$

Denne fortolkning er Feynmans arbejde alene, hvor Dirac ikke har taget springet. Det er implicit i hans afhandling fra 1942 og eksplicit i 1948-publikationen.

Semiklassisk grænse

I grænsen, hvor systemets handling er meget større end , kan man bruge en udvikling af den semi-klassiske type, hvor der er en lille forstyrrelse af den klassiske bane : $\ hbar$ $y$ ${\ displaystyle x_ {c}}$ ${\ displaystyle x = x_ {c} + y}$

Overvej en standard Lagrangian:

${\ displaystyle {\ mathcal {L}} [x, {\ dot {x}}] = {\ frac {m {\ dot {x}} ^ {2}} {2}} - V (x)}$

Vi skriver derefter handlingen i følgende form og begrænser os til anden rækkefølge:

${\ displaystyle S [x] \ approx S [x_ {c}] + \ int _ {t_ {i}} ^ {t_ {f}} \ mathrm {d} t \ underbrace {\ left. {\ frac {\ delvis S} {\ delvis x (t)}} \ højre | _ {x_ {c}}} _ {= 0} y (t) + {\ frac {1} {2}} \ int _ {t_ {i }} ^ {t_ {f}} \ mathrm {d} t_ {1} \, \ mathrm {d} t_ {2} \ left. {\ frac {\ partial ^ {2} S} {\ partial x (t_ {1}) \ partial x (t_ {2})}} \ right | _ {x_ {c}} y (t_ {1}) y (t_ {2}) \ Longrightarrow}$

${\ displaystyle S [x] \ approx S [x_ {c}] + {\ frac {1} {2}} \ int _ {t_ {i}} ^ {t_ {f}} \ mathrm {d} t ( m {\ dot {y}} ^ {2} -V '' (x_ {c}) y ^ {2})}$

vi kan derfor tilnærme propagatoren:

${\ displaystyle K (x_ {f}, t_ {f}; x_ {i}, t_ {i}) \ approx \ mathrm {e} ^ {iS [x_ {c}] / \ hbar} \ int {\ mathcal {D}} [y] \ mathrm {e} ^ {i \ int _ {t_ {i}} ^ {t_ {f}} \ mathrm {d} t (m {\ dot {y}} ^ {2} -V '' (x_ {c}) y ^ {2}) / 2 \ hbar}}$

en integration af dele af eksponenten fører til en gaussisk form:

${\ displaystyle K (x_ {f}, t_ {f}; x_ {i}, t_ {i}) \ approx \ mathrm {e} ^ {iS [x_ {c}] / \ hbar} \ int {\ mathcal {D}} [y] \ mathrm {e} ^ {i \ int _ {t_ {i}} ^ {t_ {f}} \ mathrm {d} t (y [-m {\ frac {d ^ {2 }} {\ mathrm {d} t ^ {2}}} - V '' (x_ {c})] y) / 2 \ hbar}}$

Definer operatøren ${\ displaystyle {\ hat {O}} = - m {\ frac {d ^ {2}} {\ mathrm {d} t ^ {2}}} - V '' (x_ {c})}$

reglerne til beregning af Gaussiske integraler indeholder:

${\ displaystyle K (x_ {f}, t_ {f}; x_ {i}, t_ {i}) \ approx cste \ cdot {\ sqrt {\ frac {1} {\ mathrm {Det} ({\ hat { O}})}}} \ cdot \ mathrm {e} ^ {iS [x_ {c}] / \ hbar}}$

Overvej nu funktionen defineret som følger: ${\ displaystyle \ Psi (t)}$

${\ displaystyle {\ hat {O}} \ Psi = \ left (-m {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2}} {\ mathrm {d} t ^ {2}}} - V '' ( x_ {c}) \ højre) \ Psi = 0}$

med kantforholdene:

${\ displaystyle \ Psi (t_ {i}) = 0}$

${\ displaystyle \ Psi '(t_ {i}) = 1}$

Vi kan så vise, at:

${\ displaystyle Det ({\ hat {O}}) = cste \ cdot \ Psi (t_ {f})}$

hvilket giver os til propagator tilnærmelse:

${\ displaystyle K (x_ {f}, t_ {f}; x_ {i}, t_ {i}) \ approx {\ sqrt {\ frac {A} {\ Psi (t_ {f})}}} \ cdot \ mathrm {e} ^ {iS [x_ {c}] / \ hbar}}$

vi bestemmer konstanten A fra propagatoren af den frie partikel:

${\ displaystyle K_ {fp} (x_ {f}, t_ {f}; x_ {i}, t_ {i}) = {\ sqrt {\ frac {m} {2 \ pi i \ hbar (t_ {f} -t_ {i})}}} \ mathrm {e} ^ {iS [x_ {c}] / \ hbar}}$

i tilfælde af den frie partikel er den funktion, der opfylder de udsatte betingelser ovenfor , som straks giver os et udtryk for A. Vi opnår endelig den såkaldte semi-klassiske tilnærmelse af propagatoren: $\ Psi$ ${\ displaystyle \ Psi (t) = t-t_ {i}}$

${\ displaystyle K (x_ {f}, t_ {f}; x_ {i}, t_ {i}) \ approx {\ sqrt {\ frac {m} {2 \ pi i \ hbar \ Psi (t_ {f} )}}} \ cdot \ mathrm {e} ^ {iS [x_ {c}] / \ hbar}}$

denne tilnærmelse er kraftig og kan undertiden endda give et nøjagtigt resultat, som i det tilfælde, hvor potentialet er potentialet for en harmonisk frekvensoscillator . I dette tilfælde skal funktionen ud over randbetingelserne tilfredsstille: $\ omega$ $\ Psi$

${\ displaystyle \ left (-m {\ frac {d ^ {2}} {\ mathrm {d} t ^ {2}}} - m \ omega ^ {2} \ right) \ Psi = 0 \ Longrightarrow \ Psi (t) = {\ frac {\ sin \ omega (t-t_ {i})} {\ omega}}}$

og vi opnår det nøjagtige udtryk for propagatoren af den harmoniske oscillator ved den semi-klassiske tilnærmelse:

${\ displaystyle K_ {ho} (x_ {f}, t_ {f}; x_ {i}, t_ {i}) = {\ sqrt {\ frac {m \ omega} {2 \ pi i \ hbar \ sin \ omega (t_ {f} -t_ {i})}}} \ cdot \ mathrm {e} ^ {iS [x_ {c}] / \ hbar}}$

med den klassiske handling fra den harmoniske oscillator:

${\ displaystyle S_ {cl} [x] = \ int _ {t_ {i}} ^ {t_ {f}} \ mathrm {d} t {\ mathcal {L}} [x, {\ dot {x}} ] = {\ frac {m \ omega} {2}} \ left [(x_ {f} ^ {2} + x_ {i} ^ {2}) \ cot \ omega (t_ {f} -t_ {i} ) - {\ frac {2x_ {i} x_ {f}} {\ sin \ omega (t_ {f} -t_ {i})}} \ højre]}$

bemærk en anden ækvivalent formulering af den semi-klassiske tilnærmelse, kendt som Van Vleck - Pauli - Morette , som følger direkte fra den foregående:

${\ displaystyle K (x_ {f}, t_ {f}; x_ {i}, t_ {i}) _ {sc} = {\ sqrt {- {\ frac {1} {2 \ pi i \ hbar}} {\ frac {\ partial ^ {2} S_ {cl}} {\ partial x_ {i} \ partial x_ {f}}}}} \ cdot \ mathrm {e} ^ {iS_ {cl} / \ hbar}}$

Bibliografi

Historiske tekster

Richard P. Feynman; Princippet om mindste handling i kvantemekanik , afhandling fra Princeton University. Denne afhandling er netop udgivet af Laurie M. Brown (se nedenfor).

Richard P. Feynman; Space-time tilgang til ikke-relativistisk kvantemekanik , Review of Modern Physics 20 (1948) 267. Denne artikel er gengivet i: Julian Schwinger (red); Udvalgte artikler om kvanteelektrodynamik , Dover Publications, Inc. (1958) ( ISBN 0-486-60444-6 ) .

PAM Dirac; Lagrangian i kvantemekanik , Physikalische Zeitschrift der Sowjetunion 3 (1) (1932) 64. Denne artikel er gengivet i: Julian Schwinger (red); Udvalgte artikler om kvanteelektrodynamik , Dover Publications, Inc. (1958) ( ISBN 0-486-60444-6 ) .

Laurie M. Brown (redaktør); Feynmans speciale: en ny tilgang til kvanteteori , World Scientific (2005), ( ISBN 981-256-380-6 ) . Indeholder Feynmans originale afhandling samt de to tidligere artikler.

Referencebøger

Jean Zinn-Justin ; Integreret vej i kvantemekanik: Introduktion , Samling nuværende viden, EDP Sciences / CNRS Éditions (2003), ( ISBN 2-86883-660-7 ) . Fremragende introduktion til emnet, denne bog er resultatet af mange års undervisning på Interuniversity Magisterium of Physics i ENS.
Claude Cohen-Tannoudji ; Suppleringer af kvantemekanik , (1966). Kursus givet i 1966 af Nobelprisen i 1997 (Collège de France, Paris). Nærmer sig den Lagrangiske formulering af kvantemekanik og brugen af Green's funktioner. Forelæsningsnotater skrevet i 1966 af Serge Haroche (Collège de France, Paris).
Richard P. Feynman og André R. Hibbs, Quantum Mechanics and Path Integrals , New York: McGraw-Hill (1965), ( ISBN 0-07-020650-3 ) .
Larry S. Schulman; Teknikker og anvendelser af Path Integration , Jonh Wiley & Sons (New York-1981), ISBN. Genoptrykt af Dover Publications, Inc. (2005), ( ISBN 0-486-44528-3 ) . En anden reference, lidt mere moderne end den forrige.
Christian Grosche & Frank Steiner; Handbook of Feynman Path Integrals , Springer Tracts in Modern Physics 145, Springer-Verlag (1998), ( ISBN 3-540-57135-3 ) .
Philippe A. Martin; Den funktionelle integral ; Presses Polytechniques Universitaires Romandes (1996), ( ISBN 2-88074-331-1 ) .
Lundqvist & co; Path Summation ; Verdensvidenskabelig (1988), ( ISBN 9971-5-0597-5 ) .
Martin Veltman; Diagrammatica , CambridgeLNP
Lewis H. Ryder; Quantum Field Theory (Cambridge University Press, 1985), ( ISBN 0-521-33859-X ) .
RJ Rivers; Path Integrals Methods in Quantum Field Theory , Cambridge University Press (1987), ( ISBN 0-521-25979-7 ) .
Hagen Kleinert , Path Integrals in Quantum Mechanics, Statistics, Polymer Physics, and Financial Markets , 4. udgave, World Scientific (Singapore, 2004), ( ISBN 981-238-107-4 ) . (Også tilgængelig online i pdf- format ).
Christian Grosche; En introduktion til Feynman-stien integreret , kursus givet på Quantenfeldtheorie und deren Anwendung in der Elementarteilchen- und Festkörperphysik , Universität Leipzig, 16.-26. November 1992. Fuld tekst tilgængelig på ArXiv: hep-th / 9302097 .
Sanjeev Seahra; Path Integrals in Quantum Field Theory , noter fra kurset Quantum Field Theory givet i 2000 af Eric Poisson ved University of Waterloo (Canada). Fuld tekst tilgængelig i pdf- format .
Richard MacKenzie; Stiintegrale metoder og applikationer , kursus givet på Rencontres du Vietnam: VIth Vietnam School of Physics , Vung Tau, Vietnam, 27. december 1999 - 8. januar 2000. Fuld tekst tilgængelig på ArXiv: quant-ph / 0004090 .
Gert Roepstorff; Path Integral Approach to Quantum Physics , Springer-Verlag (1994), ( ISBN 3-540-55213-8 ) .

Matematisk streng tilgang

(en) Sergio Albeverio (en) og Raphael Høegh-Krohn (en) , Mathematical Theory of Feynman Path Integral , Lecture Notes in Mathematics 523, Springer-Verlag, 1976
(da) James Glimm og Arthur Jaffe , Quantum Physics: a Functional Integral Point of View , New York, Springer-Verlag, 1981 ( ISBN 0-387-90562-6 )
(en) Gerald W. Johnson og Michel L. Lapidus, The Feynman Integral og Feynmans operationelle beregning , Oxford Mathematical Monographs, Oxford University Press, 2002 ( ISBN 0-19-851572-3 )
(en) Pavel Etingof, Geometry and Quantum Field Theory , MIT OpenCourseWare, 2002Dette online kursus, designet til matematikere, er en streng introduktion til kvantefeltsteori via funktionelle integraler.
(en) Cécile DeWitt-Morette , ”Feynmans vejintegral - Definition uden begrænsning af proceduren”, i Comm. Matematik. Phys. , flyvning. 28, nr . 1, 1972, s. 47–67 . [ læs online ]
(en) Pierre Cartier og Cécile DeWitt-Morette, "Et nyt perspektiv på funktionel integration", i J. Math. Phys. , flyvning. 36, 1995, s. 2137-2340 . " Funct-an / 9602005 " , tekst i fri adgang, på arXiv .
Pierre Cartier, ”Det integrerede af Feynmans veje: fra et intuitivt syn til en streng ramme”, i Today's Mathematical Lessons , Collection Le sel et le fer, Cassini, 2000 ( ISBN 2-84225-007 -9 ) , s. 27-59
(en) Alain Connes og Dirk Kreimer , ”Renormalisering i kvantefeltteori og Riemann-Hilbert-problemet, I”, i Comm. Matematik. Phys. , flyvning. 210, nr . 1, 2000 s. 249-273
(en) Alain Connes og Dirk Kreimer, "β-funktionen, diffeomorfismer og renormaliseringsgruppen", i Comm. Matematik. Phys. , flyvning. 216, nr . 1, 2001, s. 215-241
(en) Alain Connes, personlig side , artikler 137, 148, 155, 157, 158, 162, 165, 167

Noter og referencer

Fysikere henviser til den krumlinjære integral af et felt som en cirkulationsvektor (for eksempel en styrkes arbejde.)
Richard P. Feynman; Princippet om mindste handling i kvantemekanik , afhandling fra Princeton University. Denne afhandling er netop blevet offentliggjort i Laurie M. Brown (redaktør); Feynmans speciale: en ny tilgang til kvanteteori , World Scientific (2005), ( ISBN 981-256-380-6 ) .
Richard P. Feynman; Space-time tilgang til ikke-relativistisk kvantemekanik , Review of Modern Physics 20 (1948) 267. Denne artikel er gengivet i: Julian Schwinger (red); Udvalgte artikler om kvanteelektrodynamik , Dover Publications, Inc. (1958) ( ISBN 0-486-60444-6 ) samt i: Laurie M. Brown (redaktør); Feynmans speciale: en ny tilgang til kvanteteori , World Scientific (2005), ( ISBN 981-256-380-6 ) .
Der er tydeligvis en formel sammenhæng mellem de to typer stiintegraler - Feynman og Wiener - for mens Schrödinger-ligningen af en fri massiv ikke-relativistisk partikel er skrevet: hvor er kvantebølgefunktionen, ligningen af diffusionen i rummet for sandsynlighedstæthed er skrevet: Vi kan tydeligt se, at det er tilstrækkeligt at indstille: for diffusionskoefficienten, og: for tiden til at omdanne Schrödinger-ligningen til en ligning af udsendelsen. Det viser sig imidlertid, at Wiener-stienintegralet - for diffusionsligningen - er lettere at definere matematisk strengt end Feynmans - for Schrödinger-ligningen. Nogle forfattere har derfor foreslået at definere Feynman-integralen fra Wiener-målingen ved at foretage en analytisk udvidelse til imaginære tider. ${\ displaystyle - {\ frac {\ hbar ^ {2}} {2m}} \ \ Delta \ psi ({\ vec {r}}, t) \ = \ i \ hbar \ {\ frac {\ partial \ psi ({\ vec {r}}, t)} {\ partial t}}}$ $\ psi$ $P$ ${\ displaystyle D \ \ Delta P ({\ vec {r}}, \ tau) \ = \ {\ frac {\ partial P ({\ vec {r}}, \ tau)} {\ partial \ tau}} }$ ${\ displaystyle D = - \ hbar / 2m}$ ${\ displaystyle t = i \ tau}$
Denne teori offentliggøres først i 1945: John Archibald Wheeler & Richard P. Feynman; Gennemgang af moderne fysik 17 (1945) 157.
PAM Dirac; Lagrangian i kvantemekanik , Physikalische Zeitschrift der Sowjetunion 3 (1) (1932) 64. Denne artikel er gengivet i: Julian Schwinger (red); Udvalgte artikler om kvanteelektrodynamik , Dover Publications, Inc. (1958) ( ISBN 0-486-60444-6 ) samt i: Laurie M. Brown (redaktør); Feynmans speciale: en ny tilgang til kvanteteori , World Scientific (2005), ( ISBN 981-256-380-6 ) .
(i) Silvan S. Schweber , " Feynmans visualisering af rum-tids processer " , Gennemgang af Modern Physics , Vol. 58, nr . 21 st april 1986, s. 449–508 ( DOI 10.1103 / RevModPhys.58.449 ).
Denne ligning blev skrevet af Dirac i hans artikel fra 1933.
Et stort problem med denne definition er, at dette "formelle mål" ikke er et reelt mål i matematikens strenge forstand. For en streng definition af Feynman-integralen, se afhandlinger - ofte meget tekniske - i bibliografien.
Analogien med den bruniske bevægelse viser, at de stier, der bidrager væsentligt til Feynman-integralet, er kontinuerlige, men ikke adskiller sig . Mere præcist er de lipchitziske stier for eksponenter 1/2.