Lagrangian

I fysik er Lagrangian af et dynamisk system en funktion af dynamiske variabler, der gør det muligt at skrive systemets bevægelsesligninger kortfattet . Navnet stammer fra Joseph-Louis Lagrange , der etablerede principperne for processen (fra 1788 ).

Bevægelsesligningerne

Overvej et dynamisk system identificeret ved positionsparametre $q i$ (også kaldet generaliserede koordinater ). Over tid varierer disse parametre, og deres ændringshastighed er . Sættet med parametre i systemet består af $q$ $i$ , des og tid t . I et stort antal situationer er det muligt at definere en funktion således, at hvis vi indstiller: ${\ displaystyle {\ dot {q}} _ {i} = {\ frac {\ mathrm {d} q_ {i}} {\ mathrm {d} t}}}$ $\ varphi _ {i}$ ${\ displaystyle {\ dot {q}} _ {i}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {L}} [\ varphi _ {i}]}$

sjeg=∂L∂q˙jeg{\ displaystyle p_ {i} = {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial {\ dot {q}} _ {i}}}} ${\ displaystyle p_ {i} = {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial {\ dot {q}} _ {i}}}}$

(hvor den delvise afledte beregnes som om parametrene var uafhængige mellem dem), så er ligningerne af bevægelse givet ved:

dsjegdt=∂L∂qjeg.{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} p_ {i}} {\ mathrm {d} t}} = {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial q_ {i}}} .} ${\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} p_ {i}} {\ mathrm {d} t}} = {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial q_ {i}}} .}$

Formelt bemærker vi, at disse ligninger opnås ved at anvende princippet om mindste handling (eller princippet om ekstrem handling), som er skrevet:

δSδφjeg=0{\ displaystyle {\ frac {\ delta {\ mathcal {S}}} {\ delta \ varphi _ {i}}} = 0} ${\ displaystyle {\ frac {\ delta {\ mathcal {S}}} {\ delta \ varphi _ {i}}} = 0}$

med handling . ${\ displaystyle {\ mathcal {S}} [\ varphi _ {i}] = \ int {{\ mathcal {L}} [\ varphi _ {i} (s)] {} \, \ mathrm {d} ^ {n} s}}$

De opnåede bevægelsesligninger svarer derefter til Euler-Lagrange-ligningerne, der er resultatet af det foregående princip. Et dynamisk system, hvis bevægelsesligninger kan opnås fra en Lagrangian, er et dynamisk Lagrangian-system . Dette er tilfældet med den klassiske version af standardmodellen , Newtons ligninger , generelle relativitetsligninger og rent matematiske problemer såsom geodesiske ligninger eller plateau-problemet .

Lagrangian i klassisk mekanik

Lagrangian mekanik var historisk en omformulering af klassisk mekanik ved hjælp af begrebet Lagrangian. I denne forbindelse er Lagrange generelt defineret ved forskellen mellem den kinetiske energi E c = T og den potentielle energi E p = V :

L=Evs.-Es=T-V.{\ displaystyle {\ mathcal {L}} = E_ {c} -E_ {p} = TV.} ${\ displaystyle {\ mathcal {L}} = E_ {c} -E_ {p} = TV.}$

Med denne formalisme skrives Lagrange-ligningen:

ddt∂L∂q˙k=∂L∂qk.{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial {\ dot {q}} _ {k} }} = {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial q_ {k}}}.} ${\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial {\ dot {q}} _ {k} }} = {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial q_ {k}}}.}$ Demonstration

Overvej et system, der består af materielle massepunkter $m i$ . Positionerne for disse punkter er en funktion af positionsparametrene $q$ $k$ , sidstnævnte varierer over tid. Disse punkter udsættes for bindingskræfter , hvilket resulterer i, at de andre kræfter er . Hvis der ikke er nogen friktion, er det virtuelle arbejde med bindingskræfterne under en virtuel forskydning nul. Hastigheden af hver partikel er givet ved: ${\ vec r} _ {i}$ ${\ displaystyle {\ vec {f}} _ {i}}$ $\ vec F_i$ ${\ displaystyle \ delta {\ vec {r}} _ {i}}$

rjeg→˙=dr→jegdt=∑j∂r→jeg∂qjdqjdt=∑j∂r→jeg∂qjq˙j.{\ displaystyle {\ dot {\ vec {r_ {i}}}} = {\ frac {\ mathrm {d} {\ vec {r}} _ {i}} {\ mathrm {d} t}} = \ sum _ {j} {\ frac {\ partial {\ vec {r}} _ {i}} {\ partial q_ {j}}} {\ frac {\ mathrm {d} q_ {j}} {\ mathrm { d} t}} = \ sum _ {j} {\ frac {\ partial {\ vec {r}} _ {i}} {\ partial q_ {j}}} {\ dot {q}} _ {j} .}

{\ displaystyle {\ dot {\ vec {r_ {i}}}} = {\ frac {\ mathrm {d} {\ vec {r}} _ {i}} {\ mathrm {d} t}} = \ sum _ {j} {\ frac {\ partial {\ vec {r}} _ {i}} {\ partial q_ {j}}} {\ frac {\ mathrm {d} q_ {j}} {\ mathrm { d} t}} = \ sum _ {j} {\ frac {\ partial {\ vec {r}} _ {i}} {\ partial q_ {j}}} {\ dot {q}} _ {j} .}

Det er en funktion af t , af

q j

og af .

{\ displaystyle {\ dot {q}} _ {j}}

Systemets kinetiske energi er givet ved:

T=12∑jegmjegr˙→jeg2.{\ displaystyle T = {\ frac {1} {2}} \ sum _ {i} m_ {i} {{\ vec {\ dot {r}}} _ {i}} \, ^ {2}.}

{\ displaystyle T = {\ frac {1} {2}} \ sum _ {i} m_ {i} {{\ vec {\ dot {r}}} _ {i}} \, ^ {2}.}

Vi har under hensyntagen til det tidligere udtryk for :

{\ displaystyle {\ dot {\ vec {r}}} _ {i}}

∂T∂q˙k=∑jegmjeg⟨r→˙jeg,∂r→˙jeg∂q˙k⟩=∑jegmjeg⟨r→˙jeg,∂r→jeg∂qk⟩{\ displaystyle {\ frac {\ partial T} {\ partial {\ dot {q}} _ {k}}} = \ sum _ {i} m_ {i} \ left \ langle {\ dot {\ vec {r }}} _ {i}, {\ frac {\ partial {\ dot {\ vec {r}}} _ {i}} {\ partial {\ dot {q}} _ {k}}} \ right \ rangle = \ sum _ {i} m_ {i} \ left \ langle {\ dot {\ vec {r}}} _ {i}, {\ frac {\ partial {\ vec {r}} _ {i}} { \ delvis q_ {k}}} \ højre \ rangle}

{\ displaystyle {\ frac {\ partial T} {\ partial {\ dot {q}} _ {k}}} = \ sum _ {i} m_ {i} \ left \ langle {\ dot {\ vec {r }}} _ {i}, {\ frac {\ partial {\ dot {\ vec {r}}} _ {i}} {\ partial {\ dot {q}} _ {k}}} \ right \ rangle = \ sum _ {i} m_ {i} \ left \ langle {\ dot {\ vec {r}}} _ {i}, {\ frac {\ partial {\ vec {r}} _ {i}} { \ delvis q_ {k}}} \ højre \ rangle}

hvor vi bemærkede ⟨,⟩ det skalære produkt mellem vektorer. Så vi har: ddt∂T∂q˙k=∑jegmjeg⟨r→¨jeg,∂r→jeg∂qk⟩+∑jegmjeg⟨r→˙jeg,ddt∂r→jeg∂qk⟩=∑jegmjeg⟨r→¨jeg,∂r→jeg∂qk⟩+∑jegmjeg⟨r→˙jeg,∑j∂2r→jeg∂qk∂qjq˙j⟩.{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} {\ frac {\ partial T} {\ partial {\ dot {q}} _ {k}}} = \ sum _ {i} m_ {i} \ left \ langle {\ ddot {\ vec {r}}} _ {i}, {\ frac {\ partial {\ vec {r}} _ {i}} {\ partial q_ { k}}} \ højre \ rangle + \ sum _ {i} m_ {i} \ venstre \ langle {\ dot {\ vec {r}}} _ {i}, {\ frac {\ mathrm {d}} { \ mathrm {d} t}} {\ frac {\ partial {\ vec {r}} _ {i}} {\ partial q_ {k}}} \ right \ rangle = \ sum _ {i} m_ {i} \ left \ langle {\ ddot {\ vec {r}}} _ {i}, {\ frac {\ partial {\ vec {r}} _ {i}} {\ partial q_ {k}}} \ right \ rangle + \ sum _ {i} m_ {i} \ left \ langle {\ dot {\ vec {r}}} _ {i}, \ sum _ {j} {\ frac {\ partial ^ {2} {\ vec {r}} _ {i}} {\ partial q_ {k} \ partial q_ {j}}} {\ dot {q}} _ {j} \ right \ rangle.}

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} {\ frac {\ partial T} {\ partial {\ dot {q}} _ {k}}} = \ sum _ {i} m_ {i} \ left \ langle {\ ddot {\ vec {r}}} _ {i}, {\ frac {\ partial {\ vec {r}} _ {i}} {\ partial q_ { k}}} \ højre \ rangle + \ sum _ {i} m_ {i} \ venstre \ langle {\ dot {\ vec {r}}} _ {i}, {\ frac {\ mathrm {d}} { \ mathrm {d} t}} {\ frac {\ partial {\ vec {r}} _ {i}} {\ partial q_ {k}}} \ right \ rangle = \ sum _ {i} m_ {i} \ left \ langle {\ ddot {\ vec {r}}} _ {i}, {\ frac {\ partial {\ vec {r}} _ {i}} {\ partial q_ {k}}} \ right \ rangle + \ sum _ {i} m_ {i} \ left \ langle {\ dot {\ vec {r}}} _ {i}, \ sum _ {j} {\ frac {\ partial ^ {2} {\ vec {r}} _ {i}} {\ partial q_ {k} \ partial q_ {j}}} {\ dot {q}} _ {j} \ right \ rangle.}

Men er ingen ringere end . Derfor :

{\ displaystyle \ sum _ {j} {\ frac {\ partial ^ {2} {\ vec {r}} _ {i}} {\ partial q_ {k} \ partial q_ {j}}} {\ dot { q}} _ {j}}

{\ displaystyle {\ frac {\ partial {}} {\ partial q_ {k}}} \ sum _ {j} {\ frac {\ partial {\ vec {r}} _ {i}} {\ partial q_ { j}}} {\ dot {q}} _ {j} = {\ frac {\ partial {\ dot {\ vec {r}}} _ {i}} {\ partial q_ {k}}}}

ddt∂T∂q˙k=∑jegmjeg⟨r→¨jeg,∂r→jeg∂qk⟩+∑jegmjeg⟨r→˙jeg,∂r→˙jeg∂qk⟩=∑jegmjeg⟨r→¨jeg,∂r→jeg∂qk⟩+∂T∂qk{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} {\ frac {\ partial T} {\ partial {\ dot {q}} _ {k}}} = \ sum _ {i} m_ {i} \ left \ langle {\ ddot {\ vec {r}}} _ {i}, {\ frac {\ partial {\ vec {r}} _ {i}} {\ partial q_ { k}}} \ højre \ rangle + \ sum _ {i} m_ {i} \ venstre \ langle {\ dot {\ vec {r}}} _ {i}, {\ frac {\ partial {\ dot {\ vec {r}}} _ {i}} {\ partial q_ {k}}} \ højre \ rangle = \ sum _ {i} m_ {i} \ venstre \ langle {\ ddot {\ vec {r}}} _ {i}, {\ frac {\ partial {\ vec {r}} _ {i}} {\ partial q_ {k}}} \ right \ rangle + {\ frac {\ partial T} {\ partial q_ { k}}}}

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} {\ frac {\ partial T} {\ partial {\ dot {q}} _ {k}}} = \ sum _ {i} m_ {i} \ left \ langle {\ ddot {\ vec {r}}} _ {i}, {\ frac {\ partial {\ vec {r}} _ {i}} {\ partial q_ { k}}} \ højre \ rangle + \ sum _ {i} m_ {i} \ venstre \ langle {\ dot {\ vec {r}}} _ {i}, {\ frac {\ partial {\ dot {\ vec {r}}} _ {i}} {\ partial q_ {k}}} \ højre \ rangle = \ sum _ {i} m_ {i} \ venstre \ langle {\ ddot {\ vec {r}}} _ {i}, {\ frac {\ partial {\ vec {r}} _ {i}} {\ partial q_ {k}}} \ right \ rangle + {\ frac {\ partial T} {\ partial q_ { k}}}}

derfor : ddt∂T∂q˙k-∂T∂qk=∑jegmjeg⟨r→¨jeg,∂r→jeg∂qk⟩.{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} {\ frac {\ partial T} {\ partial {\ dot {q}} _ {k}}} - {\ frac {\ partial T} {\ partial q_ {k}}} = \ sum _ {i} m_ {i} \ left \ langle {\ ddot {\ vec {r}}} _ {i}, {\ frac {\ delvis {\ vec {r}} _ {i}} {\ delvis q_ {k}}} \ højre \ rangle.}

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} {\ frac {\ partial T} {\ partial {\ dot {q}} _ {k}}} - {\ frac {\ partial T} {\ partial q_ {k}}} = \ sum _ {i} m_ {i} \ left \ langle {\ ddot {\ vec {r}}} _ {i}, {\ frac {\ delvis {\ vec {r}} _ {i}} {\ delvis q_ {k}}} \ højre \ rangle.}

Anvendelsen af det grundlæggende princip for dynamik er under hensyntagen til, at hvad angår forbindelseskræfter :

{\ displaystyle \ left \ langle {\ vec {f}} _ {i}, {\ frac {\ partial {\ vec {r}} _ {i}} {\ partial q_ {k}}} \ right \ rangle = 0}

ddt∂T∂q˙k-∂T∂qk=∑jeg⟨F→jeg,∂r→jeg∂qk⟩.{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} {\ frac {\ partial T} {\ partial {\ dot {q}} _ {k}}} - {\ frac {\ partial T} {\ partial q_ {k}}} = \ sum _ {i} \ left \ langle {\ vec {F}} _ {i}, {\ frac {\ partial {\ vec {r}} _ {i}} {\ delvis q_ {k}}} \ højre \ rangle.}

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} {\ frac {\ partial T} {\ partial {\ dot {q}} _ {k}}} - {\ frac {\ partial T} {\ partial q_ {k}}} = \ sum _ {i} \ left \ langle {\ vec {F}} _ {i}, {\ frac {\ partial {\ vec {r}} _ {i}} {\ delvis q_ {k}}} \ højre \ rangle.}

Antag, at hver kraft stammer fra en potentiel

U

i-

funktion af , således at (hvor betegner gradienten). Vi har derefter:

\ vec F_i

{\ vec r} _ {i}

{\ displaystyle {\ vec {F}} _ {i} = - {\ vec {\ nabla}} U_ {i}}

{\ displaystyle {\ vec {\ nabla}}}

⟨F→jeg,∂r→jeg∂qk⟩=-⟨∇→Ujeg,∂r→jeg∂qk⟩=-∂Ujeg∂qk{\ displaystyle \ left \ langle {\ vec {F}} _ {i}, {\ frac {\ partial {\ vec {r}} _ {i}} {\ partial q_ {k}}} \ right \ rangle = - \ left \ langle {\ vec {\ nabla}} U_ {i}, {\ frac {\ partial {\ vec {r}} _ {i}} {\ partial q_ {k}}} \ right \ rangle = - {\ frac {\ partial U_ {i}} {\ partial q_ {k}}}}

{\ displaystyle \ left \ langle {\ vec {F}} _ {i}, {\ frac {\ partial {\ vec {r}} _ {i}} {\ partial q_ {k}}} \ right \ rangle = - \ left \ langle {\ vec {\ nabla}} U_ {i}, {\ frac {\ partial {\ vec {r}} _ {i}} {\ partial q_ {k}}} \ right \ rangle = - {\ frac {\ partial U_ {i}} {\ partial q_ {k}}}}

også : ddt∂T∂q˙k-∂T∂qk=-∑jeg∂Ujeg∂qk=-∂V∂qk{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} {\ frac {\ partial T} {\ partial {\ dot {q}} _ {k}}} - {\ frac {\ partial T} {\ partial q_ {k}}} = - \ sum _ {i} {\ frac {\ partial U_ {i}} {\ partial q_ {k}}} = - {\ frac {\ partial V} {\ delvis q_ {k}}}}

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} {\ frac {\ partial T} {\ partial {\ dot {q}} _ {k}}} - {\ frac {\ partial T} {\ partial q_ {k}}} = - \ sum _ {i} {\ frac {\ partial U_ {i}} {\ partial q_ {k}}} = - {\ frac {\ partial V} {\ delvis q_ {k}}}}

ved at tage for

V

summen af

U i

. Funktionen

V

afhænger kun af

q k,

så hvis vi indstiller , får vi:

{\ displaystyle {\ mathcal {L}} = TV}

ddt∂L∂q˙k=∂L∂qk{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial {\ dot {q}} _ {k} }} = {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial q_ {k}}}}

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial {\ dot {q}} _ {k} }} = {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial q_ {k}}}}

hvilket faktisk er den annoncerede Lagrange-ligning.

Ikke-unikhed ved Lagrangian

For en given Lagrangian , hvis det er muligt at omskrive det som hvor $F$ er en kontinuerlig og differentierbar funktion af systemets generaliserede koordinater, tilfredsstiller også Euler-Lagrange ligningerne. ${\ displaystyle L = L (q_ {i}, {\ dot {q}} _ {i}, t)}$ ${\ displaystyle L = L '+ {\ frac {\ mathrm {d} F (q_ {i}, t)} {\ mathrm {d} t}}}$ $Det$

Demonstration

Lad være en Lagrangian . Vi antager, at vi kan omskrive det som hvor er en funktion af de generelle koordinater og af tid (en sådan funktion kan opstå ved f.eks. At udføre en transformation af koordinaterne i systemet). I dette tilfælde har vi: ${\ displaystyle L = L (q_ {i}, {\ dot {q}} _ {i}, t)}$ ${\ displaystyle L = L '+ {\ frac {\ mathrm {d} F} {\ mathrm {d} t}}}$ ${\ displaystyle F = F (q_ {i}, t)}$

0=ddt(∂L∂q˙jeg)-∂L∂qjeg=ddt(∂L′∂q˙jeg)-∂L′∂qjeg+ddt(∂∂q˙jegdFdt)-∂∂qjegdFdt.{\ displaystyle {\ begin {align} 0 & = {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} \ left ({\ frac {\ partial L} {\ partial {\ dot {q) }} _ {i}}} \ right) - {\ frac {\ partial L} {\ partial q_ {i}}} \\ & = {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t }} \ left ({\ frac {\ partial L '} {\ partial {\ dot {q}} _ {i}}} \ right) - {\ frac {\ partial L'} {\ partial q_ {i} }} + {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} \ left ({\ frac {\ partial} {\ partial {\ dot {q}} _ {i}}} {\ frac {\ mathrm {d} F} {\ mathrm {d} t}} \ right) - {\ frac {\ partial} {\ partial q_ {i}}} {\ frac {\ mathrm {d} F} { \ mathrm {d} t}}. \ end {justeret}}} ${\ displaystyle {\ begin {align} 0 & = {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} \ left ({\ frac {\ partial L} {\ partial {\ dot {q) }} _ {i}}} \ right) - {\ frac {\ partial L} {\ partial q_ {i}}} \\ & = {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t }} \ left ({\ frac {\ partial L '} {\ partial {\ dot {q}} _ {i}}} \ right) - {\ frac {\ partial L'} {\ partial q_ {i} }} + {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} \ left ({\ frac {\ partial} {\ partial {\ dot {q}} _ {i}}} {\ frac {\ mathrm {d} F} {\ mathrm {d} t}} \ right) - {\ frac {\ partial} {\ partial q_ {i}}} {\ frac {\ mathrm {d} F} { \ mathrm {d} t}}. \ end {justeret}}}$

Vi kan omskrive det samlede derivat af $F$ som:

dFdt=∑k∂F∂qkdqkdt+∂F∂t=∑k∂F∂qkq˙k+∂F∂t{\ displaystyle {\ begin {align} {\ frac {\ mathrm {d} F} {\ mathrm {d} t}} & = \ sum _ {k} {\ frac {\ partial F} {\ partial q_ { k}}} {\ frac {\ mathrm {d} q_ {k}} {\ mathrm {d} t}} + {\ frac {\ partial F} {\ partial t}} \\ & = \ sum _ { k} {\ frac {\ partial F} {\ partial q_ {k}}} {\ dot {q}} _ {k} + {\ frac {\ partial F} {\ partial t}} \\\ end { justeret}}} ${\ displaystyle {\ begin {align} {\ frac {\ mathrm {d} F} {\ mathrm {d} t}} & = \ sum _ {k} {\ frac {\ partial F} {\ partial q_ { k}}} {\ frac {\ mathrm {d} q_ {k}} {\ mathrm {d} t}} + {\ frac {\ partial F} {\ partial t}} \\ & = \ sum _ { k} {\ frac {\ partial F} {\ partial q_ {k}}} {\ dot {q}} _ {k} + {\ frac {\ partial F} {\ partial t}} \\\ end { justeret}}}$

Så . Vi indsætter dette i Euler-Lagrange-ligningen ovenfor: ${\ displaystyle {\ frac {\ partial} {\ partial {\ dot {q}} _ {i}}} {\ frac {\ mathrm {d} F} {\ mathrm {d} t}} = {\ frac {\ partial F} {\ partial q_ {i}}}}$

0=ddt(∂L′∂q˙jeg)-∂L′∂qjeg+ddt∂F∂qjeg-∂∂qjegdFdt=ddt(∂L′∂q˙jeg)-∂L′∂qjeg{\ displaystyle {\ begin {align} 0 & = {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} \ left ({\ frac {\ partial L '} {\ partial {\ dot {) q}} _ {i}}} \ højre) - {\ frac {\ partial L '} {\ partial q_ {i}}} + {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t} } {\ frac {\ partial F} {\ partial q_ {i}}} - {\ frac {\ partial} {\ partial q_ {i}}} {\ frac {\ mathrm {d} F} {\ mathrm { d} t}} \\ & = {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} \ left ({\ frac {\ partial L '} {\ partial {\ dot {q}} _ {i}}} \ højre) - {\ frac {\ partial L '} {\ partial q_ {i}}} \ end {align}}} ${\ displaystyle {\ begin {align} 0 & = {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} \ left ({\ frac {\ partial L '} {\ partial {\ dot {) q}} _ {i}}} \ højre) - {\ frac {\ partial L '} {\ partial q_ {i}}} + {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t} } {\ frac {\ partial F} {\ partial q_ {i}}} - {\ frac {\ partial} {\ partial q_ {i}}} {\ frac {\ mathrm {d} F} {\ mathrm { d} t}} \\ & = {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} \ left ({\ frac {\ partial L '} {\ partial {\ dot {q}} _ {i}}} \ højre) - {\ frac {\ partial L '} {\ partial q_ {i}}} \ end {align}}}$

og således ser vi, at Lagrangian også opfylder Euler-Lagrange-ligningerne. $Det$

Denne egenskab ved transformation af Lagrangian demonstrerer, at Lagrangian i et system aldrig er unik, fordi man altid kan tilføje et udtryk af formen til en Lagrangian, mens man bevarer ligningerne af bevægelse. ${\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} F} {\ mathrm {d} t}}}$

Et eksempel i kartesiske koordinater

Den tid derivat af en variabel er angivet ved et punkt over det. Så hvis er positionen, angiver hastighed og acceleration. $\ vec {x}$ ${\ displaystyle {\ vec {vb}} = {\ dot {\ vec {x}}}}$ ${\ displaystyle {\ vec {a}} = {\ dot {\ vec {v}}} = {\ ddot {\ vec {x}}}}$

Den Lagrange af en ikke- relativistisk partikel med masse m i et tredimensionalt euklidisk rum , udsættes for en potentiel $E$ $p er$ skrevet:

L(x→,x→˙) = Evs.-Es = 12 m v→2 - V(x→) = 12 m x→˙2 - V(x→){\ displaystyle L ({\ vec {x}}, {\ dot {\ vec {x}}}) \ = \ E_ {c} -E_ {p} \ = \ {\ frac {1} {2}} \ m \ {\ vec {v}} ^ {2} \ - \ V ({\ vec {x}}) \ = \ {\ frac {1} {2}} \ m \ {\ dot {\ vec { x}}} ^ {2} \ - \ V ({\ vec {x}})} ${\ displaystyle L ({\ vec {x}}, {\ dot {\ vec {x}}}) \ = \ E_ {c} -E_ {p} \ = \ {\ frac {1} {2}} \ m \ {\ vec {v}} ^ {2} \ - \ V ({\ vec {x}}) \ = \ {\ frac {1} {2}} \ m \ {\ dot {\ vec { x}}} ^ {2} \ - \ V ({\ vec {x}})}$

eller

L(x→,x→˙) = s→22m - V(x→){\ displaystyle L ({\ vec {x}}, {\ dot {\ vec {x}}}) \ = \ {\ frac {{\ vec {p}} \, ^ {2}} {2m}} \ \ - \ V ({\ vec {x}})}

{\ displaystyle L ({\ vec {x}}, {\ dot {\ vec {x}}}) \ = \ {\ frac {{\ vec {p}} \, ^ {2}} {2m}} \ \ - \ V ({\ vec {x}})}

hvor p er momentum: s→ = m v→ = m x→˙{\ displaystyle {\ vec {p}} \ = \ m \ {\ vec {v}} \ = \ m \ {\ dot {\ vec {x}}}}

{\ displaystyle {\ vec {p}} \ = \ m \ {\ vec {v}} \ = \ m \ {\ dot {\ vec {x}}}}

Lad os anvende Euler-Lagrange-ligningerne i kartesiske koordinater :

d dt (∂L∂x˙jeg) - ∂L∂xjeg = 0{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} ~} {\ mathrm {d} t}} \ \ left (\, {\ frac {\ partial L} {\ partial {\ dot {x}} _ {i }}} \, \ right) \ - \ {\ frac {\ partial L} {\ partial x_ {i}}} \ = \ 0}

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} ~} {\ mathrm {d} t}} \ \ left (\, {\ frac {\ partial L} {\ partial {\ dot {x}} _ {i }}} \, \ right) \ - \ {\ frac {\ partial L} {\ partial x_ {i}}} \ = \ 0}

hvor indekset i betegner en af de 3 rumlige variabler:

x 1 = x

x 2 = y

x 3 = z

. De respektive derivater af giver derefter:

L (\ vec {x}, \ dot {\ vec {x}})

∂L∂xjeg = - ∂V∂xjeg{\ displaystyle {\ frac {\ partial L} {\ partial x_ {i}}} \ = \ - \ {\ frac {\ partial V} {\ partial x_ {i}}}} ${\ displaystyle {\ frac {\ partial L} {\ partial x_ {i}}} \ = \ - \ {\ frac {\ partial V} {\ partial x_ {i}}}}$

∂L∂x˙jeg = ∂ ∂x˙jeg(12 m x→˙2) = mx˙jeg{\ displaystyle {\ frac {\ partial L} {\ partial {\ dot {x}} _ {i}}} \ = \ {\ frac {\ partial ~} {\ partial {\ dot {x}} _ { i}}} \, \ left (\, {\ frac {1} {2}} \ m \ {\ dot {\ vec {x}}} ^ {2} \, \ right) \ = \ m \, {\ dot {x}} _ {i}} ${\ displaystyle {\ frac {\ partial L} {\ partial {\ dot {x}} _ {i}}} \ = \ {\ frac {\ partial ~} {\ partial {\ dot {x}} _ { i}}} \, \ left (\, {\ frac {1} {2}} \ m \ {\ dot {\ vec {x}}} ^ {2} \, \ right) \ = \ m \, {\ dot {x}} _ {i}}$

d dt (∂L∂x˙jeg) = mx¨jeg{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} ~} {\ mathrm {d} t}} \ \ left (\, {\ frac {\ partial L} {\ partial {\ dot {x}} _ {i }}} \, \ right) \ = \ m \, {\ ddot {x}} _ {i}} ${\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} ~} {\ mathrm {d} t}} \ \ left (\, {\ frac {\ partial L} {\ partial {\ dot {x}} _ {i }}} \, \ right) \ = \ m \, {\ ddot {x}} _ {i}}$

så vi får eksplicit for hver rumakse i :

mx¨jeg + ∂V∂xjeg = 0{\ displaystyle m \, {\ ddot {x}} _ {i} \ + \ {\ frac {\ partial V} {\ partial x_ {i}}} \ = \ 0} ${\ displaystyle m \, {\ ddot {x}} _ {i} \ + \ {\ frac {\ partial V} {\ partial x_ {i}}} \ = \ 0}$

I en galilensk referenceramme, og når kraften stammer fra potentialet V

F→resulterende = - ∇→V(x){\ displaystyle {\ vec {F}} _ {\ text {resultante}} \ = \ - \ {\ vec {\ nabla}} V (x)} ${\ displaystyle {\ vec {F}} _ {\ text {resultante}} \ = \ - \ {\ vec {\ nabla}} V (x)}$ vi finder Newtons anden lov :

m på→ =m x→¨ = F→resulterende.{\ displaystyle m \ {\ vec {a}} \ = m \ {\ ddot {\ vec {x}}} \ = \ {\ vec {F}} _ {\ text {resultante}}.} ${\ displaystyle m \ {\ vec {a}} \ = m \ {\ ddot {\ vec {x}}} \ = \ {\ vec {F}} _ {\ text {resultante}}.}$

I sfæriske koordinater

Overvej et tredimensionelt rum i sfæriske koordinater og Lagrangian: $(r, \ theta, \ varphi)$

L=m2(r˙2+r2θ˙2+r2synd2⁡(θ)φ˙2)-V(r,θ,φ).{\ displaystyle L = {\ frac {m} {2}} \ left ({\ dot {r}} ^ {2} + r ^ {2} {\ dot {\ theta}} ^ {2} + r ^ {2} \ sin ^ {2} (\ theta) \, {\ dot {\ varphi}} ^ {2} \ right) -V (r, \ theta, \ varphi).} ${\ displaystyle L = {\ frac {m} {2}} \ left ({\ dot {r}} ^ {2} + r ^ {2} {\ dot {\ theta}} ^ {2} + r ^ {2} \ sin ^ {2} (\ theta) \, {\ dot {\ varphi}} ^ {2} \ right) -V (r, \ theta, \ varphi).}$

Euler-Lagrange ligningerne skrives derefter:

ddt(δ(L)δ(r˙))-δ(L)δ(r)=0{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} \ left ({\ frac {\ delta (L)} {\ delta ({\ dot {r}})}} \ til højre) - {\ frac {\ delta (L)} {\ delta (r)}} = 0}

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} \ left ({\ frac {\ delta (L)} {\ delta ({\ dot {r}})}} \ til højre) - {\ frac {\ delta (L)} {\ delta (r)}} = 0}

ddt(δ(L)δ(θ˙))-δ(L)δ(θ)=0{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} \ left ({\ frac {\ delta (L)} {\ delta ({\ dot {\ theta}})}} \ højre) - {\ frac {\ delta (L)} {\ delta (\ theta)}} = 0}

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} \ left ({\ frac {\ delta (L)} {\ delta ({\ dot {\ theta}})}} \ højre) - {\ frac {\ delta (L)} {\ delta (\ theta)}} = 0}

ddt(δ(L)δ(φ˙))-δ(L)δ(φ)=0.{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} \ left ({\ frac {\ delta (L)} {\ delta ({\ dot {\ varphi}})}} \ højre) - {\ frac {\ delta (L)} {\ delta (\ varphi)}} = 0.}

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} \ left ({\ frac {\ delta (L)} {\ delta ({\ dot {\ varphi}})}} \ højre) - {\ frac {\ delta (L)} {\ delta (\ varphi)}} = 0.}

Enten her:

mr¨-mr(θ˙2+synd2⁡(θ)φ˙2)+Vr′=0,{\ displaystyle m \, {\ ddot {r}} - m \, r \ left ({\ dot {\ theta}} ^ {2} + \ sin ^ {2} (\ theta) \, {\ dot { \ varphi}} ^ {2} \ right) + V_ {r} '= 0,} ${\ displaystyle m \, {\ ddot {r}} - m \, r \ left ({\ dot {\ theta}} ^ {2} + \ sin ^ {2} (\ theta) \, {\ dot { \ varphi}} ^ {2} \ right) + V_ {r} '= 0,}$

(mr2θ¨)+2mrr˙θ˙-mr2synd⁡(θ)cos⁡(θ)φ˙2+Vθ′=0,{\ displaystyle \ left (m \, r ^ {2} \, {\ ddot {\ theta}} \ right) +2 \, m \, r \, {\ dot {r}} {\ dot {\ theta }} - m \, r ^ {2} \ sin (\ theta) \ cos (\ theta) \, {\ dot {\ varphi}} ^ {2} + V _ {\ theta} '= 0,} ${\ displaystyle \ left (m \, r ^ {2} \, {\ ddot {\ theta}} \ right) +2 \, m \, r \, {\ dot {r}} {\ dot {\ theta }} - m \, r ^ {2} \ sin (\ theta) \ cos (\ theta) \, {\ dot {\ varphi}} ^ {2} + V _ {\ theta} '= 0,}$

m(r2synd2⁡(θ)φ¨+2rr˙synd2⁡(θ)φ˙+2r2cos⁡(θ)synd⁡(θ)θ˙φ˙)+Vφ′=0.{\ displaystyle m \ left (r ^ {2} \ sin ^ {2} (\ theta) \, {\ ddot {\ varphi}} + 2 \, r \, {\ dot {r}} \ sin ^ { 2} (\ theta) \, {\ dot {\ varphi}} + 2 \, r ^ {2} \ cos (\ theta) \ sin (\ theta) \, {\ dot {\ theta}} \, { \ dot {\ varphi}} \ højre) + V _ {\ varphi} '= 0.} ${\ displaystyle m \ left (r ^ {2} \ sin ^ {2} (\ theta) \, {\ ddot {\ varphi}} + 2 \, r \, {\ dot {r}} \ sin ^ { 2} (\ theta) \, {\ dot {\ varphi}} + 2 \, r ^ {2} \ cos (\ theta) \ sin (\ theta) \, {\ dot {\ theta}} \, { \ dot {\ varphi}} \ højre) + V _ {\ varphi} '= 0.}$

Her reduceres sæt af parametre til tid , og de dynamiske variabler er partiklernes baner . $hvis}$ $t$ $\ varphi_i (s)$ $\ vec x (t)$

Lagrangian i feltteori

Bedømmelse

Det integrerede i Lagrangian over tid er handlingen , bemærket . I felt teori , vi nogle gange skelne Lagrange , hvis integral over tid er handlingen: $S$ $L$

S=∫Ldt{\ displaystyle S = \ int {L \, \ mathrm {d} t}}

{\ displaystyle S = \ int {L \, \ mathrm {d} t}}

af den lagrangiske tæthed , som man integrerer over al rumtid for at opnå handlingen: $\ mathcal {L}$

S[φjeg]=∫L[φjeg(x)]d4x.{\ displaystyle S [\ varphi _ {i}] = \ int {{\ mathcal {L}} [\ varphi _ {i} (x)] \, \ mathrm {d} ^ {4} x}.}

{\ displaystyle S [\ varphi _ {i}] = \ int {{\ mathcal {L}} [\ varphi _ {i} (x)] \, \ mathrm {d} ^ {4} x}.}

Lagrangian er således den rumlige integral af Lagrangian-densiteten. Imidlertid kaldes det ofte blot Lagrangian, især i moderne brug. Det er enklere i relativistiske teorier, hvor rummet defineres lokalt. Disse to typer Lagrangians kan ses som særlige tilfælde med en mere generel formel, afhængigt af om vi introducerer den rumlige variabel i indekserne eller i parametrene til skrivning . Den kvanteteori af feltet af partikelfysik, såsom kvanteelektrodynamik , er som regel skrevet i form af Lagrange tætheder , er disse vilkår let forvandles til at give reglerne for evaluering af Feynman diagrammer . $\ mathcal {L}$ $\ vec x$ $jeg$ $s$ $\ varphi_i (s)$ $\ mathcal {L}$

Euler-Lagrange ligninger

Euler-Lagrange ligningerne i feltteori er skrevet : ${\ displaystyle \ forall i}$

0=∂μ(∂L∂(∂μφjeg))-∂L∂φjeg.{\ displaystyle 0 = \ partial _ {\ mu} \ left ({\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial (\ partial _ {\ mu} \ varphi _ {i})}} \ højre) - {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial \ varphi _ {i}}}.} ${\ displaystyle 0 = \ partial _ {\ mu} \ left ({\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial (\ partial _ {\ mu} \ varphi _ {i})}} \ højre) - {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial \ varphi _ {i}}}.}$

Ikke-unikhed af den lagrangiske tæthed i klassisk feltteori

Hvad angår den ikke-unikke del af Lagrangian, er Lagrangian-densiteten i feltteori ikke unik. Lad en lagrangisk densitet så, hvis vi kan omskrive den som hvor er en quadrivector, der kun afhænger af felterne (og ikke af deres derivater) og af rumtidsvektoren, så tilfredsstil de samme Euler-Lagrange-ligninger, der . $\ mathcal {L}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {L}} = {\ mathcal {L}} '+ \ partial _ {\ mu} F ^ {\ mu}}$ ${\ displaystyle F ^ {\ mu} = F ^ {\ mu} [\ varphi, x]}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {L}} '}$ ${\ mathcal {L}}$

Demonstration

Med udgangspunkt i Euler-Lagrange-ligningerne med den oprindelige lagrangiske tæthed har vi for alt : $jeg$

0=∂μ(∂L∂(∂μφjeg))-∂L∂φjeg=∂μ(∂L′∂(∂μφjeg))-∂L′∂φjeg+∂μ[∂∂(∂μφjeg)∂vFv]-∂∂φjeg∂vFv{\ displaystyle {\ begin {align} 0 & = \ partial _ {\ mu} \ left ({\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial (\ partial _ {\ mu} \ varphi _ {i})}} \ right) - {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial \ varphi _ {i}}} \\ & = \ partial _ {\ mu} \ left ({ \ frac {\ partial {\ mathcal {L}} '} {\ partial (\ partial _ {\ mu} \ varphi _ {i})}} \ right) - {\ frac {\ partial {\ mathcal {L} } '} {\ partial \ varphi _ {i}}} + \ partial _ {\ mu} \ left [{\ frac {\ partial} {\ partial (\ partial _ {\ mu} \ varphi _ {i}) }} \ partial _ {\ nu} F ^ {\ nu} \ right] - {\ frac {\ partial} {\ partial \ varphi _ {i}}} \ partial _ {\ nu} F ^ {\ nu} \ end {justeret}}} ${\ displaystyle {\ begin {align} 0 & = \ partial _ {\ mu} \ left ({\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial (\ partial _ {\ mu} \ varphi _ {i})}} \ right) - {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial \ varphi _ {i}}} \\ & = \ partial _ {\ mu} \ left ({ \ frac {\ partial {\ mathcal {L}} '} {\ partial (\ partial _ {\ mu} \ varphi _ {i})}} \ right) - {\ frac {\ partial {\ mathcal {L} } '} {\ partial \ varphi _ {i}}} + \ partial _ {\ mu} \ left [{\ frac {\ partial} {\ partial (\ partial _ {\ mu} \ varphi _ {i}) }} \ partial _ {\ nu} F ^ {\ nu} \ right] - {\ frac {\ partial} {\ partial \ varphi _ {i}}} \ partial _ {\ nu} F ^ {\ nu} \ end {justeret}}}$

Vi kan omskrive kvadriveringen af vektoren som: ${\ displaystyle F ^ {\ nu}}$

∂μFμ[φjeg,x]=∑jeg∂Fμ∂φjeg∂μφjeg→∂∂(∂μφjeg)∂vFv=∂Fv∂φjeg.{\ displaystyle {\ begynde {justeret} \ delvis _ {\ mu} F ^ {\ mu} [\ varphi _ {i}, x] & = \ sum _ {i} {\ frac {\ delvis F ^ {\ mu}} {\ partial \ varphi _ {i}}} \ partial _ {\ mu} \ varphi _ {i} \\\ rightarrow {\ frac {\ partial} {\ partial (\ partial _ {\ mu} \ varphi _ {i})}} \ partial _ {\ nu} F ^ {\ nu} & = {\ frac {\ partial F ^ {\ nu}} {\ partial \ varphi _ {i}}}. \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begynde {justeret} \ delvis _ {\ mu} F ^ {\ mu} [\ varphi _ {i}, x] & = \ sum _ {i} {\ frac {\ delvis F ^ {\ mu}} {\ partial \ varphi _ {i}}} \ partial _ {\ mu} \ varphi _ {i} \\\ rightarrow {\ frac {\ partial} {\ partial (\ partial _ {\ mu} \ varphi _ {i})}} \ partial _ {\ nu} F ^ {\ nu} & = {\ frac {\ partial F ^ {\ nu}} {\ partial \ varphi _ {i}}}. \ end {align}}}

Ved at indsætte denne identitet i ligningen ovenfor opnår vi således:

0=∂μ(∂L′∂(∂μφjeg))-∂L′∂φjeg+∂μ[∂Fμ∂φjeg]-∂∂φjeg∂vFv=∂μ(∂L′∂(∂μφjeg))-∂L′∂φjeg{\ displaystyle {\ begin {align} 0 & = \ partial _ {\ mu} \ left ({\ frac {\ partial {\ mathcal {L}} '} {\ partial (\ partial _ {\ mu} \ varphi _ {i})}} \ right) - {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}} '} {\ partial \ varphi _ {i}}} + \ partial _ {\ mu} \ left [{\ frac {\ partial F ^ {\ mu}} {\ partial \ varphi _ {i}}} \ right] - {\ frac {\ partial} {\ partial \ varphi _ {i}}} \ partial _ {\ nu } F ^ {\ nu} \\ & = \ partial _ {\ mu} \ left ({\ frac {\ partial {\ mathcal {L}} '} {\ partial (\ partial _ {\ mu} \ varphi _ {i})}} \ right) - {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}} '} {\ partial \ varphi _ {i}}} \ end {aligned}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} 0 & = \ partial _ {\ mu} \ left ({\ frac {\ partial {\ mathcal {L}} '} {\ partial (\ partial _ {\ mu} \ varphi _ {i})}} \ right) - {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}} '} {\ partial \ varphi _ {i}}} + \ partial _ {\ mu} \ left [{\ frac {\ partial F ^ {\ mu}} {\ partial \ varphi _ {i}}} \ right] - {\ frac {\ partial} {\ partial \ varphi _ {i}}} \ partial _ {\ nu } F ^ {\ nu} \\ & = \ partial _ {\ mu} \ left ({\ frac {\ partial {\ mathcal {L}} '} {\ partial (\ partial _ {\ mu} \ varphi _ {i})}} \ right) - {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}} '} {\ partial \ varphi _ {i}}} \ end {aligned}}}

og således opfylder den lagrangiske tæthed de samme Euler-Lagrange ligninger som densiteten . ${\ displaystyle {\ mathcal {L}} '}$ ${\ mathcal {L}}$

Elektromagnetisk lagrangian

Generelt er Lagrangian værd i Lagrangian mekanik:

L=T-V{\ displaystyle L = TV}

{\ displaystyle L = TV}

hvor T er den kinetiske energi, og V er den potentielle energi.

Givet en elektrisk ladet partikel med masse m og ladning q og hastighed i et elektromagnetisk felt med skalarpotentiale og vektorpotentiale er partikelens kinetiske energi: ${\ vec {vb}}$ $\ phi$ $\ vec {A}$

T=12mv→⋅v→{\ displaystyle T = {1 \ over 2} m {\ vec {v}} \ cdot {\ vec {v}}}

{\ displaystyle T = {1 \ over 2} m {\ vec {v}} \ cdot {\ vec {v}}}

og dens potentielle energi er: V=qϕ-qv→⋅PÅ→.{\ displaystyle V = q \ phi -q {\ vec {v}} \ cdot {\ vec {A}}.}

{\ displaystyle V = q \ phi -q {\ vec {v}} \ cdot {\ vec {A}}.}

Den elektromagnetiske lagrangian er derefter:

L=12mv→⋅v→-qϕ+qv→⋅PÅ→.{\ displaystyle L = {1 \ over 2} m {\ vec {v}} \ cdot {\ vec {v}} - q \ phi + q {\ vec {v}} \ cdot {\ vec {A}} .}

{\ displaystyle L = {1 \ over 2} m {\ vec {v}} \ cdot {\ vec {v}} - q \ phi + q {\ vec {v}} \ cdot {\ vec {A}} .}

Demonstration

Den elektromagnetiske lagrangian er bygget ud fra udtrykket for Lorentz-styrken, som er, lad os huske, en ikke-konservativ styrke. Hvis det ikke stammer fra et klassisk potentiale, stammer det på den anden side fra et potentiale kendt som generaliseret i betydningen af Lagrange-ligningerne . Dens potentielle energi V opfylder faktisk følgende ligning:

F→=ddt∂V(r→,v→,t)∂v→-∂V(r→,v→,t)∂r→(∗).{\ displaystyle {\ vec {F}} = {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} {\ frac {\ partial V ({\ vec {r}}, {\ vec { v}}, t)} {\ partial {\ vec {v}}}} - {\ frac {\ partial V ({\ vec {r}}, {\ vec {v}}, t)} {\ partial {\ vec {r}}}} \ quad (*).}

{\ displaystyle {\ vec {F}} = {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} {\ frac {\ partial V ({\ vec {r}}, {\ vec { v}}, t)} {\ partial {\ vec {v}}}} - {\ frac {\ partial V ({\ vec {r}}, {\ vec {v}}, t)} {\ partial {\ vec {r}}}} \ quad (*).}

Lorentz-styrken udtrykkes som:

F→=q(E→+v→×B→).{\ displaystyle {\ vec {F}} = q ({\ vec {E}} + {\ vec {v}} \ times {\ vec {B}}).}

{\ displaystyle {\ vec {F}} = q ({\ vec {E}} + {\ vec {v}} \ times {\ vec {B}}).}

Ifølge Maxwell:

B→=∇→×PÅ→{\ displaystyle {\ vec {B}} = {\ vec {\ nabla}} \ times {\ vec {A}}}

{\ displaystyle {\ vec {B}} = {\ vec {\ nabla}} \ times {\ vec {A}}}

∇→×E→=-∂B→∂t{\ displaystyle {\ vec {\ nabla}} \ times {\ vec {E}} = - {\ frac {\ partial {\ vec {B}}} {\ partial t}}}

{\ displaystyle {\ vec {\ nabla}} \ times {\ vec {E}} = - {\ frac {\ partial {\ vec {B}}} {\ partial t}}}

Derfor : ∇→×E→=-∂∂t(∇→×PÅ→)=∇→×(-∂PÅ→∂t){\ displaystyle {\ vec {\ nabla}} \ times {\ vec {E}} = - {\ frac {\ partial} {\ partial t}} ({\ vec {\ nabla}} \ times {\ vec { A}}) = {\ vec {\ nabla}} \ times \ left (- {\ frac {\ partial {\ vec {A}}} {\ partial t}} \ right)}

{\ displaystyle {\ vec {\ nabla}} \ times {\ vec {E}} = - {\ frac {\ partial} {\ partial t}} ({\ vec {\ nabla}} \ times {\ vec { A}}) = {\ vec {\ nabla}} \ times \ left (- {\ frac {\ partial {\ vec {A}}} {\ partial t}} \ right)}

⇒∇→×(E→+∂PÅ→∂t)=0{\ displaystyle \ Rightarrow {\ vec {\ nabla}} \ times \ left ({\ vec {E}} + {\ frac {\ partial {\ vec {A}}} {\ partial t}} \ right) = 0}

{\ displaystyle \ Rightarrow {\ vec {\ nabla}} \ times \ left ({\ vec {E}} + {\ frac {\ partial {\ vec {A}}} {\ partial t}} \ right) = 0}

så der er et sådant potentiale $\ phi$ ${\ displaystyle {\ vec {E}} + {\ frac {\ partial {\ vec {A}}} {\ partial t}} = - {\ vec {\ nabla}} \ phi}$

Derfor: . ${\ displaystyle {\ vec {F}} = q (- {\ vec {\ nabla}} \ phi - {\ frac {\ partial {\ vec {A}}} {\ partial t}} + {\ vec { v}} \ times ({\ vec {\ nabla}} \ times {\ vec {A}}))}$

Nu ifølge Gibbs 'formel: $\ vec v \ times (\ vec \ nabla \ times \ vec A) = \ vec \ nabla (\ vec v \ cdot \ vec A) - (\ vec v \ cdot \ vec \ nabla) \ vec A$

⇒F→=q[-∇→ϕ-∂PÅ→∂t+∇→(v→⋅PÅ→)-(v→⋅∇→)PÅ→]{\ displaystyle \ Rightarrow {\ vec {F}} = q [- {\ vec {\ nabla}} \ phi - {\ frac {\ partial {\ vec {A}}} {\ partial t}} + {\ vec {\ nabla}} ({\ vec {v}} \ cdot {\ vec {A}}) - ({\ vec {v}} \ cdot {\ vec {\ nabla}}) {\ vec {A} }]}

{\ displaystyle \ Rightarrow {\ vec {F}} = q [- {\ vec {\ nabla}} \ phi - {\ frac {\ partial {\ vec {A}}} {\ partial t}} + {\ vec {\ nabla}} ({\ vec {v}} \ cdot {\ vec {A}}) - ({\ vec {v}} \ cdot {\ vec {\ nabla}}) {\ vec {A} }]}

=-q[∂PÅ→∂t+(v→⋅∇→)PÅ→]+q[-∇→ϕ+∇→(v→⋅PÅ→)]=-q[∂PÅ→∂t+(v→⋅∇→)PÅ→]+q∇→[-ϕ+(v→⋅PÅ→)]{\ displaystyle = -q \ left [{\ frac {\ partial {\ vec {A}}} {\ partial t}} + ({\ vec {v}} \ cdot {\ vec {\ nabla}}) { \ vec {A}} \ right] + q [- {\ vec {\ nabla}} \ phi + {\ vec {\ nabla}} ({\ vec {v}} \ cdot {\ vec {A}}) ] = - q \ left [{\ frac {\ partial {\ vec {A}}} {\ partial t}} + ({\ vec {v}} \ cdot {\ vec {\ nabla}}) {\ vec {A}} \ højre] + q {\ vec {\ nabla}} [- \ phi + ({\ vec {v}} \ cdot {\ vec {A}})]}

{\ displaystyle = -q \ left [{\ frac {\ partial {\ vec {A}}} {\ partial t}} + ({\ vec {v}} \ cdot {\ vec {\ nabla}}) { \ vec {A}} \ right] + q [- {\ vec {\ nabla}} \ phi + {\ vec {\ nabla}} ({\ vec {v}} \ cdot {\ vec {A}}) ] = - q \ left [{\ frac {\ partial {\ vec {A}}} {\ partial t}} + ({\ vec {v}} \ cdot {\ vec {\ nabla}}) {\ vec {A}} \ højre] + q {\ vec {\ nabla}} [- \ phi + ({\ vec {v}} \ cdot {\ vec {A}})]}

=-q[∂PÅ→∂t+(v→⋅∇→)PÅ→]-∂∂r→q[ϕ-(v→⋅PÅ→)].{\ displaystyle = -q \ left [{\ frac {\ partial {\ vec {A}}} {\ partial t}} + ({\ vec {v}} \ cdot {\ vec {\ nabla}}) { \ vec {A}} \ right] - {\ frac {\ partial} {\ partial {\ vec {r}}}} q [\ phi - ({\ vec {v}} \ cdot {\ vec {A} })].}

{\ displaystyle = -q \ left [{\ frac {\ partial {\ vec {A}}} {\ partial t}} + ({\ vec {v}} \ cdot {\ vec {\ nabla}}) { \ vec {A}} \ right] - {\ frac {\ partial} {\ partial {\ vec {r}}}} q [\ phi - ({\ vec {v}} \ cdot {\ vec {A} })].}

Lad: . $V '= q [\ phi - (\ vec v \ cdot \ vec A)] \ quad \ Rightarrow \ quad \ vec F = -q \ left [\ frac {\ partial \ vec A} {\ partial t} + ( \ vec v \ cdot \ vec \ nabla) \ vec A \ right] - \ frac {\ partial V '} {\ partial \ vec r}$

Lad os bestemme : ${\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} {\ frac {\ partial V '} {\ partial {\ vec {v}}}}}$

{\ displaystyle {\ frac {\ partial V '} {\ partial {\ vec {v}}}} = - q {\ vec {A}} \ Rightarrow {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm { d} t}} {\ frac {\ partial V '} {\ partial {\ vec {v}}}} = - q {\ frac {\ mathrm {d} {\ vec {A}}} {\ mathrm { d} t}}}

Guld: ${\ displaystyle \ mathrm {d} {\ vec {A}} = {\ frac {\ partial {\ vec {A}}} {\ partial t}} \, \ mathrm {d} t + {\ frac {\ delvis {\ vec {A}}} {\ partial x}} \, \ mathrm {d} x + {\ frac {\ partial {\ vec {A}}} {\ partial y}} \, \ mathrm {d } y + {\ frac {\ partial {\ vec {A}}} {\ partial z}} \, \ mathrm {d} z \ quad \ Rightarrow \ quad {\ frac {\ mathrm {d} {\ vec { A}}} {\ mathrm {d} t}} = {\ frac {\ partial {\ vec {A}}} {\ partial t}} + {\ frac {\ partial {\ vec {A}}} { \ partial x}} {\ dot {x}} + {\ frac {\ partial {\ vec {A}}} {\ partial y}} {\ dot {y}} + {\ frac {\ partial {\ vec {A}}} {\ partial z}} {\ dot {z}}}$

⇒ddt∂V′∂v→=-qdPÅ→dt=-q∂PÅ→∂t-q[+∂PÅ→∂xx˙+∂PÅ→∂yy˙+∂PÅ→∂zz˙].{\ displaystyle \ Rightarrow {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} {\ frac {\ partial V '} {\ partial {\ vec {v}}}} = - q {\ frac {\ mathrm {d} {\ vec {A}}} {\ mathrm {d} t}} = - q {\ frac {\ partial {\ vec {A}}} {\ partial t}} - q \ venstre [+ {\ frac {\ partial {\ vec {A}}} {\ partial x}} {\ dot {x}} + {\ frac {\ partial {\ vec {A}}} {\ partial y} } {\ dot {y}} + {\ frac {\ partial {\ vec {A}}} {\ partial z}} {\ dot {z}} \ right].}

{\ displaystyle \ Rightarrow {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} {\ frac {\ partial V '} {\ partial {\ vec {v}}}} = - q {\ frac {\ mathrm {d} {\ vec {A}}} {\ mathrm {d} t}} = - q {\ frac {\ partial {\ vec {A}}} {\ partial t}} - q \ venstre [+ {\ frac {\ partial {\ vec {A}}} {\ partial x}} {\ dot {x}} + {\ frac {\ partial {\ vec {A}}} {\ partial y} } {\ dot {y}} + {\ frac {\ partial {\ vec {A}}} {\ partial z}} {\ dot {z}} \ right].}

Vi kan bemærke i forbifarten:

∂PÅ→∂xx˙+∂PÅ→∂yy˙+∂PÅ→∂zz˙=(x˙∂PÅx∂x+y˙∂PÅx∂y+z˙∂PÅx∂zx˙∂PÅy∂x+y˙∂PÅy∂y+z˙∂PÅy∂zx˙∂PÅz∂x+y˙∂PÅz∂y+z˙∂PÅz∂z)=(x˙∂∂x+y˙∂∂y+z˙∂∂z)(PÅxPÅyPÅz)=[(x˙y˙z˙)⋅(∂∂x∂∂y∂∂z)](PÅxPÅyPÅz){\ displaystyle {\ frac {\ partial {\ vec {A}}} {\ partial x}} {\ dot {x}} + {\ frac {\ partial {\ vec {A}}} {\ partial y} } {\ dot {y}} + {\ frac {\ partial {\ vec {A}}} {\ partial z}} {\ dot {z}} = {\ begin {pmatrix} {} {\ dot {x }} {\ frac {\ partial A_ {x}} {\ partial x}} + {\ dot {y}} {\ frac {\ partial A_ {x}} {\ partial y}} + {\ dot {z }} {\ frac {\ partial A_ {x}} {\ partial z}} \\ {\ dot {x}} {\ frac {\ partial A_ {y}} {\ partial x}} + {\ dot { y}} {\ frac {\ partial A_ {y}} {\ partial y}} + {\ dot {z}} {\ frac {\ partial A_ {y}} {\ partial z}} \\ {\ dot {x}} {\ frac {\ partial A_ {z}} {\ partial x}} + {\ dot {y}} {\ frac {\ partial A_ {z}} {\ partial y}} + {\ dot {z}} {\ frac {\ partial A_ {z}} {\ partial z}} \ end {pmatrix}} = ({\ dot {x}} {\ frac {\ partial} {\ partial x}} + {\ dot {y}} {\ frac {\ partial} {\ partial y}} + {\ dot {z}} {\ frac {\ partial} {\ partial z}}) {\ begin {pmatrix} {} A_ {x} \\ A_ {y} \\ A_ {z} \ end {pmatrix}} = \ left [{\ begin {pmatrix} {} {\ dot {x}} \\ {\ dot {y}} \\ {\ dot {z}} \ end {pmatrix}} \ cdot {\ begin {pmatrix} {} {\ frac {\ partial} {\ partial x}} \\ {\ frac {\ partial} {\ partial y}} \\ {\ frac {\ partial} {\ partial z}} \ end {pmatrix}} \ right] {\ begin {pmatrix} {} A_ {x} \\ A_ {y} \\ A_ {z} \ end {pmatrix}}}

{\ displaystyle {\ frac {\ partial {\ vec {A}}} {\ partial x}} {\ dot {x}} + {\ frac {\ partial {\ vec {A}}} {\ partial y} } {\ dot {y}} + {\ frac {\ partial {\ vec {A}}} {\ partial z}} {\ dot {z}} = {\ begin {pmatrix} {} {\ dot {x }} {\ frac {\ partial A_ {x}} {\ partial x}} + {\ dot {y}} {\ frac {\ partial A_ {x}} {\ partial y}} + {\ dot {z }} {\ frac {\ partial A_ {x}} {\ partial z}} \\ {\ dot {x}} {\ frac {\ partial A_ {y}} {\ partial x}} + {\ dot { y}} {\ frac {\ partial A_ {y}} {\ partial y}} + {\ dot {z}} {\ frac {\ partial A_ {y}} {\ partial z}} \\ {\ dot {x}} {\ frac {\ partial A_ {z}} {\ partial x}} + {\ dot {y}} {\ frac {\ partial A_ {z}} {\ partial y}} + {\ dot {z}} {\ frac {\ partial A_ {z}} {\ partial z}} \ end {pmatrix}} = ({\ dot {x}} {\ frac {\ partial} {\ partial x}} + {\ dot {y}} {\ frac {\ partial} {\ partial y}} + {\ dot {z}} {\ frac {\ partial} {\ partial z}}) {\ begin {pmatrix} {} A_ {x} \\ A_ {y} \\ A_ {z} \ end {pmatrix}} = \ left [{\ begin {pmatrix} {} {\ dot {x}} \\ {\ dot {y}} \\ {\ dot {z}} \ end {pmatrix}} \ cdot {\ begin {pmatrix} {} {\ frac {\ partial} {\ partial x}} \\ {\ frac {\ partial} {\ partial y}} \\ {\ frac {\ partial} {\ partial z}} \ end {pmatrix}} \ right] {\ begin {pmatrix} {} A_ {x} \\ A_ {y} \\ A_ {z} \ end {pmatrix}}}

Derfor: . ${\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} {\ vec {A}}} {\ mathrm {d} t}} = {\ frac {\ partial {\ vec {A}}} {\ partial t}} + ({\ vec {v}} \ cdot {\ vec {\ nabla}}) {\ vec {A}}}$ ${\ displaystyle \ Rightarrow {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} {\ frac {\ partial V '} {\ partial {\ vec {v}}}} = - q {\ frac {\ mathrm {d} {\ vec {A}}} {\ mathrm {d} t}} = - q \ left [{\ frac {\ partial {\ vec {A}}} {\ partial t}} + ({\ vec {v}} \ cdot {\ vec {\ nabla}}) {\ vec {A}} \ right] \ Rightarrow {\ vec {F}} = {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} {\ frac {\ partial} {\ partial {\ vec {v}}}} q [\ phi - ({\ vec {v}} \ cdot {\ vec {A}} )] - {\ frac {\ partial} {\ partial {\ vec {r}}}} q [\ phi - ({\ vec {v}} \ cdot {\ vec {A}})]}$

V′=q[ϕ-(v→⋅PÅ→)]{\ displaystyle V '= q [\ phi - ({\ vec {v}} \ cdot {\ vec {A}})]}

{\ displaystyle V '= q [\ phi - ({\ vec {v}} \ cdot {\ vec {A}})]}

opfylder Lagrange ligningen (*) set ovenfor. er derfor den potentielle energi i forhold til Lorentz-kraften, som Lagrangian er .

V '

\ quad L = \ frac {1} {2} m \ vec {v} ^ 2 - q [\ phi - (\ vec v \ cdot \ vec A)]

Endnu en demonstration

Denne indsats foreslår at kontrollere, at Lagrangian

L=12mv→⋅v→-qϕ+qv→⋅PÅ→{\ displaystyle L = {1 \ over 2} m {\ vec {v}} \ cdot {\ vec {v}} - q \ phi + q {\ vec {v}} \ cdot {\ vec {A}} }

{\ displaystyle L = {1 \ over 2} m {\ vec {v}} \ cdot {\ vec {v}} - q \ phi + q {\ vec {v}} \ cdot {\ vec {A}} }

giver det grundlæggende princip for dynamik for en partikel med masse m og elektrisk ladning q udsat for Lorentz-kraften. Det udgør derfor demonstrationen i den modsatte retning af den forrige.

Vi skriver eksplicit i indekserede kartesiske koordinater $L$ $x_1, x_2, x_3.$

Så vi har:

L=12m∑jeg=13xjeg˙2+q∑jeg=13xjeg˙PÅjeg-qϕ,{\ displaystyle L = {\ frac {1} {2}} m \ sum _ {i = 1} ^ {3} {\ dot {x_ {i}}} ^ {2} + q \ sum _ {i = 1} ^ {3} {\ dot {x_ {i}}} A_ {i} -q \ phi,}

{\ displaystyle L = {\ frac {1} {2}} m \ sum _ {i = 1} ^ {3} {\ dot {x_ {i}}} ^ {2} + q \ sum _ {i = 1} ^ {3} {\ dot {x_ {i}}} A_ {i} -q \ phi,}

med komponent nr. i vektorpotentialet og

A_i = A_i (x_1 (t), x_2 (t), x_3 (t), t)

\ vec {A}

\ phi = \ phi (x_1 (t), x_2 (t), x_3 (t), t).

Lad os evaluere Lagrange-ligningerne for komponent nr. 1:

∂L∂x1=q∑jeg=13xjeg˙∂PÅjeg∂x1-q∂ϕ∂x1ogddt∂L∂x1˙=ddt(mx1˙+qPÅ1)=md2x1dt2+qdPÅ1dt.{\ displaystyle {\ frac {\ partial L} {\ partial x_ {1}}} = q \ sum _ {i = 1} ^ {3} {\ dot {x_ {i}}} {\ frac {\ partial A_ {i}} {\ partial x_ {1}}} - q {\ frac {\ partial \ phi} {\ partial x_ {1}}} \ qquad {\ text {and}} \ qquad {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} {\ frac {\ partial L} {\ partial {\ dot {x_ {1}}}}} = {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} \ left (m {\ dot {x_ {1}}} + qA_ {1} \ right) = m {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} x_ {1}} { \ mathrm {d} t ^ {2}}} + q {\ frac {\ mathrm {d} A_ {1}} {\ mathrm {d} t}}.}

{\ displaystyle {\ frac {\ partial L} {\ partial x_ {1}}} = q \ sum _ {i = 1} ^ {3} {\ dot {x_ {i}}} {\ frac {\ partial A_ {i}} {\ partial x_ {1}}} - q {\ frac {\ partial \ phi} {\ partial x_ {1}}} \ qquad {\ text {and}} \ qquad {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} {\ frac {\ partial L} {\ partial {\ dot {x_ {1}}}}} = {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} \ left (m {\ dot {x_ {1}}} + qA_ {1} \ right) = m {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} x_ {1}} { \ mathrm {d} t ^ {2}}} + q {\ frac {\ mathrm {d} A_ {1}} {\ mathrm {d} t}}.}

Imidlertid er det samlede derivat med hensyn til tid lig med dets partikelderivat:

A_1

dPÅ1dt=∂PÅ1∂t+∑jeg=13xjeg˙∂PÅ1∂xjeg.{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} A_ {1}} {\ mathrm {d} t}} = {\ frac {\ partial A_ {1}} {\ partial t}} + \ sum _ {i = 1} ^ {3} {\ dot {x_ {i}}} {\ frac {\ partial A_ {1}} {\ partial x_ {i}}}.}

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} A_ {1}} {\ mathrm {d} t}} = {\ frac {\ partial A_ {1}} {\ partial t}} + \ sum _ {i = 1} ^ {3} {\ dot {x_ {i}}} {\ frac {\ partial A_ {1}} {\ partial x_ {i}}}.}

Derfor udtrykket af ligningen af bevægelse for komponent nr. 1: md2x1dt2+qdPÅ1dt=q∑jeg=13xjeg˙∂PÅjeg∂x1-q∂ϕ∂x1{\ displaystyle m {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} x_ {1}} {\ mathrm {d} t ^ {2}}} + q {\ frac {\ mathrm {d} A_ {1} } {\ mathrm {d} t}} = q \ sum _ {i = 1} ^ {3} {\ dot {x_ {i}}} {\ frac {\ partial A_ {i}} {\ partial x_ { 1}}} - q {\ frac {\ partial \ phi} {\ partial x_ {1}}}}

{\ displaystyle m {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} x_ {1}} {\ mathrm {d} t ^ {2}}} + q {\ frac {\ mathrm {d} A_ {1} } {\ mathrm {d} t}} = q \ sum _ {i = 1} ^ {3} {\ dot {x_ {i}}} {\ frac {\ partial A_ {i}} {\ partial x_ { 1}}} - q {\ frac {\ partial \ phi} {\ partial x_ {1}}}}

md2x1dt2+q∂PÅ1∂t+q∑jeg=13xjeg˙∂PÅ1∂xjeg=q∑jeg=13xjeg˙∂PÅjeg∂x1-q∂ϕ∂x1{\ displaystyle m {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} x_ {1}} {\ mathrm {d} t ^ {2}}} + q {\ frac {\ partial A_ {1}} {\ delvis t}} + q \ sum _ {i = 1} ^ {3} {\ dot {x_ {i}}} {\ frac {\ partial A_ {1}} {\ partial x_ {i}}} = q \ sum _ {i = 1} ^ {3} {\ dot {x_ {i}}} {\ frac {\ partial A_ {i}} {\ partial x_ {1}}} - q {\ frac {\ partial \ phi} {\ partial x_ {1}}}}

{\ displaystyle m {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} x_ {1}} {\ mathrm {d} t ^ {2}}} + q {\ frac {\ partial A_ {1}} {\ delvis t}} + q \ sum _ {i = 1} ^ {3} {\ dot {x_ {i}}} {\ frac {\ partial A_ {1}} {\ partial x_ {i}}} = q \ sum _ {i = 1} ^ {3} {\ dot {x_ {i}}} {\ frac {\ partial A_ {i}} {\ partial x_ {1}}} - q {\ frac {\ partial \ phi} {\ partial x_ {1}}}}

Forenklet forbliver det: md2x1dt2=-q∂PÅ1∂t-q∂ϕ∂x1+qx2˙(∂PÅ2∂x1-∂PÅ1∂x2)+qx3˙(∂PÅ3∂x1-∂PÅ1∂x3).{\ displaystyle m {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} x_ {1}} {\ mathrm {d} t ^ {2}}} = - q {\ frac {\ partial A_ {1}} { \ partial t}} - q {\ frac {\ partial \ phi} {\ partial x_ {1}}} + q {\ dot {x_ {2}}} \ left ({\ frac {\ partial A_ {2} } {\ partial x_ {1}}} - {\ frac {\ partial A_ {1}} {\ partial x_ {2}}} \ right) + q {\ dot {x_ {3}}} \ left ({ \ frac {\ partial A_ {3}} {\ partial x_ {1}}} - {\ frac {\ partial A_ {1}} {\ partial x_ {3}}} \ right).}

{\ displaystyle m {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} x_ {1}} {\ mathrm {d} t ^ {2}}} = - q {\ frac {\ partial A_ {1}} { \ partial t}} - q {\ frac {\ partial \ phi} {\ partial x_ {1}}} + q {\ dot {x_ {2}}} \ left ({\ frac {\ partial A_ {2} } {\ partial x_ {1}}} - {\ frac {\ partial A_ {1}} {\ partial x_ {2}}} \ right) + q {\ dot {x_ {3}}} \ left ({ \ frac {\ partial A_ {3}} {\ partial x_ {1}}} - {\ frac {\ partial A_ {1}} {\ partial x_ {3}}} \ right).}

Med og anerkender vi til højre for ligestillingen udtrykket for den første komponent i Lorentz-styrken.

\ vec B = \ vec \ nabla \ times \ vec A

\ vec E = - \ frac {\ partial \ vec A} {\ partial t} - \ vec \ nabla \ phi

Eksempler på lagrangisk tæthed i kvantefeltteori

Lagrangian fra Dirac

Lagrangian-densiteten for et Dirac-felt (in) er:

L=ψ¯(jegℏvs.⧸D-mvs.2)ψ{\ displaystyle {\ mathcal {L}} = {\ bar {\ psi}} \ venstre (i \, \ hbar \, c \ ikke \! Dm \, c ^ {2} \ højre) \ psi}

{\ displaystyle {\ mathcal {L}} = {\ bar {\ psi}} \ venstre (i \, \ hbar \, c \ ikke \! Dm \, c ^ {2} \ højre) \ psi}

hvor er en spinor , er dens Dirac-stedfortræder , er det covariante derivat af gauge og er Feynman-notationen for .

\ psi

\ bar \ psi = \ psi ^ \ dolk \ gamma ^ 0

D

\ ikke \! D

\ gamma ^ \ sigma D_ \ sigma

Lagrangian af kvanteelektrodynamik

Den lagrangiske tæthed i QED er:

LSpørgsmålED=ψ¯(jegℏvs.⧸D-mvs.2)ψ-14μ0FμvFμv{\ displaystyle {\ mathcal {L}} _ {\ mathrm {QED}} = {\ bar {\ psi}} (i \ hbar c \ not \! D-mc ^ {2}) \ psi - {1 \ over 4 \ mu _ {0}} F _ {\ mu \ nu} F ^ {\ mu \ nu}}

{\ displaystyle {\ mathcal {L}} _ {\ mathrm {QED}} = {\ bar {\ psi}} (i \ hbar c \ not \! D-mc ^ {2}) \ psi - {1 \ over 4 \ mu _ {0}} F _ {\ mu \ nu} F ^ {\ mu \ nu}}

hvor er den elektromagnetiske tensor .

F ^ {\ mu \ nu}

Lagrangian af kvantekromodynamik

Den lagrangiske tæthed i QCD er:

LSpørgsmålVSD=∑ikkeψ¯ikke(jegℏvs.⧸D-mikkevs.2)ψikke-14GaμvGaμv{\ displaystyle {\ mathcal {L}} _ {\ mathrm {QCD}} = \ sum _ {n} {\ bar {\ psi}} _ {n} (i \ hbar c \ not \! D-m_ { n} c ^ {2}) \ psi _ {n} - {1 \ over 4} G ^ {\ alpha} {} _ {\ mu \ nu} G _ {\ alpha} {} ^ {\ mu \ nu }}

{\ displaystyle {\ mathcal {L}} _ {\ mathrm {QCD}} = \ sum _ {n} {\ bar {\ psi}} _ {n} (i \ hbar c \ not \! D-m_ { n} c ^ {2}) \ psi _ {n} - {1 \ over 4} G ^ {\ alpha} {} _ {\ mu \ nu} G _ {\ alpha} {} ^ {\ mu \ nu }}

hvor er den covariant derivat af sporvidde i QCD, og er tensor af feltstyrke den gluon .

D

G ^ \ alpha {} _ {\ mu \ nu}

Matematisk formalisme

Det vil sige en

række forskellige dimensioner og en række forskellige destinationer . Lade være det sæt af funktioner af i , kaldet konfiguration plads .

M

ikke

T

\ mathcal {C}

\ mathcal {C} ^ \ infty

M

T

Lad os først og fremmest give nogle eksempler:

i klassisk mekanik, i Hamiltons formalisme , er manifolden for dimension 1 , der repræsenterer tid, og destinationsrummet er det cotangente

bundt af rummet med generaliserede positioner;

M

\ mathbb {R}

i feltteori er rum-tid manifold, og destinationsområdet er det sæt af mulige værdier for felterne på hvert punkt. Hvis der for eksempel er

ægte skalarfelter φ 1 , ..., φ m , så er destinationsmanifolden . Hvis vi har et felt med rigtige vektorer , er destinationsmanifolden isomorf til . Der er faktisk en mere elegant måde at bruge tangentpakken på, men vi holder fast ved denne version.

M

m

\ R ^ m

\ mathbb {R} ^ {n}

Antag nu, at der er en funktionel , kaldet fysisk handling. Dette er en applikation til , ikke til , af fysiske årsager. ${\ displaystyle S: {\ mathcal {C}} \ to \ mathbb {R}}$ $\ mathbb {R}$ $\ mathbb {C}$

For at handlingen kan være lokal, har vi brug for yderligere begrænsninger. Hvis vi pålægger, at

S [ φ ] er integralet på M af en funktion af φ, dets derivater og de positioner, som vi kalder Lagrangian . Med andre ord,

\ varphi \ in \ mathcal {C},

{\ mathcal {L}} (\ varphi, \ partial \ varphi, \ partial ^ {2} \ varphi, \ dots, x)

∀φ∈VS,S[φ]≡∫MdikkexL(φ(x),∂φ(x),∂2φ(x),...,x).{\ displaystyle \ forall \ varphi \ i {\ mathcal {C}} \ ;, \; S [\ varphi] \ equiv \ int _ {M} d ^ {n} x {\ mathcal {L}} (\ varphi (x), \ partial \ varphi (x), \ partial ^ {2} \ varphi (x), \ dots, x).} ${\ displaystyle \ forall \ varphi \ i {\ mathcal {C}} \ ;, \; S [\ varphi] \ equiv \ int _ {M} d ^ {n} x {\ mathcal {L}} (\ varphi (x), \ partial \ varphi (x), \ partial ^ {2} \ varphi (x), \ dots, x).}$

For det meste pålægger man, at Lagrangian kun afhænger af værdien af felterne, af deres derivater først, men ikke af derivater af højere orden. Dette er faktisk kun for nemheds skyld, og det er generelt ikke tilfældet. Vi antager dog, at i resten af denne artikel.

Lad os rette randbetingelser , i det væsentlige dataene for φ ved grænserne, hvis M er kompakt , eller en grænse for φ når x har tendens til uendelig (hvilket er praktisk under integrationer af dele). Underområdet for funktioner φ således at alle de

funktionelle derivater af handlingen S i φ er 0 og at that opfylder randbetingelserne, er rummet for fysiske løsninger.

\ mathcal {C}

Løsningen er givet ved Euler-Lagrange-ligningerne (ved anvendelse af randbetingelserne):

δδφS=-∂μ(∂L∂(∂μφ))+∂L∂φ=0.{\ displaystyle {\ frac {\ delta} {\ delta \ varphi}} S = - \ partial _ {\ mu} \ left ({\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial (\ partial _ {\ mu} \ varphi)}} \ right) + {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial \ varphi}} = 0.} ${\ displaystyle {\ frac {\ delta} {\ delta \ varphi}} S = - \ partial _ {\ mu} \ left ({\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial (\ partial _ {\ mu} \ varphi)}} \ right) + {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial \ varphi}} = 0.}$

Vi finder det funktionelle derivat sammenlignet med φ af handlingen i venstre side.

Noter og referencer

(da) http://www.fuw.edu.pl/~dobaczew/maub-42w/node9.html .
(in) [PDF] http://smallsystems.isn-oldenburg.de/Docs/THEO3/publications/semiclassical.qcd.prep.pdf .
(in) [PDF] " http://www-zeus.physik.uni-bonn.de/~brock/teaching/jets_ws0405/seminar09/sluka_quark_gluon_jets.pdf " ( Arkiv • Wikiwix • Archive.is • Google • Hvad skal man gøre gør? ) .

Se også

Bibliografi

Francis Halbwachs og Jean-Marie Souriau , “Mécanique analytique”, Encyclopedia Universalis , 1989, t. 14 , s. 764-767

Relaterede artikler

Hamilton-mekanik
Noether's sætning (fysik)
Handling (fysisk)
Princippet om mindste handling
Hamilton-operatør : Legendre-transformationen af den Lagrangian-operatør
Hamiltonian i feltteori