Symmetrisk matrix

I lineær og bilinear algebra er en symmetrisk matrix en firkantet matrix, der er lig med sin egen transponering , dvs. sådan at a i, j = a j, i for alle i og j mellem 1 og n , hvor a i, j er matrixens koefficienter og n er dens rækkefølge.

Eksempler

Koefficienterne for en symmetrisk matrix er symmetriske i forhold til hoveddiagonalen (fra øverste venstre hjørne til nederste højre hjørne). Følgende matrix er derfor symmetrisk:

{\ begin {pmatrix} 2 & 4 & 6 \\ 4 & 0 & 10 \\ 6 & 10 & 12 \ end {pmatrix}}

Enhver diagonal matrix er symmetrisk.

Ejendomme

En matrix, der repræsenterer en bilinær form, er symmetrisk, hvis og kun hvis sidstnævnte er symmetrisk.
Sættet med symmetriske matricer af rækkefølge n med koefficienter i et kommutativt felt er et vektors underrum af dimension n ( n +1) / 2 af vektorrummet for firkantede matricer af orden n , og hvis kropets karakteristik er forskellig fra 2, et yderligere underrum er det for de antisymmetriske matricer .

Ægte symmetriske matricer

Spektral nedbrydning

I et euklidisk rum er en matrix, der repræsenterer en endomorfisme på et ortonormalt grundlag , symmetrisk, hvis og kun hvis endomorfismen er selvforbundet . Den endelige dimensionelle spektrale sætning udleder heraf, at enhver symmetrisk matrix med reelle koefficienter er diagonaliserbar ved hjælp af en ortogonal passerende matrix , fordi egenværdierne for en selvbundet endomorfisme er reelle, og dens egenværdier er ortogonale .

Numerisk gælder diagonaliseringsprocessen for enhver symmetrisk matrix, og den består i at nedbryde den i form $PÅ$

A = ODO ^ {{\ mathsf {T}}}

hvor er en ortogonal matrix (hvis kolonner er egenvektorer af ) og hvor er en diagonal matrix, hvis koefficienter er nøjagtigt egenværdierne for . $O$ $PÅ$ $D$ $PÅ$

Bemærk : En symmetrisk matrix med komplekse koefficienter er muligvis ikke diagonaliserbar. For eksempel matrixen

{\ begin {pmatrix} 1 og {{\ rm {i}}} \\ {{\ rm {i}}} & - 1 \ end {pmatrix}}

indrømmer 0 som den eneste egenværdi; hvis det var diagonaliserbart, ville det være nul. Den komplekse analog af de virkelige symmetriske matricer er faktisk Hermitian-matricerne (som for deres del er diagonaliserbare).

Ky Fan's spor i ulighed

Betegne vektorrummet af reelle symmetriske matricer af orden n og , de egenværdier , der rangerer i faldende rækkefølge: ${\ mathcal {S}} ^ {n}$ $\ lambda _ {i} (A) \ in \ mathbb {R}$ $i = 1, \ ldots, n$ $ikke$ $A \ i {\ mathcal {S}} ^ {n}$

$\ lambda _ {1} (A) \ geqslant \ lambda _ {2} (A) \ geqslant \ cdots \ geqslant \ lambda _ {n} (A).$

Vi introducerer applikationen

$\ lambda: {\ mathcal {S}} ^ {n} \ to \ mathbb {R} ^ {n}: A \ mapsto (\ lambda _ {1} (A), \ ldots, \ lambda _ {n} ( PÅ))$

og for en søjlevektor betegner vi den transponerede rækkevektor og den diagonale matrix, hvis indekskoefficient er . $v \ in \ mathbb {R} ^ {n}$ $v ^ {{\ mathsf {T}}}$ $\ operatorname {Diag} (v)$ $(i, i)$ $v_ {i}$

Ky Fan sporer ulighed - For alt og det har vi $PÅ$ $B \ i {\ mathcal {S}} ^ {n}$

$\ langle A, B \ rangle \ leqslant \ lambda (A) ^ {{\ mathsf {T}}} \ lambda (B),$

hvor 〈⋅, ⋅〉 betegner det kanoniske skalære produkt på $M_ {n} (\ mathbb {R})$ , med ligestilling, hvis og kun hvis man kan opnå den ordnede spektrale nedbrydning og af og ved den samme ortogonale matrix, det vil sige hvis og kun hvis $\ lambda (A)$ $\ lambda (B)$ $PÅ$ $B$

$\ eksisterer \, V ~ {\ mbox {ortogonal}}: \ quad A = V \; \ operatorname {Diag} (\ lambda (A)) \; V ^ {{\ mathsf {T}}} \ quad {\ mbox {og}} \ quad B = V \; \ operatorname {Diag} (\ lambda (B)) \; V ^ {{\ mathsf {T}}}.$

Bemærkninger

Ovenstående sporingsulighed blev offentliggjort af Ky Fan i 1949, men det vedrører tæt arbejde fra von Neumann (1937). Betingelsen for at have lighed skyldes CM Teobald (1975).
Ifølge ovenstående oversættelse med hensyn til selvforbundne endomorfier og er samtidigt diagonaliserbare, hvis og kun hvis de pendler, og passage-matrixen derefter kan vælges ortogonal. Ovenstående betingelse for at have lighed i Ky Fan-uligheden er stærkere, fordi det kræver, at de opnåede diagonale matricer bestilles . Så og pendler, men adskiller sig fra . $PÅ$ $B \ i {\ mathcal {S}} ^ {n}$ $A = \ operatorname {Diag} (1,2)$ $B = \ operatorname {Diag} (2,1)$ $\ langle A, B \ rangle = 4$ $\ lambda (A) ^ {{\ mathsf {T}}} \ lambda (B) = 5$
The Ky Fan ulighed er en videreudvikling af Cauchy-Schwarz ulighed på euklidisk underrum af , i den forstand, at sidstnævnte kan udledes fra det tidligere. Faktisk hvis med retvinklede, har vi ${\ mathcal {S}} ^ {n}$ $M_ {n} (\ mathbb {R})$ $A = V \, \ operatorname {Diag} (\ lambda (A)) \, V ^ {{\ mathsf {T}}}$ $V$
$\ | \ lambda (A) \ | _ {2} = \ | \ operatorname {Diag} (\ lambda (A)) \ | = \ | V \, \ operatorname {Diag} (\ lambda (A)) \, V ^ {{\ mathsf {T}}} \ | = \ | A \ |,$

hvor og betegner de kanoniske euklidiske normer for og . Derfor Ky Fan ulighed og Cauchy-Schwarz ulighed på Give $\ | \ cdot \ | _ {2}$ $\ | \ cdot \ |$ $\ mathbb {R} ^ {n}$ $M_ {n} (\ mathbb {R})$ $\ mathbb {R} ^ {n}$
$\ langle A, B \ rangle \ leqslant \ | \ lambda (A) \ | _ {2} \, \ | \ lambda (B) \ | _ {2} = \ | A \ | \, \ | B \ | .$

Vi udleder Cauchy-Schwarz-uligheden ved også at tage højde for det opnået ved at erstatte ovenfor med . ${\ mathcal {S}} ^ {n}$ $B$ $-B$
Ved at anvende ulige Ky Fan på diagonale matricer er der en Hardy ulighed, Littlewood og Polya , enkel at demonstrere direkte, at det euklidiske skalære produkt af to vektorer og er afgrænset af vektorerne og opnået fra tidligere vektorer ved at bestille deres komponenter i faldende rækkefølge: $x$ $y$ $[x]$ $[y]$
$\ forall \, x, y \ i \ mathbb {R} ^ {n}: \ qquad x ^ {{\ mathsf {T}}} y \ leqslant [x] ^ {{\ mathsf {T}}} [y ].$

Positive symmetriske matricer

En ægte symmetrisk matrix S af rækkefølge n siges:

positiv, hvis den tilknyttede (symmetriske bilineære) form er positiv, dvs. hvis

$\ forall \, x \ in \ mathbb {R} ^ {n}, \ qquad x ^ {{\ mathsf {T}}} Sx \ geq 0 ~;$

positiv bestemt, hvis den tilknyttede form er bestemt og positiv, dvs. hvis

$\ forall \, x \ i \ mathbb {R} ^ {n} \ setminus \ {0 \}, \ qquad x ^ {{\ mathsf {T}}} Sx> 0.$

Bemærk: en ægte firkantet matrix, der kontrollerer en sådan ulighed (bred eller endog streng), er ikke nødvendigvis symmetrisk (jf. Matrix for planrotation ).

Konkrete anvendelser

En symmetrisk matrix af rækkefølge 3 repræsenterer et keglesnit i homogene koordinater i et projicerende plan konstrueret af . ${\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {3} \, \ backslash \, \ {(0,0,0) \}}$

Tillæg

Bemærkninger

(en) K. Fan (1949). Vi har sætning af Weyl vedrørende egenværdier af lineære transformationer. Proceedings of the National Academy of Sciences i USA 35, 652-655. [ læs online ]
(en) J. von Neumann (1937). Nogle matrixuligheder og metricering af matric-space. Tomsk University Review 1, 286-300. I Collected Works , Pergamon, Oxford, 1962, bind IV, 205-218.
(en) CM Teobald (1975). En ulighed for spor af produktet af to symmetriske matricer. Matematiske procedurer fra Cambridge Philosophical Society 77, 265-266.
(i) GH Hardy , JE Littlewood og G. Polya , Uligheder , Cambridge University Press , Cambridge, UK, 1952.

Opslagsbog

(en) JM Borwein og AS Lewis , konveks analyse og ikke-lineær optimering , New York, Springer ,2000