Måling (matematik)

I matematik er et positivt mål (eller simpelthen mål, når der ikke er risiko for forveksling) en funktion, der forbinder en numerisk størrelse med visse undergrupper af et givet sæt . Dette er et vigtigt begreb i analyse og sandsynlighedsteori .

Intuitivt svarer måling af et sæt eller en delmængde til begrebet størrelse eller kardinalitet for diskrete sæt . I denne forstand er måling en generalisering af begreberne længde , areal eller volumen i mellemrum med henholdsvis dimension 1, 2 eller 3.

Undersøgelsen af mellemrum forsynet med målinger er genstand for målingsteorien .

Definition

Formelt er et mål μ en funktion, der associeres med hvert element S i en σ- algebra (eller stamme) af dele af X en værdi μ ( S ), hvilket er en positiv reel eller uendelig. ${\ mathcal {A}}$

Definition - Lad være et målbart rum (dvs. et par hvor er et sæt og er en stamme på ). ${\ displaystyle (X, {\ mathcal {A}}),}$ ${\ displaystyle (X, {\ mathcal {A}}),}$ $x$ ${\ mathcal {A}}$ $x$

Et μ-kort indstillet til med værdier i kaldes et mål, når begge følgende egenskaber er opfyldt: ${\ displaystyle {\ mathcal {A}},}$ ${\ displaystyle [0, + \ infty],}$

det tomme sæt har et nulmål: $\ mu \ left (\ varnothing \ right) = 0$ ;
kortet μ er σ-additiv :

hvis E 1 , E 2 , ... er en tællelig familie af dele af X, der tilhører, og hvis disse dele er to og to adskilt , så er målingen μ ( E ) af deres forening E lig med summen af målene for delene :

{\ displaystyle {\ mathcal {A}},}

{\ displaystyle \ mu \ left (\ bigsqcup _ {k = 1} ^ {\ infty} E_ {k} \ right) = \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} \ mu (E_ {k}) }

Relaterede terminologier

Når vi har en måling μ på et målbart rum , siger vi, at tripletten er et målt rum ; $(X, {\ mathcal {A}})$ $(X, {\ mathcal {A}}, \ mu)$
For S målbart sæt (dvs. for ) kaldes værdien μ ( S ) mål for S ; ${\ displaystyle S \ in {\ mathcal {A}}}$
Når μ ( X ) er endelig, taler vi om begrænset mål eller afgrænset mål ;
Når μ ( X ) = 1, taler vi om et sandsynlighedsmål . Tripletten kaldes derefter et sandsynlighedsrum . For denne ramme, se artiklen aksiomer af sandsynligheder . $(X, {\ mathcal {A}}, \ mu)$
Når der er en tællelig dækning af X med delmængder af begrænset mål, det vil sige mere formelt, når der er en sekvens af elementer af stammen, alle af begrænset mål, med ${\ displaystyle (E_ {n}) _ {n \ in \ mathbb {N}}}$

{\ displaystyle X = \ bigcup _ {n \ in \ mathbb {N}} E_ {n}}

, vi taler om σ -endelig målestok . Selvom det betyder at erstatte hver med en, kan det antages, at sekvensen af delmængder, der vises i definitionen, øges for inkludering.

E_k

{\ displaystyle E_ {0} \ cup \ ldots \ cup E_ {k},}

En delmængde S af X siges at være ubetydelig, når den er inkluderet i en T, der hører til stammen og af nul mål. ${\ mathcal {A}}$
Foranstaltningen μ siges at være komplet, når ethvert ubetydeligt sæt hører til stammen . ${\ mathcal {A}}$
Målbar funktion .

Ejendomme

Følgende egenskaber kan let opnås fra de foregående aksiomer:

Additivitet: Hvis E 1 og E 2 er to disjunkte målelige sæt , μ ( E 1 ∪ E 2 ) = μ ( E 1 ) + μ ( E 2 ).
Monotoni: Hvis E 1 og E 2 er to målbare sæt, således at E 1 er en delmængde af E 2 , så er μ ( E 1 ) ≤ μ ( E 2 ).
Kontinuitet til venstre: Hvis E 1 , E 2 , E 3 , ... er målbare sæt, og hvis E n er en delmængde af E n +1 for alle n , så er foreningen E af sætene E n målbar og μ ( E ) = lim μ ( E n ).
Kontinuitet til højre: Hvis E 1 , E 2 , E 3 , ... er målbare sæt og hvis, for alle n , E n +1 er en delmængde af E n , så skæringspunktet E af sættene E n er målelige; desuden hvis mindst et af sættene E n har en endelig foranstaltning, derefter μ ( E ) = lim μ ( E n ).

Eksempler

Her er nogle vigtige måleeksempler:

den tæller foranstaltning (eller tæller foranstaltning ) er defineret af μ ( S ) = antallet af elementer i S ;
den Dirac foranstaltning μ er forbundet med et punkt en af X er defineret som μ et ( S ) = χ S ( a ), hvor χ S er indikatorfunktion af S . Med andre ord er målene for et sæt lig med 1, hvis det ellers indeholder punktet a og til 0;
den densitetsmåling en positiv målelig funktion ƒ i forhold til en anden positiv måling μ bemærkes ofte ƒ.μ;
den Lebesguemålet (begrænset til Borelians ) er det unikke foranstaltning invariant ved oversættelse defineret på Borelian stamme af ℝ og således at μ ([0,1]) = 1;
den Haar foranstaltning på en lokalt kompakt topologisk gruppe er en generalisering af Lebesguemålet, også kendetegnet ved en invarians egenskab.

Generalisering

I nogle sammenhænge, især for at vise konstruktionen af målinger ud fra deres værdier på klasser af sæt mindre end stammer, er det rart at have en mere generel definition for kort at angive forskellige resultater; ifølge kilderne bruges ordet "måling" til funktioner, der verificerer egenskaben af tællbar additivitet på algebraer af sæt , sæt af sæt eller endda semi-ring af sæt . Mere generelt kan vi derfor spørge:

Definition - Lad være et sæt og et sæt dele, der indeholder det tomme sæt: $x$ $\ mathcal {C}$ $x$

Et μ-kort indstillet til med værdier i kaldes et mål, når begge følgende egenskaber er opfyldt: $\ mathcal {C}$ ${\ displaystyle [0, + \ infty]}$

Det tomme sæt har et nulmål:

{\ displaystyle \ varnothing \ i {\ mathcal {C}} \ quad \ mathrm {og} \ quad \ mu \ left (\ varnothing \ right) = 0}

;

Kortet μ er σ-additiv :

hvis E 1 , E 2 , ... er en tællelig familie af dele af X, der tilhører , hvis disse dele er to og to adskilt, og hvis deres forening E også er et element af , så måler μ ( E ) for denne union er lig med summen af målingerne af delene:

\ mathcal {C}

\ mathcal {C}

{\ displaystyle \ mu \ left (\ bigsqcup _ {k = 1} ^ {\ infty} E_ {k} \ right) = \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} \ mu (E_ {k}) }

I nogle tilfælde er det nyttigt at have et "mål", hvis værdier ikke er begrænset til positive realiteter og til uendelig. For eksempel kaldes en σ -additiv funktion defineret på sæt, og som tager reelle værdier, et signeret mål , mens en sådan funktion, der tager komplekse værdier , kaldes et komplekst mål (in) . Et mål, der tager værdier i et Banach-rum , kaldes et vektormål, hvoraf et specielt tilfælde er spektrale mål ; disse bruges hovedsageligt i funktionel analyse til spektral sætning .

En anden generalisering er forestillingen om blot additiv eller gennemsnitlig måling . Definitionen er den samme som for en foranstaltning bortset fra at σ -additiviteten erstattes af den endelige additivitet.

Endelig møder vi undertiden, især i talteorien , "målinger", der verificerer egenskaber, der er uforenelige med virkelige målingers; dette er for eksempel tilfældet med asymptotisk tæthed , hvilket gør det muligt at specificere betydningen af formler som "et heltal ud af to er lige".

Noter og referencer

Marc Briane og Gilles Pagès, integrationsteori , Paris, Vuibert , koll. "De store Vuibert-baner",Oktober 2000, 2 nd ed. , 302 s. ( ISBN 978-2-7117-8946-7 ) , s. 61.
Briane og Pagès 2000 bruger udtrykket p. 90 eller s. 97 , blandt andre.
(i) Martin Väth, Integration Teori: et andet kursus , World Scientific ,2002, 277 s. ( ISBN 978-981-238-115-6 ), s. 8 .
(en) Achim Klenke, sandsynlighedsteori: et omfattende kursus , Springer,2008( ISBN 978-1-84800-047-6 ) , s. 12.
For eksempel Briane og Pagès 2000 , s. 195, udgør dette ved første øjekast yderligere betingelse i definitionen af σ- enditude.
Briane og Pagès 2000 , s. 90.
Briane og Pagès 2000 , s. 255.
Briane og Pagès 2000 , s. 63-64.
Briane og Pagès 2000 , s. 62.
Følgende definition er den, der er givet i (in) Inder K. Rana, En introduktion til måling og integration , AMS boghandel2002, 424 s. ( ISBN 978-0-8218-2974-5 , læs online ), definition 3.3.1, s. 59 . Andre forfattere taler snarere om "pre-measure" i disse mere generelle sammenhænge, for eksempel Klenke 2008 , s. 12 (når klassen er en ring af sæt). $\ matematisk C$

Relaterede artikler

Den Hausdorff foranstaltning , der anvendes i studiet af fraktaler , ikke er en foranstaltning i den forstand defineres her, men en ekstern foranstaltning
Konvergens af foranstaltninger
Indvendig måling (in)
Værdiansættelse (målingsteori )