Den falske positionsmetode eller regula falsi- metoden eller overskuds- og underskudsmetoden er oprindeligt en aritmetisk metode.
For nylig, såkaldt i numerisk analyse , en rodfindingsalgoritme , der kombinerer kapaciteterne i bisektionsmetoden og sekantmetoden .
Fra den gamle til den XVII th århundrede, har dens effektivitet lang hjalp med at løse lineære problemer uden at gribe til algebra. Der er to versioner: enkel og dobbelt, som etablerer den søgte løsning ved at udnytte den defekt, der præsenteres af en (resp. 2) formodet løsning (er).
Vi finder denne metode især i Fibonacci , Luca Pacioli , Nicolas Chuquet , Robert Recorde og tidligere i Kina i De ni kapitler om matematisk kunst .
Det regulerer lineære problemer til et ukendt. Til det starter vi med en formodet løsning, og vi vurderer dens resultat. Under forudsætning af proportionalitet giver en regel på tre den rigtige løsning.
Brugt, hvis det ikke forklares i Egypten , Babylon og den sene græske oldtid , findes det derefter i Indien og i den arabiske verden og derefter i Vesten .
Eksempel
Folk A, B og C delte et bestemt beløb. A modtog en tredjedel, B en fjerdedel og C 1.760 ecu. Hvad var summen?
Falsk position opløsningHvis summen, der skulle deles, var 12 ecu - valget af 12 er vilkårlig, er fordelen ved dette tal, at man let kan tage en fjerdedel og en tredjedel af det - person A ville have modtaget en tredjedel af 12 ecu, dvs. 4 ECU , ville person B have modtaget en fjerdedel på 12 ECU eller 3 ECU, og person C ville have modtaget resten, dvs. 12 - 4 - 3 = 5 ECU. Han modtog dog 1.760. Ved at anvende en regel på tre ud af 12 er det muligt at finde summen, der skal opdeles, så personen C modtager, ikke 5 ecu, men 1.760.
Hvis vi kalder S den samlede sum og A, B og C for de respektive andele af mennesker A, B og C har vi:
A = S / 3, B = S / 4, C = 1760og det ved vi:
A + B + C = Ssom giver ligningen:
S / 3 + S / 4 + 1760 = Ssom faktisk er en lineær ligning i S, da den er skrevet:
5 / 12⋅S - 1760 = 0Den falske positionsmetode gør det muligt at undgå trinnet med ligning, men fungerer kun for et problem, der involverer en proportional lov : her er andelen af C proportional med summen, der skal deles.
Det regulerer lineære problemer med to ukendte. For at gøre dette starter vi med to formodede, særskilte løsninger, hvis afvigelser sammenlignes med målet. Sammenligningen af overskud eller underskud fører til løsningen som den vægtede sum af nulforskellen mellem de 2 formodede løsninger.
I den kinesiske algoritme, hvis løsningen har ført til et underskud på , og løsningen b ført til et overskud på e , er den rigtige løsning .
Metoden generaliseres til enhver algebraisk afvigelse: hvis den første værdi x 1 fører til en afvigelse δ 1, og den anden værdi x 2 fører til en afvigelse δ 2, så er værdien, der gør det muligt at nå målet .
Denne egenskab demonstreres let ved at bemærke, at forskellen mellem billederne i enhver affin funktion er proportional med forskellene mellem antecedenterne. Hvilke giver:
De ældste dokumenter, der er fundet vedrørende denne metode, dateres tilbage til en dato, der anslås mellem 200 f.Kr. AD og 100 , såsom den kinesiske tekst med titlen De ni kapitler om matematisk kunst (Jiǔzhāng Suànshù) og den med titlen Book on Numbers and Calculation (Suàn shù shū) . Metoden er eksplicit der, og demonstrationen bruger et princip, der er analogt med reduktion til samme nævneren, en slags homogenisering af overskudunderskud. Hvis værdien har ført til et underskud på d med hensyn til værdien for X , fører værdien ae til et underskud på de i forhold til værdien for eX . Af samme årsager fører værdien bd til et overskud af de over værdien for dX . Så værdien for ae + bd er den samme som for eX + dX - fordi underskuddet og overskud kompenseres - og værdi er den værdi for X . Analogien med reduktionen til samme nævneren er så stærk, at a og b kaldes udbytte i proceduren, mens d og e kaldes delere. Længe kun brugt i Kina, blev denne metode derefter brugt i den arabiske verden og derefter i Vesten.
Eksempler Om et fælles bidragDette eksempel er taget fra de ni kapitler om matematisk kunst :
For et fælles køb, hvis alle betaler 8, er der 3 overskud, og hvis alle betaler 7, er der 4 underskud. Hvor meget skal hver betale? Hvad er antallet af deltagere? Hvad er købsbeløbet?Dette er et lineært problem, hældningen er antallet af personer, x'erne er alles kvoter, og y'erne er summen.
Falsk position opløsningDet stillede problem indikerer allerede de to falske positioner: for b = 8 er overskuddet e = 3 og for a = 7 er underskuddet d = 4
De ukendte er: N for antallet af deltagere og S for købsbeløbet. Dataene fører til ligningssystemet
På et system med to ligninger med to ukendteDenne købmand købte 120 tørklæder, nogle til 2 ecu, andre til 5 ecu, for et beløb på 468 ecu. Hvor mange tørklæder af hver slags købte han?
Falsk position opløsningDe falske positioner vil være relateret til antallet af tørklæder ved 2 ecu.
Her er det et spørgsmål om to underskud, det er nødvendigt at tage den generelle formel: det nøjagtige antal tørklæder ved 2 ecu er derfor . Han købte derfor 44 tørklæder til 2 ecu (dvs. 88 ecu) og 120 - 44 = 76 tørklæder til 5 ecu (dvs. 380 ecu).
Moderne opløsningMetoden gør det muligt at løse et system med to lineære ligninger med to ukendte. Faktisk, hvis vi kalder n 2 antallet af tørklæder ved 2 ECU og n 5 antallet af tørklæder ved 5 ECU, så fortæller problemet os, at:
Lineær interpolation i et ikke-lineært problemDette eksempel er taget fra bogen om tal og beregning (Suàn shù shū)
Overvej et felt på en mǔ (i kinesisk metrologi svarer en mǔ til 240 bù-kvadrat eller ca. 600 m²): hvor mange bù er det kvadratisk?
Dette problem er ikke et lineært problem, men vi kan lokalt nærme os den tilsvarende parabel ved hjælp af et linjesegment
Falsk position opløsningOver- og underskudsprocessen giver en firkant med side bù.
Løsning ved ekstraktion af kvadratroder
Vi finder også dette lineære interpolationssystem i tre problemer (11-18-20) i kapitel VII om overskud og underskud i De ni kapitler om matematisk kunst (Jiǔzhāng Suànshù) uden at det er klart i teksten, at det kun er en tilnærmelse. Denne brug foregriber, uden dens iteration, den falske positionsmetode, der er udviklet i analysen.
Det er en iterativ metode til at finde et nul af en kontinuerlig funktion, hvoraf hvert trin vedrører den oprindelige falske dobbeltposition.
Givet a og b konstruerer vi linjen, der passerer gennem punkterne ( a , f ( a )) og ( b , f ( b )), som i figuren overfor. Bemærk, at denne linje er en sekant eller en akkord i grafen for funktionen f . Ved hjælp af hældningen og et punkt kan ligningens linie skrives:
Vi bestemmer nu c , abscissen for skæringspunktet for denne linje med abscisseaksen (nul for sekanten) givet af:
Løsning af den foregående ligning giver c :
Ligesom dikotomi metode, den falske position metode begynder med to punkter et 1 og b 1 , således at f ( a 1 ) og f ( b 1 ) er af modsat fortegn, hvilket indebærer, ifølge sætning, mellemliggende værdier , at den kontinuerlige funktion f har mindst et nul i intervallet [ a 1 , b 1 ]. Metoden består i at producere en faldende sekvens af intervaller [ a k , b k ], som alle indeholder nul på f . I trin k er antallet:
beregnes. Som forklaret ovenfor er c k abscissen af skæringspunktet mellem linjen, der passerer gennem ( a k , f ( a k )) og ( b k , f ( b k )) med abscissa-aksen, som vi kalder for at forenkle nul af sekanten . Hvis f ( a k ) og f ( c k ) har samme tegn, så indstiller vi en k +1 = c k og b k +1 = b k , ellers indstiller vi en k +1 = a k og b k + 1 = c k . Denne proces gentages, indtil nul nærmer sig tilstrækkeligt, dvs. forskellen mellem c k + 1 og c k er mindre end en acceptabel forskel ε.
Ovenstående formel bruges også i secant-metoden , men sidstnævnte bevarer systematisk de sidste to beregnede punkter, mens den falske positionsmetode bevarer to punkter, der helt sikkert omgiver et nul. På den anden side er den eneste forskel mellem den falske positionsmetode og dikotomimetoden brugen i sidstnævnte af forholdet c k = ( a k + b k ) / 2.
Hvis de oprindelige værdier a 0 og b 0 tages således, at f ( a 0 ) og f ( b 0 ) har modsatte tegn, vil den falske positionsmetode konvergere til nul på f . Den hastighed konvergensen vil typisk være superlinear , således hurtigere end dikotomi metode, men langsommere end Newtons metode. Husk dog, at Newtons metode kan afvige, ligesom secant-metoden.