Den mesopotamiske nummerering er et system med nummerering i tres base, der anvendes i Mesopotamien fra III th årtusinde BC. AD . Dette system er der fortsat perfektionere sig selv indtil mindst III th århundrede f.Kr.. AD , i Seleucid- æraen . Det optages af de græske og arabiske civilisationer til at skrive tal i astronomi. Nogle rester forbliver i tidssystemet eller ved måling af vinkler i grader, minutter, sekunder.
Dette system er baseret på et kompromis mellem base tres og base ti. I løbet af disse 3000 år har flere skriftsystemer eksisteret sammen, herunder et videnskabeligt positioneringsnummereringssystem med base tres ved hjælp af en notation baseret på negle og chevrons og andre af yderligere princip, der tildeler bestemte symboler til tallene 1, 10, 60, 600, 3.600, 36.000, 216.000. Dette nummer deles af babylonierne og akkadierne og kommer fra det tal, der bruges af sumerne .
De mesopotamiske tekster, hvor vi finder spor af tal, er spredt over mere end 3000 år. Mesopotamien oplevede i denne periode mange nummereringssystemer, som ofte eksisterede sammen. Vi kan skelne mellem nummersystemer, der bruges til beregninger, generelt af den seksagesimale positionstype og metrologiske systemer med forskellige baser.
Udviklingen af de mesopotamiske nummerering systemer sker primært i den sydlige del, delstaten Sumer , i anden halvdel af det IV th årtusinde f.Kr.. AD (som svarer til perioden for nylig Uruk ). Det er knyttet til fremkomsten af et statligt, bysamfund, hvis økonomiske base er kunstvandet landbrug indrammet af institutioner (paladser, templer) og utvivlsomt private ejendomme, der udvikler mere og mere sofistikerede ledelsesinstrumenter. Det er almindeligt anerkendt i lerboblerne, der dukkede op før udskrivningen af regnskabsinstrumenter. I løbet af to-tre århundreder af den IV th årtusinde f.Kr.. AD , skrivning ser ud. Det tager form af tegn dannet af linjer, der er indskåret i ler tabletter, som Robert Englund foreslog at kvalificere sig som "proto-cuneiforms", fordi de lægger grundlaget for det senere cuneiform- system, men endnu ikke har et. Udseende på grund af manglen på tegn i form af "negle". Regnskabsmæssige og ledelsesmæssige behov for institutionerne i denne periode er utvivlsomt selve oprindelsen til udviklingen af denne skrivning. Dette inkluderer fra denne periode adskillige numeriske og metrologiske systemer til at imødekomme institutionernes behov: registrering og estimering af de høstede mængder korn og prognoser for såbehov i fremtiden, beregning af de mængder korn, der er nødvendige for at fremstille brød. Og øl osv. .
Den III th årtusinde f.Kr.. AD ser opsætningen af cuneiform-scriptet. I de sumeriske tekster i Shuruppak (v. 2500) vises de første matematiske skoleøvelser. Forfatningen af stadig stærkere politiske enheder, derefter foreningen af Mesopotamien under de korte imperier af Akkad (v. 2340-2190) og Ur III (v. 2112-2004) ledsagede forenkling af systemerne. Nummerering og metrologi, selvom de er aldrig standardiserede. Som reaktion herpå har de skriftkloge udviklet i løbet af de sidste århundreder af den III th årtusinde f.Kr.. AD bruges til at udføre beregninger i et sexagesimalt numerisk system og derefter konvertere dem til metrologiske systemer af forskellige baser.
I begyndelsen af II th årtusinde f.Kr.. AD , sumerernes forsvinden ledsages af tilbagegangen i tekster skrevet på deres sprog, fortrængt af dem, der er skrevet på det semitiske sprog for de befolkninger, der dominerer Mesopotamien, akkadisk , hvoraf den mest almindelige variant i syd er babylonerne , navnet af kongeriget, der dominerede skæbnen i denne region omkring 1750 til 539 f.Kr. De babylonierne arve tidligere digitale systemer. Som ofte i gamle perioder kender de regionale variationer og er aldrig forenet for hele Mesopotamien; kongedømmene i det nordlige Mesopotamien ( Mari , Assyria ) udvikler især originale systemer. Teksterne, der dokumenterer mesopotamisk matematik og metrologi, kommer for det meste fra en skolekontekst, der bruges til uddannelse af skriftkloge. De har et primært praktisk formål, der tjener til styring af økonomiske aktørers behov (templer, paladser, købmænd osv.) I deres forskellige aktiviteter. Man finder der især tabletter, der fungerer som aritmetiske arbejdsredskaber, især tabeller over beregninger eller metrologiske konverteringer, såvel som tabeller med invers. Matematiske øvelser (især geometriske) tager generelt udgangspunkt i tilsyneladende praktiske problemer i forbindelse med landbrugsarbejde eller byggeri, selvom deres udsagn ofte har urealistiske antagelser, der indikerer, at de er ret spekulative.
Tallsystemer til at skrive numre varierer meget i rum og tid. Til at skrive tal fra 1 til 59 er der generelt to symboler (et til enheden og et til de ti), der er anvendt efter et additivprincip. Så et tal som 35 er skrevet ved hjælp af tre symboler, der repræsenterer ti og fem symboler, der repræsenterer enhed. Vi finder undertiden tilstedeværelsen af et subtraktivt system til at skrive tal, hvis cifre er 7, 8 eller 9. Således er 18 skrevet 20 LAL 2, men sådan skrivning er ikke standardiseret - Cajori tæller ved eksempel på næsten tolv forskellige måder at skrive 19 på. Efter andet årtusinde er sådan skrivning dog sjælden, mens kursiv skrivning vises for symbolet 9.
Ud over 59 bliver nummereringssystemerne mere forskellige. De numeriske systemer, der er knyttet til metrologi, er i princippet additive og kræver opfindelsen af nye symboler, der er forskellige efter systemerne, for at udtrykke bestemte runde tal (60, 100, 120, 600, 1200 ...). Nogle af disse symboler er konstrueret efter et multiplikationsprincip: vi finder for eksempel i en af de ældste matematiske tekster ( Uruk før 3000 f.Kr.) symbolet 10, der er knyttet til symbolet 60, til at repræsentere tallet 600. Det numeriske system forbeholdt beregning, idet den er af positionsprincippet, kræver ikke opfindelsen af nye symboler.
Der er også specielle notationer for fraktionerne 1/2, 1/3, 1/6, 2/3, 5/6, mens de andre inverser er stavet ud.
I løbet af de sidste århundreder af den mesopotamiske civilisation i jeg st årtusinde f.Kr.. AD , metrologiske systemer så undertiden deres grundlæggende enheder ændre sig. Skoleøvelser udvikler sig også med udvikling af lister i stedet for tabeller. Det mest udbyggede matematiske anvendelser af de sidste århundreder af I st årtusinde f.Kr.. AD findes i det gejstlige miljø i Babylonia i den seleukidiske periode (v. 311-141 f.Kr.), især for spåmænd, der bruger beregninger til astronomiske og astrologiske formål, især skriftlig efemeris . Det er i denne sammenhæng, at de nyeste mesopotamiske digitale tablets er skrevet.
Numerationssystemer i teksterne i sumerisk af Uruk-perioden og de arkaiske dynastier ( IV e og III e årtusinder) er forfædre til de posteriore mesopotamiske tællinger. De første spor findes på ler " boblekonvolutter " beregnet til kommercielle transaktioner. Men det er sikkert, at digitale systemer er på plads på lertavler fra slutningen af IV th årtusinde f.Kr.. AD . De er i princippet additive, det vil sige, at det er nødvendigt at tilføje værdierne for hvert symbol, der er til stede, for at finde den numeriske værdi, der er repræsenteret: således er et tal skrevet med to symboler 600, tre symboler 60 og to symboler 1 læser 600 + 600 + 60 + 60 + 60 + 1 + 1 eller 1382.
De digitale symboler skrives ved hjælp af den afrundede ende af kalames i forskellige størrelser: anvendt vinkelret på overfladen, dette tegner en cirkel og påføres i en vinkel, det tegner en halvmåne eller en mere eller mindre langstrakt fane. Vi finder der eksistensen af forskellige nummereringssystemer afhængigt af om vi tæller diskrete genstande (mænd, kvæg, fremstillede produkter, containere ...), døde dyr, forbrugsprodukter (fisk, ost ...) af overflader, frø, mængder af penge, varighed ... Robert Englund tæller således fem hovednummereringssystemer med mange variationer. Det samme symbol bruges undertiden med en anden betydning afhængigt af systemet.
Implementeringen af kileskriftskriften ændrer stavningen af symbolerne, men de sumeriske principper for at diversificere nummereringssystemerne efter, hvad man måler, er bevaret. Vi finder således for eksempel sexagesimal-systemet S, et additivt system, der bruger bestemte symboler til 1, 10, 60, 600, 3600, 36000, 216000. Det bruges til optælling og metrologi (især til kapaciteter og vægte). Dette system er identisk, bortset fra stavemåden, med det tilsvarende sumeriske nummereringssystem, der er i brug så tidligt som 3200 f.Kr. J.-C.
Værdi | 36000 | 3600 | 600 | 60 | 10 | 1 |
---|---|---|---|---|---|---|
Symbol |
Nummeret læser 2 × 3600 + 3 × 600 + 4 × 10 + 1.
Vi kan også fremkalde G-systemet, analogt med det sumeriske Gan-system, også additiv, men bruges til overflader. Der er specielle symboler til at skrive 1/2, 1, 6, 18, 180, 1080, 10800, 64800.
Fra begyndelsen af den II th årtusinde f.Kr.. De Mesopotamians tælles til basen 60 ved hjælp af en positionel nummerering afledt af tilsætningsstoffet type og blandet basis nummereringssystem for Sumererne . Dette system er generelt forbundet med den babyloniske civilisation , der besatte det sydlige Mesopotamien efter 1800 og indtil begyndelsen af vores æra. Denne base har krydset århundrederne: vi finder den i dag i notationen af vinkler i grader (360 ° = 6 x 60 °) eller i tidsdelingen (1 time = 60 minutter = 60² sekunder).
Det sexagesimal Systemet position beskrevet nedenfor er attesteret fra XXI th århundrede f.Kr.. AD på et omvendt bord, og det er meget almindeligt i den paleo-babylonske periode (2000 til 1600 f.Kr. ). Det er en videnskabelig betegnelse, der bruges i skriftlærde, og hvis brug synes at være forbeholdt beregning, hovedsageligt multiplikationer og opdelinger. Størrelsesrækkefølgen er ikke specificeret, og disse tal efterfølges aldrig af måleenheder. Tal skrevet i denne form kaldes derfor abstrakte tal. Vi finder denne videnskabelige notation i Seleucid-perioden i alle astronomiske tekster.
Princippet består i at have 59 symboler eller "cifre", hvilket gør det muligt at repræsentere tallene fra 1 til 59, og at bruge dem fra højre til venstre til successivt at repræsentere antallet af enheder, antallet af tres, antallet af tre. tusind seks hundrede osv.
Bortset fra nul brugte babylonierne femoghalvfems af de tres " cifre " i sexagesimal-systemet. Disse tal blev noteret ved hjælp af et additivt decimalsystem : et søm til enheden og en chevron til de ti. Således kunne ethvert tal i deres sexagesimale system være skrevet med højst fem vinkler og ni negle.
enheder | ||||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
… 0 | ... 1 |
... 2 |
... 3 |
... 4 |
... 5 |
... 6 |
... 7 |
... 8 |
... 9 |
|||
tiere | 0… | |||||||||||
1… | ||||||||||||
2 ... | ||||||||||||
3 ... | ||||||||||||
4 ... | ||||||||||||
5 ... |
For at skrive tal større end 59 er det tilstrækkeligt at sidestille fra venstre mod højre flere af disse "cifre". Skrivning af tallet 60² + 17 × 60 + 35 består således i at tilpasse symbolerne, der repræsenterer 1, 17, 35:
I tabellen ovenfor er tallene 1, 60 og 3600 repræsenteret på samme måde: skønt det er positionelt, bemærker det babylonske system hverken nul eller komma som i det kinesiske tal med søjler . På en måde ligner den babylonske talning videnskabelig notation med mantissa og eksponent , bortset fra at babylonierne kun bemærkede mantissen og holdt eksponenten mentalt. I nutidigt sprog er det en flydende beregning . Læseren af tabletterne skal således genoprette eksponenten for de numre, som han afkoder, hvilket undertiden vanskeliggør fortolkningen.
Andre læsevanskeligheder vises også: additiv notation med chevrons og negle kan føre til forvirring som mellem og . Kun et mellemrum adskiller den første skrivning, der formodes at repræsentere 60 + 1, fra den anden, der formodes at repræsentere 2. Den samme type forvirring kan også eksistere mellem skrivningen af og formodes at repræsentere 60 + 1 og 60 2 + 1.
For at bemærke denne manglende enhed erstattes rummet i en position internt af et tal med et separationssymbol, et "nul", der består af to overlejrede vinkler eller to skrå negle, sidestillet eller overlejret , afhængigt af tilfældet . Dette symbol bruges til at markere kolonner. Denne nul vises i nogle tekster efter udløbet af den periode Gamle babylonske (slutningen af II th årtusinde f.Kr.. ) For at angive et tomt sted i sexagesimal system, men også nogle gange for at angive et fravær af ti eller enhed i en mellemliggende søjle. Det er almindeligt anvendt i astronomiske tekster fra Seleucid- perioden (300 f.Kr. ). Det vises undertiden i første position, ofte i mellemposition, men meget sjældent i slutposition.
Der findes et blandet system ved skrivning af tal blandt assyrerne i hele den paleo-assyriske periode (ca. 2000-1500 f.Kr.). Den klassiske notation holdes for værdien af neglen (1 enhed) og chevronen (10 enheder), men skrivningen af tiere fortsætter indtil 90, som skrives ved hjælp af 9 chevroner. Der er et specifikt navn for hundrede ( mig eller mig-at ), tusind ( lim ). I dette system er tallet 162 skrevet 1 (1 søm) me-at 62 (6 bjælker og 2 søm). Men nogle gange finder vi nogle genopblomstringer af sexagesimalsystemet som ved skrivning af 2670 i form af li-im me-at . Efterhånden forkortes ordene me-at (hundred) og li-im i følgende kileskriftformer: (hundrede) og (tusind).
Vi har også i Mari (en by beliggende ved Eufrat ved grænsen til det nuværende Syrien , tekster dateret ca. 1800-1760) opdaget en tekst fra den paleo-babylonske periode og præsenterer tre skrifter: en sexagesimal skrivning af position , en blandet skrivning (sexagesimal) op til hundrede og derefter additiv decimal med ordene me (hundrede), li-mi (tusind) og gal (ti tusind), endelig en centesimal positional notation (neglene og vinklerne tillader at 'skrive alle "cifre" fra 1 til 99). Vi finder således nummeret 649539 skrevet i tre former:
Benoît Rittaud, “ YBC 7289 tablet - Til en ukendt matematiker! » , On Bibnum