Integreret operatør

I matematik er en integreret operator eller kerneoperator en lineær operator, der defineres ved hjælp af en parametrisk integral over bestemte funktionelle rum . Billedet af en funktion af en sådan operatør er derfor en anden funktion, hvis domæne kan være meget forskelligt.

Sådanne operatorer udgør grundlæggende objekter i funktionel analyse , hvor de især gør det muligt at transformere en ligning for at opnå en version, der på forhånd er lettere at løse. De første eksempler er foldning og Fourier eller Laplace transformationer , deraf navnet også stødt integraltransformation .

Udtryk

Den generelle form for en integreret operator gives af følgende udtryk:

S (f) (t) = \ int _ {{A}} {f (x) K (x, t) \, {\ mathrm {d}} \ mu (x)}

hvor funktionen $K$ kaldes operatørens kerne .

I mange almindelige eksempler er integrationsdomænet $A$ et reelt interval, og det tilknyttede mål er Lebesgue .

Specielle kerneformer

En kerne $K$ siges at være adskillelig eller degenereret kan skrives i form

{\ displaystyle K (x, t) = \ sum _ {i = 1} ^ {p} a_ {i} (x) b_ {i} (t)}

med funktionerne $( a i )$ uafhængige.

En kompleksværdi Kerne $K$ siges at være symmetrisk eller Hermitian, hvis den opfylder

{\ displaystyle \ forall x, t, \ K (x, t) = {\ overline {K (t, x)}}.}

En kerne $K$ kaldes en " konvolutionskerne ", hvis den er af formen

{\ displaystyle K (x, t) = k (xt).}

En kerne $K$ siges at være regelmæssig, hvis den opfylder:

{\ displaystyle \ iint K (x, t) \ mathrm {d} x \ mathrm {d} t <+ \ infty.}

Hvis en kerne $K$ har formularen, for en afgrænset funktion $h$ ,

{\ displaystyle K (x, t) = {\ frac {h (x, t)} {| xt | ^ {m}}}, \ m \ in] 0; 1 [,}

derefter siges integralligningen at være "svagt ental". For konstant $h$ finder vi Abel's integrale ligning.

En kerne $K$ kaldes en "Cauchy-kerne", hvis den er af formen

{\ displaystyle K (x, t) = {\ frac {h (x, t)} {xt}}.}

Det fremgår af definitionen af Cauchys hovedværdi .

brug

De integrerede operatører griber ind i fænomenerne diffusion, hvor klassisk intervenerer integrerede ligninger . Løsningernes eksistens og unikhed finder løsninger med Fredholm-alternativet , når sidstnævnte er anvendeligt, det vil sige når operatøren er kompakt .

I et stort antal tilfælde i praksis er der allerede en omfattende undersøgelse af operatørens spektralanalyse.

Det sker, at en sådan operatør indrømmer en invers, som også er en integreret operator. Kernen i sidstnævnte kaldes derefter den inverse kerne.

Se også

[PDF] Gilles Leborgne, "Integrerede kerner, Hilbert-rum med reproducerende kerne: introduktion" , ISIMA-forelæsningsnotater,9. marts 2016 (konsulteret 25. juli 2016)