Funktionelt rum

I matematik er et funktionelt rum et sæt applikationer af en bestemt form fra et sæt til et sæt.x{\ displaystyle X}Y.{\ displaystyle Y.}

Det kaldes "rum", fordi det afhængigt af tilfældet kan være et topologisk rum , et vektorrum eller begge dele.

Områder

Funktionelle rum vises i forskellige matematiske områder:

• i sætteori kan sæt af dele af et sæt identificeres med sæt af funktioner med værdier i , betegnet . Mere generelt noteres alle applikationer  ;x{\ displaystyle X}x{\ displaystyle X}{0,1}{\ displaystyle \ {0.1 \}}{0,1}x{\ displaystyle \ {0,1 \} ^ {X}}x→Y{\ displaystyle X \ rightarrow Y}Yx{\ displaystyle Y ^ {X}}
• i lineær algebra er sættet med lineære kort fra et vektorrum til et andet på det samme kommutative felt i sig selv et vektorrum;E{\ displaystyle E}F{\ displaystyle F}
• i funktionel analyse har vi den samme konstruktion med kontinuerlige lineære kort på topologiske vektorrum , typisk: funktionsrum med reelle eller komplekse værdier forsynet med en bestemt topologi; de mest kendte eksempler er de hilbertiske rum og Banach-rummene .
• i funktionel analyse kaldes sæt af kortlægninger af sættet med naturlige tal i ethvert sæt et sekvensrum . Den består af alle sekvenser af elementer af  ;x{\ displaystyle X}x{\ displaystyle X}
• i topologi kan vi forsøge at opbygge en topologi på rummet med kontinuerlige funktioner i et topologisk rum X i en anden Y , hvis anvendelighed afhænger af rummets art. En almindeligt anvendt topologi er den kompakte åben topologi . En anden mulig topologi er den topologi, der produceres på funktionsrummet (ikke nødvendigvis kontinuerlig) . I denne sammenhæng kaldes denne topologi også for den enkle konvergens topologi  ;Yx{\ displaystyle Y ^ {X}}
• i algebraisk topologi er studiet af homotopiteori i det væsentlige baseret på studiet af diskrete invarianter af funktionsrum;
• i stokastisk processteori er det grundlæggende tekniske problem, hvordan man konstruerer et sandsynlighedsmål på et rum af funktioner, der består af processtier (tidsfunktioner);
• i kategoriteori kaldes et funktionelt rum et eksponentielt objekt . Det fremtræder på den ene side som bifunktoren Hom  ; men som en (enkel) funktor af typen [ X , -] vises den som en funktor supplerende med en funktor af typen (- × X ) på objekter;
• i lambda-calculus og i funktionel programmering anvendes typer af funktionsrum til at udtrykke ideen om højere ordensfunktioner  ;
• i domæne teori er den grundlæggende idé at finde konstruktioner fra delordrer, der kan modellere lambda-calculus ved at skabe en lukket kartesisk kategori .

Funktionel analyse

Generelle områder

• et lokalt konvekst rum er et topologisk vektorrum på R, hvis topologi er defineret af en familie af semi-normer (eller på en ækvivalent måde med baser af konvekse kvarterer );
• et Fréchet-rum er et lokalt konvekst rum adskilt fra hvilket topologien er defineret af en tællbar familie af semi-normer (eller på en ækvivalent måde: metriserbar ) og komplet (for enhver af de afstande, der definerer dets topologi);
• et Banach-rum er et fuldt normaliseret vektorrum ;
• et Hilbert-rum er et Banach-rum, hvis norm er forbundet med et punktprodukt .

Særlige rum

• Schwartz plads af hastigt faldende klasse funktioner og dens topologiske dobbelt , rummet af tempererede distributioner  ;VS∞{\ displaystyle C ^ {\ infty}}
• Lp mellemrum  ;
• K(R){\ displaystyle {\ mathcal {K}} (\ mathbb {R})}plads til kontinuerlige funktioner med kompakt støtte forsynet med normen for ensartet konvergens;
• B(R){\ displaystyle {\ mathcal {B}} (\ mathbb {R})}rum med afgrænsede kontinuerlige funktioner  ;
• VS0(R){\ displaystyle {\ mathcal {C}} _ ​​{0} (\ mathbb {R})} rum med kontinuerlige funktioner, som har tendens til nul til uendelig;
• VS∞(R){\ displaystyle {\ mathcal {C}} ^ {\ infty} (\ mathbb {R})}klasse funktion plads  ;VS∞{\ displaystyle C ^ {\ infty}}
• VSvs.∞{\ displaystyle {\ mathcal {C}} _ ​​{c} ^ {\ infty}}rum af funktioner C∞ med kompakt støtte , forsynet med ensartede standarder for funktion og dets derivater;
• D(R){\ displaystyle {\ mathcal {D}} (\ mathbb {R})}funktionsrum med kompakt understøttelse, denne gang forsynet med en vis induktiv grænsetopologi  ;VS∞{\ displaystyle C ^ {\ infty}}
• OU{\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {U}} rum med holomorfe funktioner;
• Wk,s{\ displaystyle W ^ {k, p} \,} Sobolev-rum  ;
• Besov mellemrum
• stykkevis affine applikationer;
• plads til kontinuerlige funktioner forsynet med kompakt-åben topologi
• rum med funktioner forsynet med topologien om enkel konvergens;
• Hardy mellemrum  ;
• Hölder rum .

Noter og referencer

• (fr) Denne artikel er helt eller delvist taget fra Wikipedia-artiklen på engelsk med titlen "  Function space  " ( se listen over forfattere ) .

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">