I affin geometri er parallelisme en egenskab, der relaterer til linjer , til planer eller mere generelt til affine underrum . Begrebet parallelisme blev oprindeligt formuleret af Euclid i hans Elements , men dets præsentation har udviklet sig over tid og bevæger sig fra en aksiomatisk definition til en simpel definition.
Begrebet parallelisme introduceres i bog I om Euclids elementer . For Euclid er en linje mere som et segment .
Den forudsætning 5 : "Hvis en linje falder på to rette linjer gør de indvendige vinkler på samme side er mindre end to rette vinkler, disse lige, forlænget på ubestemt tid, vil møde den side, hvor vinklerne er mindre end to rettigheder. »Gør det muligt at bevise:
Hvis postulat 5 tillader os at demonstrere alle de sædvanlige egenskaber i vores velkendte rum, er faktum stadig, at det virker mindre "indlysende" end de andre, og at der er gjort mange forsøg på at demonstrere det fra enklere postulater. Det var deres gentagne fiasko, der i sidste ende førte til opdagelsen af ikke-euklidiske geometrier .
I sine Elements of Geometry (1765) definerer Clairaut to parallelle linjer som lige langt fra hinanden. Det faktum, at en kurve, der er lige langt fra en linje, i sig selv er en linje, er en egenskab, hvis bevis kræver optagelse af Euclids femte postulat (i hyperbolsk geometri definerer denne egenskab en ny familie af kurver, hypercyklerne ).
Moderne geometri definerer begrebet parallelisme inden for rammerne af affin geometri.
En linje defineres af et punkt og en retningsvektor. To linjer siges at være parallelle, hvis og kun hvis deres retningsvektorer er kollinære . Det ser ud til, at to flettede linjer er parallelle i henhold til denne definition, mens de ikke var i overensstemmelse med Euclids definition. To forskellige parallelle linjer kaldes derefter strengt parallelle.
Ved at acceptere at betragte sammenfaldende linjer som parallelle er forholdet mellem parallelisme så:
Dette gør det muligt for os at sige, at parallelitet relation er en ækvivalensrelation hvis ækvivalens klasser er de retninger af linjerne.
I et affinalt rum er to plan defineret af et punkt og to ikke-kollinære retningsvektorer.
To plan er parallelle, hvis og kun hvis de fire retningsvektorer er i samme plan . I et rum med dimension 3 er to plan enten parallelle (uden fælles eller forvirrede punkter) eller krydser langs en lige linje.
En linje er parallel med et plan, hvis og kun hvis de tre retningsvektorer (både af planet og linjens) er i samme plan (med denne definition er en linje indeholdt i et plan parallel med det). I et rum med dimension 3, givet en linje og et plan, er enten linjen parallel med planet, eller linjen og planet er sekant langs et punkt. I modsætning til de foregående er forholdet mellem parallelitet mellem højre og plan ikke transitivt; to planer kan således være parallelle med den samme linje Δ uden at være parallelle med hinanden (men derefter vil deres skæringslinje være parallel med Δ).
BemærkI modsætning til hvad der sker i planet (affineret rum i dimension 2) krydser muligvis to linjer i dimension 3 ikke uden at være parallelle. To sådanne linjer (med andre ord: to ikke-coplanar linjer) kaldes venstre linjer .
Et p- dimensionelt affint underrum defineres ved hjælp af et punkt og et p- dimensionelt vektorunderrum kaldet retningen af det affine rum. To affine underrum af dimension p er parallelle, hvis og kun hvis de har det samme vektorunderrum som retning. To parallelle affine underrum er adskilt eller forvirret.
Parallelismeforholdet forbliver en ækvivalensrelation på sættet med affine underrum af dimension p . Mere generelt siges det , at to affine underrum med respektive dimensioner p og q med p < q siges at være parallelle, hvis retningen af den første er et vektors underrum af retningen af det andet (men dette sidste forhold er ikke en forholdsækvivalens) .