Sandsynlighed for kommutativitet

I matematik og mere præcist i gruppe teori , at sandsynligheden for kommutivitet (også kaldet graden af kommutivitet ) af en endelig gruppe er sandsynligheden , at to tilfældigt udvalgte elementer pendler . Det kan bruges til at måle, hvor tæt en endelig gruppe er på at være abelian .

Definition

Lad være en endelig gruppe . Vi definerer som det gennemsnitlige antal par af elementer, som pendler til: G{\ displaystyle G}s(G){\ displaystyle p (G)}G{\ displaystyle G}

s(G): =1#G2#{(x,y)∈G2:xy=yx}.{\ displaystyle p (G): = {\ frac {1} {\ # G ^ {2}}} \ # \ left \ {(x, y) \ in G ^ {2} \ colon xy = yx \ right \}.}

Hvis vi betragter den ensartede lov om , er sandsynligheden for, at to elementer af tilfældigt valgt pendler. Dette kaldes sandsynligheden for kommutativitet af . G2{\ displaystyle G ^ {2}}s(G){\ displaystyle p (G)}G{\ displaystyle G}s(G){\ displaystyle p (G)}G{\ displaystyle G}

Resultater

• Den endelige gruppe er abelsk hvis og kun hvis .G{\ displaystyle G}s(G)=1{\ displaystyle p (G) = 1}
• Vi har

s(g)=k(G)#G{\ displaystyle p (g) = {\ frac {k (G)} {\ # G}}} hvor er antallet af konjugationsklasser af .k(G){\ displaystyle k (G)}G{\ displaystyle G}

• Hvis ikke er abelian, så (dette resultat kaldes undertiden The 5/8 Theorem), og denne øvre grænse nås: der findes en uendelig række af begrænsede grupper, således at den mindste er den tosidede gruppe af rækkefølge 8.G{\ displaystyle G}s(G)≤5/8{\ displaystyle p (G) \ leq 5/8}G{\ displaystyle G}s(G)=5/8{\ displaystyle p (G) = 5/8}
• Der er ingen ensartet nedre grænse for . Faktisk eksisterer der for et hvilket som helst naturligt heltal , der ikke er nul, en endelig gruppe sådan .s(G){\ displaystyle p (G)}ikke{\ displaystyle n}G{\ displaystyle G}s(G)=1/ikke{\ displaystyle p (G) = 1 / n}
• Hvis ikke er abelsk men er simpelt , så (denne grænse nås for den alternerende gruppe af rækkefølge 5).G{\ displaystyle G}s(G)≤1/12{\ displaystyle p (G) \ leq 1/12}PÅ5{\ displaystyle {\ mathfrak {A}} _ {5}}

Generaliseringer

• Sandsynligheden for kommutativitet kan defineres for andre algebraiske strukturer såsom endelige ringe .
• Sandsynligheden for kommutativitet kan defineres for uendelige kompakte grupper ; sandsynlighedsmålet er derefter, efter renormalisering, Haar-målet .

Referencer

1. WH Gustafson , “  Hvad er sandsynligheden for, at to gruppeelementer pendler?  ”, The American Mathematical Monthly , bind.  80, n o  9,1973, s.  1031–1034 ( DOI  10.1080 / 00029890.1973.11993437 )
2. AK Das , RK Nath og MR Pournaki , “  En undersøgelse om estimering af kommutativitet i endelige grupper  ”, Southeast Asian Bulletin of Mathematics , bind.  37, nr .  22013, s.  161-180
3. John C. Baez , "  The 5/8 Theorem  " , på Azimut ,16. september 2018
4. Desmond Machale , “  Commutativity in Finite Rings,  ” The American Mathematical Monthly , bind.  83,1976, s.  30-32 ( DOI  10.1080 / 00029890.1976.11994032 )
5. Karl H. Hofmann og Francesco G. Russo , "  Sandsynligheden for, at x og y pendler i en kompakt gruppe  ", Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society , bind.  153, nr .  3,2012, s.  557–571 ( DOI  10.1017 / S0305004112000308 , arXiv  1001.4856 )

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">