Dihedral gruppe

I matematik er den tosidede gruppe af rækkefølge 2 n for et ikke-nul naturligt tal n en gruppe, der især fortolkes som gruppen af isometrier på planet, der holder en regelmæssig polygon med n sider. Gruppen består af n elementer svarende til rotationer og n andre svarende til refleksioner . Det er betegnet af D n af nogle forfattere og D 2 n af andre. Vi bruger her betegnelsen D2 n .

Gruppen D 2 er den cykliske gruppe af orden 2, betegnet C 2 ; gruppe D 4 er den fire-element Klein gruppe . Blandt de dihedrale grupper D 2 n , disse er de eneste to at være abelsk . Fortolkningen af dihedrale grupper som grupper af isometrier er ikke egnet til disse to specielle tilfælde, da der ikke er nogen regelmæssige polygoner med en eller to sider. Nogle forfattere kun definere diedret gruppe af orden 2 n for n mindst er lig med 3. Alligevel gruppen D 4 kan fortolkes som gruppen af isometrier af flyet holde et segment ikke reduceret til et punkt.

Præsentation og ækvivalente definitioner

Gruppen D 2 n kan defineres ved den følgende nøjagtige split sekvens :

{\ displaystyle 1 \ til C_ {n} \ til D_ {2n} \ til C_ {2} \ til 1}

hvor C n (også bemærket Z n eller Z / n Z ) er en cyklisk gruppe af orden n , C 2 er cyklisk af orden 2, idet snittet givet ved virkningen af en læsning $σ$ af generatoren af C 2 , på en generator $τ$ af den cykliske gruppe af rækkefølge n :

\ sigma \ tau \ sigma ^ {{- 1}} = \ tau ^ {{{- 1}}.

Denne gruppe er derfor semi-direkte produkt af C n af C 2 efter morphism $ψ$ , hvor enheden af C 2 virker på C n som den identiske kort og det andet element af C 2 virker på C n ved inversion. Eksplicit:

{\ text {si}} \; C_ {n} = \ langle \ tau \ rangle, \; C_ {2} = \ langle \ sigma \ rangle \; {\ text {then}} \; \ psi (1) (\ tau ^ {k}) = \ tau ^ {k}, \ psi (\ sigma) (\ tau ^ {k}) = \ tau ^ {{- k}} \ quad \ forall k \ in \ {0 , 1,2, ..., n-1 \}.

En præsentation er derefter:

{\ displaystyle \ left \ langle \ sigma, \ tau \ mid \ sigma ^ {2}, \ tau ^ {n}, \ sigma \ tau \ sigma ^ {- 1} \ tau \ right \ rangle,}

dvs. generatorer er $σ$ , $τ$ og de eneste forhold, de tilfredsstiller, er dem, der er resultatet (af aksiomer i en gruppelov) fra:

{\ displaystyle \ sigma ^ {2} = 1, \ quad \ tau ^ {n} = 1 \ quad {\ text {and}} \ quad \ sigma \ tau \ sigma ^ {- 1} = \ tau ^ {- 1}.}

Vi kan således udarbejde en komplet liste over elementerne i gruppen:

1, \ tau, \ tau ^ {2}, \ prikker, \ tau ^ {{n-1}}, \ sigma, \ sigma \ tau, \ sigma \ tau ^ {2}, \ prikker, \ sigma \ tau ^ {{n-1}}

En alternativ præsentation, hvor $μ = τσ$ i generatorsystemet fra den foregående præsentation, er:

{\ displaystyle \ left \ langle \ sigma, \ mu \ mid \ sigma ^ {2}, \ mu ^ {2}, (\ mu \ sigma) ^ {n} \ right \ rangle,}

dvs. generatorer er $σ$ , $μ$ og de eneste forhold, de tilfredsstiller, skyldes:

{\ displaystyle \ sigma ^ {2} = 1, \ quad \ mu ^ {2} = 1 \ quad {\ text {and}} \ quad (\ mu \ sigma) ^ {n} = 1.}

Vi ser således, at dihedralgruppen indrømmer et system med to forskellige generatorer, begge af rækkefølge 2. Dihedralgrupper er de eneste endelige grupper, der besidder denne egenskab.

Den tosidede gruppe af rækkefølge 2 n kan også ses som gruppen af automatiseringer i grafen, der kun består af en cyklus med n hjørner (hvis n ≥ 3).

Geometrisk fortolkning

Vi kan definere en repræsentation af den dihedrale gruppe D 2n således :

{\ displaystyle \ varphi: D_ {2n} \ to \ mathrm {GL} _ {2} (\ mathbb {R})}

{\ text {with}} \ quad \ varphi (\ tau) = {\ begin {pmatrix} \ cos (2 \ pi / n) & - \ sin (2 \ pi / n) \\\ sin (2 \ pi / n) & \ cos (2 \ pi / n) \ end {pmatrix}} \ quad {\ text {et}} \ quad \ varphi (\ sigma) = {\ begin {pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \ end {pmatrix}}.

Denne repræsentation er faktisk med værdier i den ortogonale gruppe O (2, R ).

Vi erkender, at matrixen $φ (τ)$ er en rotationsmatrix med vinkel $2π / n,$ og matricen $φ (σ) er$ en refleksionsmatrix. Disse transformationer efterlader effektivt en regelmæssig polygon centreret ved oprindelsen med n sider invariante .

Cyklusgraf

De grafer af cyklusser af dihedrale grupper består af en n- element cyklus og 2-element cyklusser. Det mørke toppunkt i cyklusgrafene nedenfor for forskellige dihedrale grupper repræsenterer identitetselementet, og de andre hjørner er de andre elementer i gruppen. En cyklus består af successive kræfter fra det ene eller det andet element, der er forbundet med identitetselementet .


D 4	D 6	D 8	D 10	D 12	D 14

Ejendomme

Undergruppen $⟨τ⟩$ = { $1, τ, τ 2 ,\dots, τ n -1$ } af drejningerne er normal og jævn, hvis n ≥ 3, karakteristisk .

Nogle egenskaber af dihedrale grupper D 2 n med n ≥ 3 afhænger af pariteten af n . De kan ofte let udledes af denne gruppes geometriske repræsentation.

Den centrum Z ( D 2 n ), i D 2 n kun består af den identitet, hvis n er ulige, men hvis n er endda centret har to elementer: identiteten og elementet $τ$ n / 2 , således at kvotienten gruppe D 2 n / Z ( D 2 n ) er isomorf med D 2 n, hvis n er ulige, og til D n, hvis n er jævn. Derfor er en dihedral gruppe nilpotent, hvis og kun hvis dens rækkefølge er en styrke på to, og nilpotensklassen i den tohedede gruppe af orden 2 r , med r > 1, er lig med r - 1.
Sub- gruppe derivat af D 2 n er $⟨[σ, τ] =⟩ ⟨τ 2 ⟩$ (lig med $⟨τ⟩$ hvis n er ulige). Gruppen D 2 n kan derfor løses i klasse ≤ 2 (i klasse 2, hvis n ≥ 3 og i klasse 1, hvis n = 1 eller 2). Dihedrale grupper illustrerer således det faktum, at nilpotenseklassen i en nilpotent gruppe ikke kan øges i henhold til dens opløselighedsklasse (mens dens opløselighedsklasse kan øges i henhold til dens nilpotensklasse ).
For ulige n , gruppen D 4 n er isomorf til den direkte produkt af D 2 n og en cyklisk gruppe af orden 2. Denne isomorfi er givet ved: ${\ displaystyle D_ {4n} \ til D_ {2n} \ gange C_ {2}, \ quad \ sigma ^ {h} \ tau ^ {k + \ epsilon n} \ mapsto (\ sigma ^ {h} \ tau ^ {k}, \ epsilon)}$ h og defineres modulo 2, og k modulo n . Generatorerne for de tosidede grupper vælges som i første del af artiklen. $\ epsilon$
I D 2 n er alle refleksioner konjugeret fra hinanden i det tilfælde, hvor n er ulige, men de er indeholdt i to konjugeringsklasser, hvis n er jævn.
Hvis m kløfter n , derefter D 2 n har n / m undergrupper af type D 2 m og en cyklisk undergruppe C m . Derfor bør det samlede antal undergrupper af D 2 n ( n ≥ 1), er lig med d ( n ) + σ ( n ), hvor d ( n ) er antallet af positive divisorer af n og σ ( n ) er den summen af de positive delere af n (se liste over små grupper for tilfælde n ≤ 8).

Repræsentationer

Hvis n er ulige, gruppen D 2 n indrømmer 2 komplekse irreducible repræsentationer af grad 1:

\ sigma \ mapsto (-1) ^ {k} \; \ tau \ mapsto 1 \; k \ in \ {0,1 \}.

På den anden side, hvis n er jævn, er der 4 irreducerbare repræsentationer af grad 1:

\ sigma \ mapsto (-1) ^ {k} \; \ tau \ mapsto (-1) ^ {h} \; k \ in \ {0.1 \} \; h \ in \ {0.1 \}.

De andre irreducerbare repræsentationer er alle af grad 2; de er i antal, hvis $n$ er ulige, henholdsvis hvis $n$ er lige. De kan defineres som følger: ${\ frac {n-1} 2}$ ${\ frac n2} -1$

\ tau \ mapsto {\ begin {pmatrix} \ omega ^ {h} & ​​0 \\ 0 & \ omega ^ {{- h}} \ end {pmatrix}} \ quad {\ mbox {og}} \ quad \ sigma \ mapsto {\ begin {pmatrix} 0 & -1 \\ - 1 & 0 \ end {pmatrix}}

hvor $ω$ betegner en n - primitiv rod af enhed , og h krydser heltalene mellem 1 og n - 1. Vi kan kontrollere, at to sådanne repræsentationer kun er isomorfe for h 1 og h 2, der tilfredsstiller h 1 + h 2 = n . Vi opnår derefter det annoncerede antal ikke-isomorfe grad 2 irreducerbare repræsentationer, og derfor alle de irreducerbare repræsentationer af den dihedrale gruppe ved formlen, der forbinder antallet af irreducerbare repræsentationer til rækkefølgen af gruppen .

Automorfismer

Den gruppe af automorphisms af D 2 = Z 2 er triviel . At af Klein gruppe D 4 = Z 2 × Z 2 er den ikke-abelsk gruppe af orden 6 : GL (2, F 2 ) ≃ S 3 ≃ D 6 (en) .

For n ≥ 3, gruppen Aut ( D 2 n ) af automorphisms af D 2 n = Z n ⋊ Z 2 er holomorph Hol ( Z n ) = Z n ⋊Aut ( Z n ) ≃ Z n ⋊ Z× naf den karakteristiske undergruppe Z n . Faktisk, lad os fastsætte et element $σ$ af D 2 n \ Z n derefter for nogen automorfi f af D 2 n , lad h f betegner elementet $σ$ f ( $σ$ ) og k f begrænsning af f til Z n . Vi verificerer derefter, at kortet f ↦ ( h f , k f ) er en isomorfisme fra Aut ( D 2 n ) til Z n ⋊Aut ( Z n ).

For n ≠ 2 er gruppen Aut ( D 2 n ) derfor af orden n $φ$ ( n ), hvor $φ$ er Euler-indikatoren .

Den undergruppe af indvendige automorphisms er isomorf til D 2 n / Z ( D 2 n ), derfor ( se ovenfor ) til D 2 n hvis n er ulige og D n hvis n er lige.

De eneste værdier af n , for hvilke de to grupper Aut ( D 2 n ), og D 2 n har den samme rækkefølge, dvs. for hvilke $φ$ ( n ) = 2, er n = 3, 4 og 6. For disse tre værdier, Aut ( D 2 n ) ≃ Z n ⋊ Z×
n≃ Z n ⋊ Z 2 = D 2 n .

Uendelig dihedral gruppe

Den uendelige dihedrale gruppe (in) D ∞ defineres som den generaliserede dihedrale gruppe ( se nedenfor ) i den uendelige cykliske gruppe C ∞ = Z :

{\ displaystyle D _ {\ infty}: = Dih (\ mathbb {Z}) = \ mathbb {Z} \ rtimes C_ {2} = \ mathrm {Hol} (\ mathbb {Z}) = \ left \ langle \ sigma, \ tau \ mid \ sigma ^ {2}, \ sigma \ tau \ sigma ^ {- 1} \ tau \ right \ rangle.}

Ved at indstille $μ = τσ$ ser vi, at det er isomorft til det frie produkt C 2 * C 2 :

{\ displaystyle D _ {\ infty} = \ left \ langle \ sigma, \ mu \ mid \ sigma ^ {2}, \ mu ^ {2} \ right \ rangle.}

Dens centrum er trivielt.

Vi kan fortolke D ∞ som gruppen af automatiseringer i grafen, der består af en uendelig sti i begge retninger. Ækvivalent, er gruppen af isometrier af Z .

Aut ( D ∞ ) er lig med D ∞ ⋊ Z 2 , hvor den normale undergruppe D ∞ består af indvendige automorphisms og hvor virkningen af Z 2 på D ∞ = C 2 * C 2 består i at udveksle de to faktorer. Derfor :

{\ displaystyle Aut (D _ {\ infty}) = \ venstre \ langle \ sigma, \ mu, \ nu \ mid \ sigma ^ {2}, \ mu ^ {2}, \ nu ^ {2}, \ nu \ sigma \ nu \ mu ^ {- 1} \ højre \ rangle = \ venstre \ langle \ sigma, \ nu \ mid \ sigma ^ {2}, \ nu ^ {2} \ højre \ rangle \ simeq D _ {\ infty}.}

Generaliseret dihedral gruppe

For enhver abelsk gruppe H , den generaliserede to-plans gruppe H , betegnet Dih ( H ), er den semi-direkte produkt af H ved C 2 , virkningen af C 2 på H er den inversion, dvs.

{\ mathrm {Dih}} (H) = H \ rtimes _ {\ varphi} C_ {2},

hvor φ (0) er identitetskortet og φ (1) elementinversionen.

Vi således opnå, hvis H og C 2 er begge noteret additivt:

( h 1 , 0) * ( h 2 , t 2 ) = ( h 1 + h 2 , t 2 ) ( h 1 , 1) * ( h 2 , t 2 ) = ( h 1 - h 2 , 1 + t 2 )

for alle h 1 , h 2 i H og t 2 i C 2 .

(Hvis C 2 er betegnet med multiplikation kan disse to formler sammenfattes i ( h 1 , t 1 ) * ( h 2 , t 2 ) = ( h 1 + t 1 h 2 , t 1 t 2 ).)

Undergruppen af Dih ( H ), der omfatter i form af elementerne ( h , 0) er en normal undergruppe af indeks 2 isomorf til H . Med hensyn til elementerne i formen ( h , 1) er hver sin egen omvendte.

De konjugeringspartnere klasser er

sætene {( h , 0), (- h , 0)};
sætene {( h + k + k , 1) | k i H }.

Således danner de tilsvarende elementer ( m , 0) for enhver undergruppe M af H også en normal undergruppe af Dih ( H ) isomorf til M , og vi har:

Dih ( H ) / M = Dih ( H / M ).

Eksempler:

D 2 n = Dih ( C n ).
- Hvis n er jævn, er der to sæt af formen {( h + k + k , 1) | k i H }, og hver af dem genererer en normal undergruppe isomorf til D n . Disse er to undergrupper af gruppen af isometrier af en regelmæssig n- væk, isomorf men tydelig: begge indeholder de samme rotationer, men i en af de to undergrupper fikserer hver refleksion to af hjørnerne, mens refleksionerne i den anden ikke ordne ethvert topmøde.
- Hvis n er ulige, er der kun ét sæt af formularen {( h + k + k , 1) | k i H }.
D ∞ = Dih ( Z ); der er to sæt af formularen {( h + k + k , 1) | k i H }, og hver af dem genererer en undergruppe isomorf til D ∞ . Disse er to undergrupper af gruppen af isometrier af Z , isomorfe, men adskilte: begge indeholder de samme oversættelser (med lige hele tal), men i en af de to undergrupper har hver refleksion et helt fast punkt (dets centrum), mens det i andet er refleksionerne uden et heltal fast punkt (deres centre er halvtalt ).
DIH (S 1 ) er isomorf til den ortogonale gruppe O (2, R ) af isometrier af euklidisk plan som løse oprindelse eller, ækvivalent, til gruppen af isometrier af cirklen . Drejningerne danner gruppen SO (2, R ), isomorf til tilsætningsstoffet gruppe R / Z , og også isomorf til det multiplikative gruppe S 1 lig med enhedscirklen (bestående af komplekse tal af modulus 1). I sidstnævnte tilfælde er en af refleksionerne (som sammen med drejningerne genererer hele gruppen) den komplekse bøjning . De korrekte normale undergrupper indeholder kun rotationer. De adskilte normale undergrupper er for hvert heltal n , en cyklisk undergruppe af orden n , og kvotienterne er isomorf til den samme gruppe Dih (S 1 ).
DIH ( R n ) er gruppen af centrale oversættelser og symmetrier R n (som, hvis n > 1 udtømmer ikke alle isometrier).
DIH ( H ) for hver undergruppe R n , for eksempel en diskret gruppe ; i dette tilfælde, hvis det fungerer i n retningerne, er det et netværk .
- De adskilte undergrupper af Dih ( R 2 ), der indeholder oversættelser i kun en retning er frieze grupper af typerne ∞∞ og 22∞.
- De, der indeholder oversættelser i to retninger, er tapetgrupperne af typerne p1 og p2.
- Undergrupper diskrete Dih ( R 3 ), der indeholder oversættelser på tre retninger er rummet grupper af retikulære trikline systemer .

Dih ( H ) er abelsk, hvis og kun hvis det semi-direkte produkt er direkte, dvs. hvis og kun hvis hvert element af H er sit eget omvendte, dvs. H er en elementær abelisk 2-gruppe (en) : Dih ( C 2 k ) = C 2 k +1 .

Noter og referencer

(fr) Denne artikel er helt eller delvist taget fra Wikipedia-artiklen på engelsk med titlen " Dihedral group " ( se listen over forfattere ) .

Denne notation ser ud til at være blevet udbredt. (en) Joseph J. Rotman (en) , En introduktion til teorien om grupper [ detaljer om udgaver ], 1999, s. 68 ( set på Google Bøger ), siges at have forladt D n til fordel for D 2 n . J. Delcourt, Theorie des grupper , 2 nd ed., Dunod, udgave 2012, s. 27, bruger betegnelsen D 2 n .
Dette er tilfældet med (en) DJS Robinson (de) , A Course in the Theory of Groups , Springer,1996, 2 nd ed. ( læs online ) , s. 6.
Se (in) Mr. Aschbacher , Finite Group Theory , Cambridge University Press , 2000, s. 141, forhåndsvisning på Google Bøger .
Rotman 1999 , teori. 3.32, s. 68.
Rotman 1999 , øvelse. 5.41, s. 118.
(in) C. Charles Richard Leedham-Green (in) og Susan R. McKay, The Structure of Groups of Prime Power Order , Oxford University Press, 2002 Horn. 3.3.4, (iii), s. 60-61, forhåndsvisning på Google Bøger .
Se f.eks Semi-direkte produkt # Afledt gruppe , eller dette problem rettet på Wikiversity .
Robinson 1996 , træning. 5.1.9, s. 128.
(en) F. Rotmaler, “ Automorfisme grupper af dihedrale grupper ” , ukrainsk matematisk tidsskrift , bind. 29, nr . 21977, s. 162-167 ( DOI 10.1007 / BF01089242 ).
Robinson 1996 , s. 51.

Se også

Bibliografi

Jean-Pierre Serre , Lineære repræsentationer af begrænsede grupper [ detaljerede udgaver ]
Bernard Charles og Denis Allouch, General Algebra , Paris, PUF, 1984

Relaterede artikler