En gruppe

I matematik er en simpel gruppe en ikke- triviel gruppe , der ikke har nogen forskellig undergruppe bortset fra sig selv og dens trivielle undergruppe.

Definition

En gruppe siges at være enkel, hvis den har nøjagtigt to fremtrædende undergrupper: ( som det neutrale element i gruppen) og sig selv. $(G, *)$ ${\ displaystyle (\ {e \}, *)}$ $e$ $(G, *)$

Eksempler

Nogle eksempler på enkle grupper:

De eneste enkle abeliske grupper er de primære ordens cykliske grupper . Faktisk er enhver undergruppe af en abelsk gruppe normal, og en ikke triviel gruppe, som ikke har nogen anden undergruppe end sig selv, og dens trivielle undergruppe er cyklisk af første orden.

Demonstration

Lad G være en ikke-triviel gruppe, som ikke har nogen anden undergruppe end sig selv og dens trivielle undergruppe. Lad g være et andet element af G end det neutrale; undergruppen genereret af g er ikke-triviel, derfor lig med G , så G er monogen . Desuden er G endelig (ellers ville den være isomorf til ℤ og ville indeholde den strenge undergruppe 2ℤ). G er derfor cyklisk af endelig rækkefølge n . For enhver divisor d af n har G en undergruppe af rækkefølge d , så d er lig med 1 eller n . Således er n nødvendigvis primær.

Gruppen SO 3 (ℝ) af specielle ortogonale matricer i rækkefølge 3 med reelle koefficienter er enkel. Mere generelt er grupperne SO n (ℝ) enkle, hvis og kun hvis n er ulige. For lige n indeholder gruppen SO n (ℝ) den normale undergruppe {Id, -Id} og er ikke enkel. Kvotientgruppen SO n (ℝ) / {Id, -Id} er enkel, hvis og kun hvis lige parti n er større end eller lig med 6. Gruppen SO 4 (ℝ) / {Id, -Id} er ikke enkel , som i sig selv er isomorf til produktet af SO 3 (ℝ).
For n større end eller lig med 5 er den vekslende gruppe på elementer enkel. Dette resultat er grundlaget for teorien om radikal opløsning . $ikke$ $År}$
Mange grupper af Lie-typen er enkle. Dette er for eksempel tilfældet med den enkle gruppe af rækkefølge 168, som kan ses som den lineære gruppe i et vektorrum med dimension 3 på det endelige felt med to elementer.
De sporadiske grupper .

Interesse

Udtrykket "enkel" betyder, at sådanne grupper på en måde ikke er "reducerbare" til en mere håndterbar gruppe. Interessen for en fremtrædende ikke-triviel undergruppe af en gruppe er ofte at tillade konstruktionen af kvotientgruppen . Undersøgelsen af reduceres derefter til den af og . Denne konstruktion er ikke mulig for en simpel gruppe, og vi kan derfor ikke reducere vores undersøgelse til en kardinal kvotientgruppe, der er mindre end den. $H$ $G$ $G / H$ $G$ $H$ $G / H$

Enhver simpel ikke- abelsk gruppe er uløselig .

Endelige enkle grupper er vigtige, fordi de kan ses som byggestenene for alle endelige grupper , på samme måde som alle heltal kan nedbrydes til produktet af primtal .

Den klassificering af finite simple grupper blev afsluttet i 1982.

Feit-Thompson sætning

Feit-Thompson-sætningen siger, at enhver begrænset gruppe af ulige orden er løselige . Det følger heraf, at enhver ikke-abelsk enkel endelig gruppe er af ensartet orden og derfor indeholder mindst en involution (det vil sige et element i orden 2).

Noter og referencer

(i) Joseph J. Rotman (i) , En introduktion til teorien om grupper [ detail udgaver ], 4 th udg., 1999-udgaven, s. 39 .
N. Bourbaki , Elementer i matematik , Algebra , kap. 1, 1970, s. 36.
D. Perrin, algebraforløb , ellipser,1996

Se også