To-kropsproblem

Den to-organ problem er en vigtig teoretisk model i mekanik, hvad enten klassisk eller kvante, hvori bevægelserne af to organer ligestillet med væsentlige punkter i gensidig ( konservativ ) interaktion undersøges , idet det globale system betragtes som isoleret. I denne artikel vil kun to-kropsproblemet i klassisk mekanik blive behandlet (se f.eks. Artiklen hydrogenatom for et eksempel i kvantemekanik ), først i det generelle tilfælde af et attraktivt potentiale, derefter i det meget vigtige særlige tilfælde, hvor de to kroppe er i gravitationsinteraktion eller kepleriansk bevægelse , som er et vigtigt emne for himmelsk mekanik .

Betydningen af dette problem kommer for det første fra dets nøjagtigt integrerbare karakter, i modsætning til problemet med tre kroppe og mere . Faktisk kan problemet med to organer, som har a priori seks grader af frihed, faktisk reduceres til løsning af et problem med et enkelt organ med kun en grad af frihed.

Desuden gør de opnåede resultater det muligt at redegøre for banerne for planeterne i solsystemet (i den heliocentriske referenceramme) såvel som for deres naturlige eller kunstige satellitter, i det mindste som en første tilnærmelse. Man finder derefter de love Kepler , fremhævet af en analyse af astronomiske observationer fra XVII th århundrede. Således er den forventede situation langt fra at være rent akademisk. Den første løsning på dette problem blev afsløret af Newton , der anførte den grundlæggende lov for klassisk mekanik: resultatet meddeles i proposition 57 til 65 i hans Principia .

Formålet med denne artikel er præsentationen og den generelle behandling af to-kropsproblemet med demonstration af Keplers love og den detaljerede undersøgelse af de forskellige typer mulige baner. Spørgsmålet om bestemmelsen af kredsløbselementerne såvel som ligningerne for Kepler og Barker og deres anvendelser er genstand for separate artikler (se artiklerne Keplerian bevægelse , Keplers ligning og kredsløbselementer ).

Planlagt situation og vurderinger

De to-organ problem er, at af to organer i masse m 1 og m 2 , sidestilles med væsentlige punkter M 1 og M 2 henholdsvis i indbyrdes vekselvirkning. Den kraft, der udøves af M 1 på M 2 stammer fra et attraktivt potentiale V ( r ) og bemærkes : på grund af Newtons tredje lov (eller princippet om gensidige handlinger) er det indlysende, at . $\ overrightarrow {F_ {12}}$ $\ overrightarrow {F_ {21}} = - \ overrightarrow {F_ {12}}$

Det samlede system anses for at være isoleret, det er at studere bevægelsen af M 1 og M 2 i forhold til en referenceramme ( R ) antages galilæer , den skelsættende associeret rum har sin oprindelse O .

De følgende notationer vedtages senere: , , og . $\ overrightarrow {r_ {1}} = \ overrightarrow {OM_ {1}}$ $\ overrightarrow {r_ {2}} = \ overrightarrow {OM_ {2}}$ $\ overrightarrow {r} \ stackrel {\ text {def}} {=} \ overrightarrow {r_ {12}} = \ overrightarrow {M_ {1} M_ {2}} = \ overrightarrow {r_2} - \ overrightarrow {r_1}$

Bevægelsesligningerne i ( R ) for hvert af legemerne skrives derefter ved hjælp af den grundlæggende relation mellem dynamik :

\ begin {cases} m_ {1} \ ddot {\ overrightarrow {{r_ {1}}}} = \ overrightarrow {F_ {21}} = - \ overrightarrow {F_ {12}} \\ m_ {2} \ ddot {\ overrightarrow {{r_ {2}}}} = \ overrightarrow {F_ {12}} \ end {cases}

(1).

Strategien til løsning af problemet er så følgende: først og fremmest at studere bevægelsen af et enkelt legeme ved at introducere begrebet fiktiv partikel ; kom så ned til et endimensionelt problem, der er let løst.

Reduktion til et problem for en krop

Det faktum, at systemet er isoleret, gør det muligt at adskille den trivielle bevægelse af dets inertiecenter fra kroppens i forhold til den anden og faktisk komme tilbage til studiet af bevægelsen af en enkelt partikel, kaldet fiktiv .

Bevaring af momentum - barycentrisk referenceramme

Tilføjelsen af de to bevægelsesligninger giver straks:

m_1 \ ddot {\ overrightarrow {r_1}} + m_2 \ ddot {\ overrightarrow {r_2}} = \ left (m_ {1} + m_ {2} \ right) \ ddot {\ overrightarrow {R_ {C}}} = \ overrightarrow {0}

, med C massepunkt for systemet, med positionsvektor .

\ overrightarrow {R_ {C}} = \ overrightarrow {OC} = \ frac {m_1 \ overrightarrow {r_1} + m_2 \ overrightarrow {r_2}} {m_ {1} + m_ {2}}

Derfor, og som forventet for et isoleret system, er bevægelsen af centrum af masse C i ( R ) retlinet og ensartet (eller ved grænsen, i hvile), og det er muligt at placere sig i referencerammen for massemidtpunkt ( R c ) (som vil være galilæer skyldes den retliniede og ensartet bevægelse af legemet, hvortil den er bundet, ( R ) er antaget at være galilæisk), kaldet barycentric , at omskrive de foregående bevægelsesligninger.

Introduktion af begrebet fiktiv partikel

Ved at stille er det muligt at skrive: $\ overrightarrow {r} \ stackrel {\ text {def}} {=} \ overrightarrow {r_2} - \ overrightarrow {r_1}$

\ begin {cases} \ overrightarrow {r_1} = \ overrightarrow {R} _C - \ frac {m_2} {m_1 + m_2} \ overrightarrow {r} \\ \ overrightarrow {r_2} = \ overrightarrow {R} _C + \ frac {m_1} {m_1 + m_2} \ overrightarrow {r} \ end {cases}

(2).

Det er tilstrækkeligt at tage forskellen mellem de to bevægelsesligninger (1) og tage hensyn til den galileiske karakter af den barycentriske referenceramme, som indebærer at opnå: $\ ddot {\ vec {R} _c} = \ vec {0}$

\ ddot {\ vec {r}} = \ venstre (\ frac {1} {m_1} + \ frac {1} {m_2} \ højre) \ vec {F} _ {12} = \ venstre (\ frac {m_1 + m_2} {m_1 m_2} \ højre) \ overrightarrow {F_ {12}}

Denne ligning er faktisk bevægelsen af en enkelt krop med tre frihedsgrader:

\ mu \ ddot {\ overrightarrow {r}} = \ overrightarrow {F}

med , reduceret systemmasse og . $\ mu \ stackrel {\ text {def}} {=} \ frac {m_ {1} m_ {2}} {m_1 + m_2}$ $\ overrightarrow {F} = \ overrightarrow {F_ {12}}$

I barycentric referenceramme problemet er derfor reduceret til bevægelsen af et såkaldt fiktiv partikel , af masse μ og med radius-vektor , baner for de organer M 1 og M 2 er udledt ved homothety, ifølge det foregående formler til . $\ overrightarrow {r}$ $\ vec {r} _ {1,2}$

Det skal bemærkes, at i det særlige vigtige tilfælde, hvor et af legemerne har en masse, der er meget større end den anden (centrallegeme, generelt en stjerne eller en "stor" planet), for eksempel hvis systemets massecenter er praktisk talt flettet med denne centrale krop, og den reducerede masse er praktisk talt lig med den anden krops . Bemærk dog, at for bevægelse af månen , som i solsystemet har den højeste relative masse af en satellit sammenlignet med dens planet (1/81 Mt), er denne tilnærmelse relativt upræcis. $m_1 \ gg m_2$ $\ mu \ simeq m_2$

Hovedintegral af vinkelmomentet - Baneens planhed - Områdets lov

I det meget vigtige særlige tilfælde af en central kraft, har vi med , sætningen af vinkelmoment i centrum af kraft bemærket O er skrevet: $\ overrightarrow {F} = F (r) \ overrightarrow {e_r}$ $\ overrightarrow {e_r} \ stackrel {\ text {def}} {=} \ dfrac {\ overrightarrow {r}} {r}$

\ dot {\ overrightarrow {L}} = \ overrightarrow {r} \ times \ overrightarrow {F} = \ overrightarrow {0}

hvilket indebærer . $\ overrightarrow {L} = \ overrightarrow {r} \ times \ left (\ mu \ dot {\ overrightarrow {r}} \ right) = \ overrightarrow {\ mathrm {cte}}$

Fysisk betyder det, at positionsvektoren og hastighedsvektoren for den fiktive partikel til enhver tid er vinkelret på en konstant vektor: M 's bane er derfor plan , problemet er derfor med to frihedsgrader.

I banens plan, defineret som det, der genereres af og , er det fornuftigt at placere sig selv i cylindropolære koordinater af aksen i retning Oz af , med θ vinkel mellem og , den kommer: $\ overrightarrow {r} \ left (t = 0 \ right) = \ overrightarrow {r} _0$ $\ dot {\ overrightarrow {r}} \ left (t = 0 \ right) = \ overrightarrow {v} _0$ $\ overrightarrow {L} = L \ overrightarrow {e_z}$ $\ overrightarrow {r} _0$ $\ overrightarrow {r}$

\ overrightarrow {L} = \ left (r \ overrightarrow {e_r} \ right) \ times \ mu \ left (\ dot {r} \ overrightarrow {e_r} + \ left (r \ dot {\ theta} \ right) \ overrightarrow {e_ \ theta} \ right) = \ mu r ^ 2 \ dot {\ theta} \ overrightarrow {e_z}

som resultat:

\ mu r ^ 2 \ dot {\ theta} = L = \ mathrm {cte}

(3).

Nu er det elementære område fejet af strålevektoren under d t givet af: $\ overrightarrow {r}$

\ mathrm {d} \ mathcal {A} = \ dfrac {1} {2} r ^ 2 \ mathrm {d} \ theta

Den areolære hastighed er derfor konstant for den fiktive partikel (det er det samme ved homotitet for virkelige kroppe):

\ dot {\ mathcal {A}} = \ frac {\ mathrm {d} \ mathcal {A}} {\ mathrm {d} t} = \ frac {1} {2} C = \ mathrm {cte}

med området konstant . $C \ stackrel {\ text {def}} {=} \ frac {L} {\ mu}$

Som et resultat fejer vektorstrålen for hver partikel lige store områder på lige tid. Denne egenskab er faktisk gyldig for enhver bevægelse med en central styrke. Fra udtrykket af C er det let at se, at den fiktive partikels vinkelhastighed er omvendt proportional med afstanden r og derfor er maksimal, når sidstnævnte er minimal , dvs. ved periastronen i den kepleriske bevægelse - jf. infra.

Bemærkninger:

Ensartet cirkulær bevægelse er et simpelt tilfælde af bevægelse, der adlyder områdeloven;
Udtrykket af L antyder, at den øjeblikkelige vinkelhastighed aldrig ændrer tegn langs banen: på en måde drejer den fiktive partikel, og derfor drejer de to "rigtige" kroppe "altid" i "samme retning" på deres baner; ${\ dot {\ theta}}$
Hvis L = 0, er bevægelsen retlinet: dette særlige tilfælde (kaldet degenereret) ekskluderes efterfølgende.

Hovedintegral af energieffektivt potentiale

Bevægelsen er konservativ, da kraften stammer fra en potentiel energi V ( r ), den samlede energi er den første integral af bevægelsen:

H = \ frac {1} {2} \ mu \ dot {\ overrightarrow {r}} ^ 2 + V (r) = \ mathrm {cte}

, eller , eller ved at bruge udtrykket for værdien af vinkelmomentet L :

\ dot {\ overrightarrow {r}} ^ 2 = \ dot {r} ^ 2 + r ^ 2 \ dot {\ theta} ^ 2

H = \ frac {1} {2} \ mu \ dot {r} ^ 2 + U _ {\ text {eff}} \ left (r \ right)

, (4),

med effektivt potentiale . $U _ {\ text {eff}} \ left (r \ right) \ stackrel {\ text {def}} {=} \ frac {L ^ 2} {2 \ mu r ^ 2} + V (r)$

Endelig kommer problemet ned til undersøgelsen af bevægelsen af en enkelt krop med en enkelt grad af frihed r . Dette er altid gyldigt i tilfælde af to-kropsproblemet, uanset interaktionspotentialets art.

Analytisk opløsning

Ifølge (4), er det muligt at udtrykke den radiale hastighed , følger det, at: . $\ prik {r}$ $\ dot {r} = \ frac {\ mathrm {d} r} {\ mathrm {d} t} = \ sqrt {\ frac {2} {\ mu} \ left (HV (r) \ right) - \ frac {L ^ 2} {\ mu ^ 2r ^ 2}}$

Det er da muligt at adskille de variabler, og integrere mellem to tidspunkter t 0 og t , som svarer henholdsvis de radiale positioner r 0 og r , til opnåelse af:

t-t_0 = \ int_ {r_0} ^ {r} \ frac {\ mathrm {d} r '} {\ sqrt {\ frac {2} {\ mu} \ left (HV (r') \ right) - \ frac {L ^ 2} {\ mu ^ 2r '^ 2}}}

, (4bis).

Dette svarer implicit til timeligningen r ( t ).

Under hensyntagen til (4) er det så muligt at opnå et lignende udtryk for θ :

{\ displaystyle \ theta - \ theta _ {0} = \ int _ {r_ {0}} ^ {r} {\ frac {{\ frac {L} {r '^ {2}}} \ mathrm {d} r '} {\ sqrt {2 \ mu \ left (HV (r') \ right) - {\ frac {L ^ {2}} {r '^ {2}}}}}}

, (4ter).

Disse to udtryk er i praksis vanskelige at bruge. De tillader dog en kvalitativ diskussion af arten af de mulige bevægelser.

Kvalitativ undersøgelse af mulige bevægelser

I udtryk for svarer udtrykket , altid positivt, til en centrifugalbarriere . Det potentielle V ( r ), der antages: $U _ {\ text {eff}} \ venstre (r \ højre)$ $\ frac {L ^ 2} {2 \ mu r ^ 2}$

attraktivt : vi har derfor V ( r ) monotont stigende for alle r ;
regelmæssig i oprindelse: det vil sige , og derfor udtrykket i en / r 2 dominerer, når . $\ lim_ {r \ til 0 ^ +} r ^ 2 \ venstre | V (r) \ højre | = 0$ $r \ til 0 ^ +$

Selvom det ikke er væsentligt i sidstnævnte , antages V ( r ) også at være afgrænset ved uendelig, enten med et fornuftigt valg af potentialet . Ved konvention V ( r ) <0. $\ lim_ {r \ to \ infty} V (r) = 0 ^ +$

Med disse betingelser, der gælder for de sædvanlige fysiske potentialer, præsenterer det effektive potentiale et unikt absolut minimum, bemærket for sådan, at og derfor har et potentielt bassin (jf. Figur modsat, med et newtonsk potentiale). ${\ displaystyle -U _ {\ min} <0}$ $r = r_m$ $\ left. \ frac {\ mathrm {d} U _ {\ text {eff}}} {\ mathrm {d} r} \ right | _ {r = r_m} = 0$

Desuden var det ifølge H 's udtryk : værdierne for r fik lov til at være ligesom . ${\ displaystyle H-U _ {\ text {eff}} (r) = {\ frac {1} {2}} \ mu {\ dot {r}} ^ {2} \ geqslant 0}$ ${\ displaystyle U _ {\ text {eff}} (r) \ leqslant H}$

Det er derfor muligt at kvalitativt overveje følgende tilfælde ( L er ikke-nul):

Samlede energi H > 0: siden når denne betingelse er opfyldt som helst værdi af med r min minimum tilgang sådan afstand, at . Den fiktive partikel kan derfor gå til uendelig med en positiv radial hastighed, lig med . $U _ {\ text {eff}} \ venstre (r \ højre) \ longrightarrow 0 ^ -$ $r \ til \ infty$ ${\ displaystyle r \ geqslant r _ {\ min}}$ ${\ displaystyle U _ {\ text {eff}} \ left (r _ {\ min} \ right) = H}$ $\ dot {r} _ {max} = \ sqrt {\ dfrac {2H} {\ mu}}$

Samlede energiforbrug H = 0: begrænsende tilfælde, hvor partiklen kan gå til uendelig, men med nul radial hastighed, ifølge det foregående formel, den mindste tilnærmelsesafstand er således, at , dvs. . ${\ displaystyle U _ {\ text {eff}} \ left (r _ {\ min} \ right) = 0}$ ${\ displaystyle V \ left (r _ {\ min} \ right) = - {\ frac {L ^ {2}} {2 \ mu r_ {min} ^ {2}}}}$

Total energi : i dette tilfælde er partiklen begrænset i et nøjagtigt område af rummet mellem de to værdier af r, såsom (stoppunkter). Den radiale hastighed annulleres ved hvert af disse punkter, men dette er ikke tilfældet med den øjeblikkelige vinkelhastighed (jf. Udtryk for H og bemærkninger om det). ${\ displaystyle 0> H> -U _ {\ min}}$ ${\ displaystyle U _ {\ text {eff}} \ left (r _ {\ min, \ max} \ right) = H <0}$

På grund af indeslutning af bevægelsen, varigheden Δ t for at r variere fra r min til r max kan let opnås ved anvendelse af den integrerende ekspression giver t . Da Hamilton-tidsvarianten indebærer, at denne varighed vil være den samme for at gå fra r max til r min , er den radiale bevægelse derfor periodisk med periode T givet af:

{\ displaystyle T = 2 \ int _ {r _ {\ min}} ^ {r _ {\ max}} {\ frac {\ mathrm {d} r} {\ sqrt {{\ frac {2} {\ mu }} \ left (HV (r) \ right) - {\ frac {L ^ {2}} {\ mu ^ {2} r ^ {2}}}}}}

og i en radial periode, hvor vinklen θ varierer med størrelsen Δ θ , givet ved det integrerede udtryk for θ :

{\ displaystyle \ Delta \ theta = 2 \ int _ {r _ {\ text {min}}} ^ {r _ {\ text {max}}} {\ frac {{\ frac {L} {r ^ {2 }}} \ mathrm {d} r} {\ sqrt {2 \ mu \ left (HV (r) \ right) - {\ frac {L ^ {2}} {r ^ {2}}}}}}

. Det er dog vigtigt at understrege, at indespærring af bevægelsen på ingen måde indebærer, at mobilens bane er en lukket kurve . Til det ville det faktisk kun være nødvendigt med m og n heltal. I dette tilfælde og kun i dette tilfælde vender vektorradius tilbage til sin oprindelige værdi efter n "radiale" perioder T , da den vil have "roteret" med 2 mp : nT vil faktisk være bevægelsesperioden og funktionen. θ ( t ). En sådan situation svarer til radiale og vinkelperioder, der er værdifulde , og det er en nødvendig og tilstrækkelig betingelse for, at den afgrænsede bevægelse finder sted i henhold til en lukket kurve. Denne betingelse opfyldes kun af det newtonske potentiale ved 1 / r, og det isotropiske rumlige harmoniske potentiale V ( r ) = kr 2 (dette sidste tilfælde vil ikke blive overvejet yderligere): dette resultat udgør Bertrands sætning .

\ Delta \ theta = \ frac {2 \ pi m} {n}

\ overrightarrow {r}

Total energi : dette er grænsetilfældet, hvor den eneste tilladte værdi af r er r m , og i dette tilfælde er banen en cirkel af denne radius. ${\ displaystyle H = -U _ {\ min} <0}$

Total energi : disse værdier af r er forbudte og svarer ikke til noget fysisk. ${\ displaystyle H <-U _ {\ min}}$

Det vil blive vist nedenfor, at hvert af disse tilfælde svarer til de særlige former for baner til kepleriansk bevægelse, nemlig en hyperbola, en parabel, en ellipse og en cirkel. Den foregående diskussion kan opsummeres grafisk i figuren modsat.

Degeneration af bevægelse

Den tidligere undersøgelse blev udført under antagelse . Hvis L = 0, har vi det til enhver tid, og bevægelsen er rent radial : den siges at være degenereret. Den foregående diskussion er forenklet, den tidligere betingelse (4bis) koger ned til , verificeret i alle tilfælde, hvis . Ellers er det let at kontrollere, at partiklen "falder" i kraftcenteret. $L \ ne 0$ $\ dot {\ theta} = 0$ $V (r) \ leqslant H$ $H \ geqslant 0$

Tilfælde af Keplerian-bevægelsen

Keplerian-bevægelse svarer til det tilfælde, hvor de to kroppe er i tyngdekraftsinteraktion, det vil sige med interaktionspotentialet og derfor med systemets samlede masse. Alt sker derefter, som om den fiktive partikel M blev udsat for tyngdekraftsinteraktionen mellem en krop, der er påvirket af systemets totale masse placeret ved oprindelsen O af strålevektoren. Hvis de tidligere generelle resultater, der i øvrigt er gyldige for enhver bevægelse i et konservativt centralt potentiale V ( r ), allerede ville tillade os at bestemme timeligningen af r = r ( t ), har det newtonske potentiale et primært integreret bestemt, Runge- Lenz-vektor, som gør det muligt på en enkel måde at opnå ligningen af banen. $V (r) = - \ frac {Gm_1 m_2} {r}$ $\ overrightarrow {F} = - G \ frac {m_ {1} m_ {2}} {r ^ 2} \ overrightarrow {e_r} = - G \ frac {\ mu M_T} {r ^ 2} \ overrightarrow {e_r}$ $M_T \ stackrel {\ text {def}} {=} m_1 + m_2$

Runge-Lenz invariant - ligninger af banen

Eksistensen af en ekstra første integral

Det newtonske potentiale er kendetegnet ved eksistensen af en særlig yderligere invariant, Runge-Lenz-invarianten , givet af: $1 / r$

\ overrightarrow {e} = \ frac {\ left (\ dot {\ overrightarrow {r}} \ times \ overrightarrow {L} \ right)} {GM_T \ mu} - \ overrightarrow {e_r}

, (5) Demonstration

\ ddot {\ overrightarrow {r}} \ times \ overrightarrow {L} = \ frac {d \ left (\ dot {\ overrightarrow {r}} \ times \ overrightarrow {L} \ right)} {\ mathrm {d} t} = \ ddot {\ overrightarrow {r}} \ times \ left [\ overrightarrow {r} \ times \ left (\ mu \ dot {\ overrightarrow {r}} \ right) \ right]

, hvor det er taget i betragtning , hvilket giver:

\ overrightarrow {L} = \ overrightarrow {\ mathrm {cte}}

\ frac {d \ left (\ dot {\ overrightarrow {r}} \ times \ overrightarrow {L} \ right)} {\ mathrm {d} t} = - \ frac {GM_T \ overrightarrow {e_r}} {r ^ 2} \ times \ left (\ mu r ^ 2 \ dot {\ theta} \ overrightarrow {e_z} \ right) = GM_T \ mu \ dot {\ theta} \ overrightarrow {e _ {\ theta}}

, hvor banens planhed er taget i betragtning, men under hensyntagen til følgende følger straks:

\ dot {\ theta} \ overrightarrow {e _ {\ theta}} = \ dot {\ overrightarrow {e_r}}

\ frac {d} {\ mathrm {d} t} \ left (\ frac {\ left (\ dot {\ overrightarrow {r}} \ times \ overrightarrow {L} \ right)} {GM_T \ mu} - \ overrightarrow {e_r} \ right) = \ overrightarrow {0}

, deraf resultatet. Ligning af banen for den fiktive partikel

Det er tydeligt, at derfor er indeholdt i bevægelsesplanet. Derfor er det muligt at tage den polære vinkel vinklen w mellem og med naturligvis og ved at bemærke e er det let at kontrollere: $\ overrightarrow {L} \ cdot \ overrightarrow {e} = 0$ $\ overrightarrow {e}$ $\ overrightarrow {e}$ $\ overrightarrow {r}$ $\ dot {\ theta} = \ dot {w}$ $\ overrightarrow {e}$

\ overrightarrow {r} \ cdot \ overrightarrow {e} = re \ cos {w} = \ frac {\ overrightarrow {r} \ cdot \ left (\ dot {\ overrightarrow {r}} \ times \ overrightarrow {L} \ højre)} {GM_T \ mu} - r

eller under hensyntagen til identiteten

\ overrightarrow {r} \ cdot \ left (\ dot {\ overrightarrow {r}} \ times \ overrightarrow {L} \ right) = \ overrightarrow {L} \ cdot \ left (\ overrightarrow {r} \ times \ dot { \ overrightarrow {r}} \ right) = \ frac {L ^ 2} {\ mu}

r \ left (1 + e \ cos {w} \ right) = s

, med .

p \ stackrel {\ text {def}} {=} \ frac {L ^ 2} {GM_T \ mu ^ 2}

Fysisk set er p = r m , værdien af r, hvor U eff ( r ) er minimal. Faktisk siden kommer det let ved afledning til enten faktisk r m = p . $U _ {\ text {eff}} (r) = \ frac {L ^ 2} {2 \ mu r ^ 2} - \ frac {GM_T \ mu} {r}$ $\ frac {L ^ 2} {\ mu r_m} = GM_T \ mu$

Ligningen af den opnåede bane er derfor en konisk excentricitet e og parameter p :

r = \ frac {p} {\ left (1 + e \ cos {w} \ right)}

, (6),

hvis kraftcenter indtager et af knudepunkterne. Vektoren er derfor rettet mod punktet for minimumsafstand (eller periapsis ), afstand betegnet q med , svarende til w = 0. På dette punkt er den orbitale vinkelhastighed maksimal. Vinklen w kaldes den sande anomali i astronomi. $\ overrightarrow {e}$ $q = p / \ venstre (1 + e \ højre)$ $\ dot {w_0} = \ dot {\ theta_0}$

Ved homotety beskriver hver af de virkelige kroppe i den barycentriske referenceramme en kegle, hvis massecenter optager en af fokuserne. Værdien af e bestemmer arten af konisk:

Hvis e > 1, er banen en hyperbola : i dette tilfælde er himmellegemerne ikke forbundet og kan gå til uendelig;

Hvis e = 1, er banen en parabel ;

Hvis 0 < e <1, er stien en ellipse . Dette er tilfældet med planeter og de fleste af de andre organer i solsystemet, hvor massepunktet desuden praktisk talt er forvekslet med Solens position, hvilket gør det muligt at finde Keplers første lov (1609): “Au Under deres bevægelse omkring solen beskriver planeterne ellipser, hvor solen indtager et af fokuspunkterne ”. Den anden lov (også 1609) følger direkte fra områdets hastighed og bærer navnet på områdeloven: "Strålevektoren, der forbinder solen til en planet, fejer lige store områder på lige tid".

Hvis e = 0, er stien cirkulær.

Bemærk om den særlige karakter af det newtonske felt

At få lukkede baner til newtonske felter er bemærkelsesværdig og skyldes faktisk en bestemt symmetri. Ifølge Noether's sætning er bevarelseslove faktisk relateret til eksistensen af en særlig symmetri af problemet.

Således fører den translationelle invarians af det globale system af de to organer (knyttet til systemets angiveligt isolerede karakter) til bevarelse af det globale systems momentum, mens den roterende invarians (isotropi) i det centrale felt fører til det fra vinkelmomentet og invariansen ved oversættelse i tid (som antager fraværet af "friktion") til bevarelse af total energi. Eksistensen af disse første integraler gør det muligt at passere successivt fra 6 til 3 og derefter 2 og endelig en grad af frihed. Selv for den endelige bevægelse har de to kroppe imidlertid ingen grund til at beskrive lukkede kurver, og kun en ekstra symmetri fører til den og resulterer i eksistensen af den særlige første integral af feltet i 1 / r 2 , Runge- Lenz-vektor (eller ækvivalent ekcentricitetsvektoren).

Det fremgår tydeligt af, hvad der foregår, at ligningen af banen opnås ved simpelthen at projicere strålevektoren på denne særlige konstante vektor, der definerer en bestemt rumretning, i praksis aksens koniske. Denne type symmetri kan dog kun fortolkes korrekt i fire dimensioner, jf. bestemt emne .

I kvantemekanik findes dette yderligere observerbare i undersøgelsen af hydrogenatomet, hvilket svarer til et problem med to kvantelegemer, og dette resulterer i den "utilsigtede" degeneration af elektronens energiniveauer, som ikke afhænger af det orbitale kvantetal l relateret til vinkelmomentet. Der forklarer en yderligere symmetri, der er specifik for Coulomb-feltet, og kun kan fortolkes i 4 dimensioner, dette fænomen.

I hul viser disse overvejelser, at i et tilfælde, hvor forstyrrelser på grund af andre himmellegemer tages i betragtning, vil det potentiale, der gennemgår, ikke længere være i 1 / r 2, og Runge-Lenz-vektoren vil ikke længere være strengt en primær integral bevægelsen. Banerne vil ikke længere være strengt koniske, lukkede kurver (for 0 < e <1). Dette er faktisk det, der observeres med elliptiske baner, som "roterer" langsomt i rummet, et fænomen med periheliets fremskridt , som fortolkes strengt inden for rammerne af generel relativitet .

Forholdet mellem excentricitet og primære integraler af bevægelse

I en fast ramme af plads Oxyz bundet til ( R c ), hvor aksen Ox af den koniske, orienteret mod punktet for minimal afstand til fokus for enhedsvektor , Oz retningen af impulsmoment , og som ved periastron og r = q , den første integral af energien kan udtrykkes som en funktion af denne mindste afstand, den kommer: $\ overrightarrow {e_x}$ $\ overrightarrow {L}$ $\ prik {r} = 0$

H = \ frac {L ^ 2} {2 \ mu q ^ 2} - \ frac {GM_T \ mu} {q}

hvilket indebærer . $L ^ 2 = 2 \ mu q ^ 2H + 2GM_T \ mu ^ 2q$

Ligeledes er det muligt at udtrykke excentricitetsvektoren på en enkel måde:

\ overrightarrow {e} = \ left (\ frac {L ^ 2} {GM_T \ mu ^ 2 q} -1 \ right) \ overrightarrow {e_x}

. Demonstration

$\ overrightarrow {e} = \ frac {\ left (q \ dot {\ theta_0} \ overrightarrow {e_y} \ right) \ times \ left (L \ overrightarrow {e_z} \ right)} {GM_T \ mu} - \ overrightarrow {e_x} = \ left (\ frac {r_ {min} \ dot {\ theta_0} L} {GM_T \ mu} -1 \ right) \ overrightarrow {e_x}$ eller siden , deraf resultatet. $q \ dot {\ theta_0} = \ frac {L} {\ mu q}$

Ved at erstatte i dette udtryk den ene opnået for L 2 er ekspressionen af excentricitet keglesnit sat i form:

e = 1 + \ frac {2qH} {GM_T \ mu}

Det er da muligt at fjerne den minimale afstand q i udtrykket givet , og få en relation mellem excentriciteten e og de to første integraler H og L . Det kommer ved erstatning i det foregående udtryk for excentricitet: $q = \ frac {p} {1 + e} = \ frac {L ^ 2} {G ^ 2M_T ^ 2 \ mu ^ 3 (1 + e)}$

(e + 1) (e-1) = \ frac {2L ^ 2H} {G ^ 2M_T ^ 2 \ mu ^ 3}

Eller endelig: .

e = \ sqrt {1+ \ frac {2L ^ 2 H} {G ^ 2M_T ^ 2 \ mu ^ 3}}

Disse sidste to udtryk har naturligvis kun en fysisk betydning, hvis og gør det muligt at finde de forskellige tilfælde set ovenfor: $e \ geqslant 0$

Tilfælde af den hyperbolske bane: e > 1, som indebærer H > 0, som det er blevet sagt, kan den fiktive mobil gå til uendelighed med en rent ikke-nul radial hastighed, givet af ; $\ dot {r} _ {max} = \ sqrt {\ dfrac {2H} {\ mu}}$

Tilfældet med den parabolske bane: e = 1 indebærer H = 0, igen kan mobilen gå til uendelig med nul hastighed.

Tilfælde af den elliptiske bane: 0 < e <1 antyder, at vi har . $- \ frac {GM_T \ mu} {2q} <H <0$

Tilfælde af den cirkulære bane: e = 0 derfor . $H = - \ frac {GM_T \ mu} {2q} = - \ frac {G ^ 2M_T ^ 2 \ mu ^ 3} {2L ^ 2}$

Bemærk: i tilfælde af et rumfartøj i kredsløb, der er i stand til at ændre dets kinetiske energi og derfor H og L , viser det foregående udtryk for e , at det er muligt, ved korrekt "at vælge" den korrigerende impuls, at ændre værdien af excentriciteten e af banen: dette er almindeligt anvendt til at bringe satellitter til de ønskede baner ved anvendelse af passende " transfer baner ". Det er endda muligt, hvis det er nødvendigt, at undslippe jordens attraktion, f.eks. For interplanetære sonder.

Tilfælde af elliptisk bevægelse

Den elliptiske keplerianske bevægelse er meget vigtig for astronomi (for eksempel planeter i solsystemet, kunstige satellitter). Under alle omstændigheder tjener det som udgangspunkt for mere avancerede beregninger under hensyntagen til indflydelsen fra andre himmellegemer eller andre faktorer, der ofte fungerer som en forstyrrelse af denne "ideelle" bevægelse.

Hovedparametre for banen

En ellipse kan defineres som de punkter M således, at summen af afstandene fra to faste punkter kaldet foci betegnet F 1 og F 2 er konstant: , har være den halve storakse i ellipsen, der er - sige halv afstand mellem de to hjørner, der er til en bane, periastronen P og apoasteren A , det punkt, der er længst væk fra centrum for kraften (som optager en af fokuspunkterne) i kredsløbet (jf. figur). $d (F_1, M) + d (F_2, M) = 2a$

Ved at bemærke Q afstanden til fokus for dette sidste punkt, som svarer til , kommer det :, og vi udleder af det . Ellipsen har et centrum for symmetri O i midten af afstanden fra brændpunkterne, hvorigennem de to vinkelrette symmetriakser kaldes større og mindre akser. $w = \ pi$ $Q = p / \ venstre (1-e \ højre)$ $a = p / \ venstre (1-e ^ 2 \ højre)$

Parameteren p for ellipsen svarer til værdien af r for w = p / 2.

Halvafstanden til fokus er betegnet c , det har vi naturligvis . Vi udlede den semi-lilleaksen , betegnet b : . Vi kan eliminere e mellem ligningerne, der giver a og b , det er udtrykket for ellipsens parameter . $c = aq = e \ frac {p} {1-e ^ 2} = ea$ $b = \ sqrt {a ^ 2-c ^ 2} = a \ sqrt {1-e ^ 2}$ $p = b ^ 2 / a$

Ved at kombinere disse formler opnår vi henholdsvis for periapsis q og apoastro Q : og . $q = a (1-e)$ $Q = a (1 + e)$

Energiaspekter - Ligning af levende kræfter

For at opnå ligningen, der tager sit navn " levende kræfter ", fra det Leibniziske kraftbegreb, erstatter vi udtrykket for afstanden til periastronen i forholdet (9) excentricitet-energi, det kommer: $q = a \ venstre (1-e \ højre)$

1-e = - \ frac {2qH} {GM_T \ mu} = - \ frac {2Ha \ left (1-e \ right)} {GM_T \ mu}

, hvorfra man trækker udtrykket af den samlede mekaniske energi i henhold til værdien af den halv-store akse a :

H = - \ frac {GM_T \ mu} {2a}

, (10bis).

Derfor er den samlede energi lig med halvdelen af den potentielle tyngdekraftsenergi for r = a . Som H = cte kommer det:

H = - \ frac {GM_T \ mu} {2a} = \ frac {1} {2} \ mu v ^ 2- \ frac {GM_T \ mu} {r}

, hvorfra vi udleder udtrykket for værdien af partikelhastigheden v på banen som en funktion af r og a , kendt som den levende kraftligning :

v = \ sqrt {GM_T \ left (\ frac {2} {r} - \ frac {1} {a} \ right)}

, (10ter).

Denne ligning bruges ofte i astronautik. Vi bemærker derfor, at målingen af den semi-store akse er direkte forbundet med den samlede energi af den fiktive partikel, og at hvis vi har , som vi skulle forvente, da den elliptiske bane derefter har en tendens til en parabolsk bane. ${\ displaystyle \ left | H \ right | \ to 0}$ $en \ til \ infty$

Keplers tredje lov

Den elliptiske bevægelse er endelig, den er periodisk med periode T , kaldet revolutionens periode eller orbitale periode , idet de fysiske love er uforanderlige ved oversættelse i tid. Denne periode er imidlertid let at måle for et himmellegeme givet ved astronomiske observationer, ligesom det også er værdien af den halv-store akse a . Der er dog et simpelt forhold mellem revolutionstid og semi-hovedakse, demonstreret eksperimentelt for første gang af Kepler i 1618.

Områdeshastigheden er konstant med , opnår vi ved at integrere ellipsens samlede areal over bevægelsesperioden T , svarende til , deraf identiteten , som giver , hvor den blev brugt . $\ dot {\ mathcal {A}} = \ frac {L} {2 \ mu}$ $\ pi ab$ $\ pi ab = \ frac {LT} {2 \ mu}$ $L ^ 2 = \ frac {4 \ pi ^ 2 \ mu ^ 2a ^ 2b ^ 2} {T ^ 2} = 4 \ pi ^ 2 \ mu ^ 2p \ frac {a ^ 3} {T ^ 2}$ $p = b ^ 2 / a$

Men per definition som endelig giver eliminere det momentum det grundlæggende forhold: . $p = \ frac {L ^ 2} {GM_T \ mu ^ 2}$ $\ frac {a ^ 3} {T ^ 2} = \ frac {GM_T} {4 \ pi ^ 2}$

Med andre ord: terningerne i banernes semi-store akser er proportionale med firkantene i revolutionens perioder .

I tilfælde af en planet i solsystemet er solens masse praktisk talt lig med systemets samlede masse, og vi skriver med Gaussisk konstant . $\ frac {a ^ 3} {T ^ 2} = \ frac {k} {4 \ pi ^ 2}$ $k \ stackrel {\ text {def}} {=} GM_S$

Ved at gøre denne tilnærmelse kan vi skrive til to planeter i solsystemet med indlysende notationer:

\ frac {a_1 ^ 3} {T_1 ^ 2} = \ frac {a_2 ^ 3} {T_2 ^ 2}

Kendskabet til en planets semi-hovedakse (for eksempel Jorden, som kan måles meget nøjagtigt ved hjælp af astrometriske metoder ) og om orbitale perioder (ved observationer) gør det muligt at bestemme de halv-store akser for alle planeter i solsystemet. Man kan gå på samme måde for alle de andre "systemer" (f.eks. En stjerne og dens planeter, en planet og dens satellitter ...) hvor man kan forsømme massen af en given krop foran den "centrale" krop (stjerne, planet).

Vi kalder gennemsnitsbevægelse , betegnet n , himmellegemets gennemsnitlige vinkelhastighed i sin bane: Vi har derfor ifølge Keplers tredje lov: $n \ stackrel {\ text {def}} {=} \ frac {2 \ pi} {T}$

n = \ sqrt {\ frac {GM_T} {a ^ 3}}

.Begrænset tilfælde af den cirkulære bane - minimum kredshastighed

Når e = 0, er ellipsen degenereret og kommer ned til en cirkel med radius R = p og centrum O , sammenfaldende med de to foci. Enhver akse, der passerer gennem midten, er symmetriaksen for banen. Ifølge (3) er vinkelhastigheden konstant (vi finder derfor en triviel "lov om områder"). $\ dot {\ theta} = L / \ mu p ^ 2$

På energiniveau svarer det ifølge formel (10) og som det blev sagt tidligere (se del 3.1-4) det fysiske minimum af den samlede energi H med en nul radial kinetisk energi . Effektiv potentiel energi er derfor minimal, hvilket svarer fysisk til det punkt, hvor betingelserne i den centrifugale barriere i 1 / r 2 og attraktivt potentiale "centripetal" i 1 / r er afbalanceret. $H = - \ frac {GM_T \ mu} {2R} = - \ frac {G ^ 2M_T ^ 2 \ mu ^ 3} {2L ^ 2}$ $\ dfrac {1} {2} \ mu \ dot {r} ^ 2$ $U _ {\ text {eff}} (r)$

Det er kun for denne minimale mekaniske energi, at man kan kredser om den fiktive mobil omkring kraftcentret i afstanden R (og derfor også af en "ægte" krop omkring den anden), en lavere værdi fører til "nedfaldet" af den fiktive partikel på kraftens centrum. Denne minimale mekaniske energi svarer til en bestemt værdi af hastigheden v kaldet den minimale kredsningshastighed eller "første kosmiske hastighed". Faktisk ifølge ligningen af de levende kræfter (10ter), en for den cirkulære bane med radius R = har en rent orthoradial hastighed og konstant værdi givet ved:

v_1 = \ sqrt {\ frac {GM_T} {R}}

, (11).

I applikationer (astronautik) er denne hastighed faktisk uafhængig af massen af "satellit" -legemet, da den samlede masse derefter svarer til den "centrale" stjernes.

Eksempel: For Jorden har vi mindst R = 6.400 km (Jordens overflade), hvilket giver ca. v 1 ≈ 7.9 km s −1 .

Tilfælde af parabolsk bevægelse

Parabolsk bevægelse er en begrænsende tilfælde af elliptiske bevægelse, når excentriciteten e tenderer mod 1. Intuitivt, svarer dette til en stadig mere langstrakt ellipse, den periastron P nærmer sig fokus F 1 , den anden fokus F 2 blive fundet ham "projiceret" længere og længere . I sidste ende afvises det til uendelig ligesom apoastro A , og ellipsen “åbner” ved punkt A for at give en parabel.

Hovedparametre for banen

Dette tilfælde svarer til e = 1, og polær i hjemmet af den bane ligning er så: . Periapsis P svarer til w = 0 og er placeret i afstanden q = p / 2 fra fokus F , og vi har for . Retningen ( FP ) er kurvens symmetriakse, og der er intet apocenter i endelig afstand. $r = \ frac {p} {1+ \ cos w}$ $r \ til + \ infty$ $w \ til \ pi$

Figuren modsat rekapitulerer de vigtigste karakteristika ved banen.

Energiaspekt - frigivelseshastighed

Ifølge forholdet (10) og som tidligere angivet svarer dette begrænsende tilfælde til H = 0. I dette tilfælde er den samlede kinetiske energi altid lig med den potentielle tyngdekraftenergi, det vil sige ved r givet :, der følger straks et simpelt udtryk for hastigheden på banen ved enhver r , der svarer til ligningen af kræfter levende for den parabolske Keplerian-bevægelse :, (12). $\ frac {1} {2} \ mu v ^ 2 = \ frac {GM_T \ mu} {r}$ $v = \ sqrt {\ frac {2GM_T} {r}}$

Dette forhold svarer til den såkaldte levende kræftligning fundet for den elliptiske bevægelse, relation (10ter), med . $en \ til \ infty$

Denne værdi af hastigheden er maksimal ved periastronen placeret i afstanden r = q , hvor hastigheden er rent orthoradial. Befrielseshastigheden eller "anden kosmiske hastighed" defineres derfor for en given afstand R som . $v_2 = \ sqrt {\ frac {2GM_T} {R}} = \ sqrt {2} v_1$

Dette er så den minimale hastighed, der skal tildeles (orthoradialt) til den fiktive partikel, der er anbragt i den givne afstand R fra kraftens centrum, så den kan "undslippe" tyngdekraftens udøvelse af den her ved at lade den gå til uendelig efter en parabolsk bane.

Eksempel: For Jorden fra dens overflade har vi v 2 ≈ 11,2 km s −1 .

Konkret er det muligt at give en genstand, såsom en rumsonde en parabolsk bane med fokus centrum C af en given stjerne (ligesom Jorden) og med en toppunkt et givet punkt M i rummet, således at R = CM ved at kommunikere til den maskine med en hastighed på værdi svarende til frigivelseshastigheden for R og rettet vinkelret på radial retning ( CM ). Dette kan udmærket gøres fra en indledende elliptisk bane, der starter fra periastronen: Faktisk er maskinens hastighed orthoradial på dette tidspunkt og har en maksimal værdi, selvom frigivelseshastigheden ved periastronen er højere end den ved apoaster.

Tilfælde af hyperbolsk bevægelse

Hovedparametre for banen

Hvis e > 1, er værdien af r tilbøjelig til uendelig for de to retninger og , symmetrisk i forhold til hovedaksen ( FP ), definerer asymptoter på kurven for banen. Værdierne af w sådan, der svarer til negative værdier af r : det er faktisk den anden gren af hyperbolen, som ville blive krydset i tilfælde af et frastødende felt (jf. Rutherford-diffusion ). Fysisk, den eneste dækket gren er den ene nærmest hjem F . $w_ \ infty = \ arccos {\ left (- \ frac {1} {e} \ right)}$ $w = w_ \ infty$ $w = 2 \ pi-w_ \ infty$ $w_ \ infty <w <2 \ pi-w_ \ infty$

De to asymptoter af hyperbolen krydser hinanden ved et punkt O på hovedaksen, symmetri centrum for den komplette matematiske kurve, med to grene. Vi kan definere et punkt F ' symmetrisk til F med hensyn til O, som er fokus for den anden gren af hyperbolen. Som for alle koniske er periastronen P placeret i afstanden fra fokus og udgør banens toppunkt. Vi kan definere en "apoastro" A svarende til w = p og svarende til toppen af den anden gren. Dette punkt er placeret i afstanden fra fokus, og afstanden mellem P og A svarer til . Denne værdi af "semi-hovedaksen" a gør det muligt at skrive , og afstanden fra centrum af symmetri O til et brændpunkt er ae . $q = \ frac {p} {1 + e}$ $Q = \ frac {p} {\ left | 1-e \ right |} = \ frac {p} {e-1}$ $2a \ stackrel {\ text {def}} {=} Qq = 2 \ frac {p} {e ^ 2-1}$ $p = a (e ^ 2-1)$ $q = a (e-1)$ $Q = a (e + 1)$

Den modsatte kurve opsummerer banens karakteristika ved at vise to eksempler på hyperboler med den samme parameter, den ene med e = 2 og den anden med e = 5.

Energiaspekter - ligning af levende kræfter

Det er muligt at demonstrere, som det er tilfældet med den elliptiske bane, et forhold mellem H og den semi-store akse a for hyperbolen defineret ovenfor. Faktisk ved periapsis P, hvor r = q = a ( e -1), er hastigheden rent orthoradial, og den mekaniske energi H udtrykkes i form :, men vi har , hvilket giver ved substitution i den foregående ligning: $H = \ frac {1} {2} \ mu v ^ 2- \ frac {GM_T \ mu} {q} = \ frac {L ^ 2} {2 \ mu a ^ 2 (e-1) ^ 2} - \ frac {GM_T \ mu} {a (e-1)}$ $L ^ 2 = GM_T \ mu ^ 2 p = GM_T \ mu ^ 2 a (e ^ 2-1)$

H = \ frac {GM_T \ mu} {a (e-1)} \ left (\ frac {e-1)} {2} -1 \ right)

eller endelig forholdet :, (13).

H = \ frac {GM_T \ mu} {2a}

Dette forhold er identisk med det, der opnås ved elliptisk bevægelse, ved at ændre a til - a . Vi opnår derefter ved at gå videre på samme måde som for det elliptiske tilfælde ligningen af de levende kræfter til den hyperbolske bevægelse:

v = \ sqrt {GM_T \ left (\ frac {2} {r} + \ frac {1} {a} \ right)}

(14).

Vector illustrationer

Nogle animationer, der repræsenterer banerne på to kroppe (hvide skiver) omkring barycenteret (rødt kors).

Referencer

Dette gælder i tilfælde, hvor dimensionerne på de to kroppe er meget små sammenlignet med deres afstand under bevægelsen.
Denne tilnærmelse svarer til at forsømme indflydelsen fra andre kroppe i betragtning af den relative betydning af deres handlinger på hver af de to kroppe. For eksempel til bevægelse af en planet omkring solen er den dominerende interaktion naturligvis stjernens på planeten, vi kan i det mindste forsømme som en første tilnærmelse virkningerne af samspillet mellem de andre kroppe i solsystemet både på solen end på den betragtede planet. Det bør dog tages i betragtning på en foruroligende måde for en mere komplet beskrivelse.
Faktisk to uafhængige en-kropsproblemer, men bevægelsen af centrum for inerti er triviel.
Ved homotety er det selvfølgelig det samme for de af ægte partikler M1 og M2 .
Men hvis det siges, at bevægelsen er degenereret og reduceres til en lige linje, har begrebet fladhed af banen ingen betydning $\ overrightarrow {L} = \ overrightarrow {0}$
Denne sidste betingelse er ikke absolut nødvendig, vi opnår også et bassin med potentiale, bestemt uendeligt , med et harmonisk rumligt potentiale i formen med k > 0, men dette eksempel vil ikke blive betragtet som det næste. $V (r) = \ dfrac {1} {2} kr ^ 2$
Denne mindste tilgangsafstand svarer til nul radial hastighed ved en begrænset afstand.
I uendelighed er hastigheden udelukkende radial: det ortoradiale udtryk er faktisk det i 1 ⁄ r 2 og har derfor en tendens til 0 i stor afstand.
Strengt taget er Runge-Lenz vektor klassisk defineret ved . $\ overrightarrow {p} \ times \ overrightarrow {L} -GM_T \ mu ^ 2 \ overrightarrow {e_r}$
Dette svarer til en oprindelsesændring, der ikke sætter spørgsmålstegn ved de tidligere resultater, især det faktum, at L = cte, da dette kun afhænger af værdien af vinkelhastigheden . $\ dot {\ theta} = \ dot {w}$
Vi kunne også have L = 0 for ethvert H , men parameteren p er derefter nul, og vi får ikke længere en parabel, men simpelthen en "konisk" degenereret til højre: se ovenstående bemærkning om degeneration af bevægelse. Denne trivielle sag vil ikke blive behandlet efterfølgende.
Her forveksler vi midten af stjernen og massepunktet i {probe - star} - systemet i betragtning af forholdet mellem masserne på de to objekter.

Nyttige bøger:

Dumoulin og Parisot, praktisk astronomi og datalogi , Masson, Paris, 1987.
Perez, fysik kurser: mekanisk - 4 th udgave, Masson, Paris, 2001.
Landau og Lifchitz, Cours de physique - Tome I: Mécanique , Ellipses - Marketing, Paris, 1994.

På internettet :

Luc Duriez, kursus i klassisk himmelmekanik , Universitet Lille-I / IMCCE, 2002, meget komplet, tilgængelig på følgende adresse i pdf: http://www.imcce.fr/fr/formations/cours/CoursMC_Duriez/mc/ CoursMCecr_Duriez. pdf .

Relaterede artikler