Keplers love

I astronomi , de love Kepler beskrive de vigtigste egenskaber for bevægelsen af planeter omkring sol .

Den samme navn for lovene er astronomen Johannes Kepler (1571-1630) der etablerede dem empirisk ud fra observationer og målinger af planetenes placering foretaget af Tycho Brahe , målinger der var meget præcise for tiden (8 minutters præcision) . Copernicus havde hævdet i 1543 , at planeterne drejede sig om Solen , men han stolede på den ensartede cirkulære bevægelse, arvet fra det antikke Grækenland , og de matematiske midler var ikke så forskellige fra dem, der blev brugt af Ptolemaios til hans geocentriske system .

Kepler offentliggør de to første love i 1609i Astronomia nova derefter den tredje i1619i Harmonices Mundi . Elliptiske baner, som angivet i de to første love, gør det muligt at forklare kompleksiteten af ​​den tilsyneladende bevægelse af planeter på himlen uden at ty til epicykler , excentrikere og andre ækvivalenter (eller erstatninger deraf) til de kopernikanske og ptolemæiske modeller.

I 1687 , bygger på arbejdet i Galileo , Kepler og Huygens , Isaac Newton opdagede loven om tyngdekraften som tillod ham at forklare Keplers tre love.

Voltaire (1694-1778), i hans Elements of Newtons Philosophy of1738, var den første til at kalde Keplers "love". Lalande (1732-1807), I hans indbegrebet af astronomi af1774, synes at have været den første til at opregne og nummerere Keplers tre love i den rækkefølge, som de normalt gives i dag.

Erklæring om Keplers tre love

Første lov - kredsløb

Keplers første lov kaldes ”loven om kredsløb” eller “lov om ellipser”.

Solsystemets planeter beskriver elliptiske baner , hvoraf solen optager et af fokuspunkterne. Mere generelt beskriver himmelobjekter, der kredser om solen, baner, der er koniske, hvor solen er et fokus. I tilfælde af kometer kan vi faktisk også have ikke-lukkede, parabolske eller hyperbolske baner .

I den heliocentriske referenceramme optager Solen altid en af ​​de to foci af den elliptiske bane af planeterne, der kredser omkring den. Strengt taget er det centrum for massen, der optager dette fokus; den største forskel opnås med Jupiter, som på grund af sin store masse forskyder dette massecenter med 743075  km  ; eller 1,07 solstråler - større forskydninger kan opnås ved at kumulere effekterne af planeterne i deres bane .

Ellipserne beskrevet af planetenes tyngdepunkter er kvasi-cirkulære med en lav eller meget lav orbital excentricitet , hvor den højeste er kviksølv (~ 0,2) efterfulgt af Mars (~ 0,09). Det er sidstnævnte, som Kepler brugte til sin opdagelse af den første lov, og han bliver hjulpet i dette af den lave excentricitet af jordens bane (~ 0,017) i forhold til Mars. Foci er i sig selv meget forskellige fra centrum af ellipsen.

Anden lov - områdelov

Keplers anden lov kaldes “områdeloven”.

Lige områder scannes på lige tid.

Hvis S er solen og M en hvilken som helst position på en planet, er arealet (af overfladen) fejet af segmentet [ SM ] mellem to positioner C og D lig med det område, der fejes af dette segment mellem to positioner E og F, hvis tid mellem positionerne C og D er lig med varigheden mellem positionerne E og F . Hastigheden på en planet bliver derfor større, når planeten nærmer sig solen. Det er maksimalt i nærheden af ​​den korteste radius ( perihel ) og minimum i nærheden af ​​den største radius ( aphelia ).

Fra denne anden lov udleder vi, at den kraft, der udøves på planeten konstant er rettet mod solen. Kepler skrev til en kollega: En ting er sikkert: en kraft stammer fra solen, der beslaglægger planeten .

Keplers ligning følger direkte af områdeloven, som giver os mulighed for at finde det dækkede område som en funktion af den nøjagtige position af en planet.

Faktisk antyder Keplers anden lov, at planeten accelererer, når den nærmer sig solen og aftager, når den bevæger sig væk fra solen. Hastigheden er derfor ikke konstant, men kun områdets hastighed (planeten fejer lige store områder i lige store tidsintervaller). Derfor har planeten ikke krydset en vinkel på 90 °, men har fejet et område på . T4{\ displaystyle {\ frac {T} {4}}}Samlet areal4{\ displaystyle {\ frac {\ text {Aire Totale}} {4}}}

Ligningen er af formen . Med M det tildækkede område (kendt som den gennemsnitlige anomali), e excentricitet og E vinklen i midten af ​​ellipsen. M=E-esynd⁡(E){\ displaystyle M = Ee \ sin (E)}

Da Keplers ligning er ikke-lineær (in ), har det omvendte problem, som svarer til at finde planetens vinkel som en funktion af området (og derfor af tiden), ikke en simpel løsning. Men der er en eksakt løsning i form af serier (uendelige beløb) samt tilnærmelser E n opnået ved Newtons metode . Fra for eksempel fra E 0 = M har vi: E{\ displaystyle E}

Eikke+1=Eikke-Eikke-e⋅synd⁡Eikke-M1-e⋅cos⁡Eikke{\ displaystyle E_ {n + 1} = E_ {n} - {\ frac {E_ {n} -e \ cdot \ sin E_ {n} -M} {1-e \ cdot \ cos E_ {n}}} }.

Tredje lov - lov om perioder

Keplers tredje lov kaldes "periodens lov" eller "harmonisk lov".

Kvadratet i den sideriske periode P på en planet (tid mellem to på hinanden følgende passager foran en stjerne ) er direkte proportional med terningen af ​​halv- hovedaksen a af planetens elliptiske bane:

på3P2=k{\ displaystyle {\ frac {a ^ {3}} {P ^ {2}}} = k}

med k konstant. Lovene i universel gravitation anført af Isaac Newton gør det muligt at bestemme denne konstant som funktion af gravitationskonstanten G , den masse af Solen M ⊙ og massen af planeten m kredser om Solen i henhold til

k=G(M⊙+m){\ displaystyle k = G (M _ {\ odot} + m)}

det vil sige med M >> m

k=GM⊙{\ displaystyle k = GM _ {\ odot}}

Ved at udtrykke afstandene i astronomiske enheder og perioder i år udtrykkes loven meget enkelt:

P=k′på3{\ displaystyle P = k '{\ sqrt {a ^ {3}}}}

Af denne tredje lov, også kaldet "Keplers harmoniske lov" (fordi den udtrykker en invariant gennem hele solsystemet, "derfor" en vis harmoni med denne, hvor bevægelsen af ​​alle planeterne forenes i en universel lov), udleder vi at der er en konstant faktor mellem den udøvede kraft og massen på den betragtede planet, som er den universelle tyngdekonstant eller tyngdekonstanten .

Denne formel sammen med dem fra ellipsen gør det muligt at beregne de forskellige parametre for en elliptisk bane ud fra meget lidt information. Faktisk viste Johann Lambert ( 1728 - 1777 ), at viden om tre daterede positioner gjorde det muligt at finde parametrene for bevægelsen.

Newtons form for Keplers tredje lov

Isaac Newton forstod sammenhængen mellem klassiske mekanikers love og Keplers tredje lov. Han udledte følgende formel:

T2=4π2G(M+m)på3{\ displaystyle T ^ {2} = {\ frac {4 \ pi ^ {2}} {G (M + m)}} a ^ {3}}, oftere i form T2på3=4π2G(M+m){\ displaystyle {\ frac {T ^ {2}} {a ^ {3}}} = {\ frac {4 \ pi ^ {2}} {G (M + m)}}}

eller:

• T{\ displaystyle T}er objektets revolutionstid ,
• på{\ displaystyle a}er den halv-store akse i den elliptiske bane,
• G{\ displaystyle G}er konstanten af ​​universel tyngdekraft ,
• m{\ displaystyle m} er planetens masse,
• M{\ displaystyle M} er stjernens masse.

I tilfælde af et stjerne / planet system kan planetens masse forsømmes sammenlignet med stjernens masse : m{\ displaystyle m}M{\ displaystyle M}

T2på3=4π2G(M+m)≈4π2GM{\ displaystyle {\ frac {T ^ {2}} {a ^ {3}}} = {\ frac {4 \ pi ^ {2}} {G (M + m)}} \ ca. {\ frac {4 \ pi ^ {2}} {GM}}} Demonstration

Vi starter med at etablere loven om områder:

Enten .L→=r→∧r→˙{\ displaystyle {\ vec {L}} = {\ vec {r}} \ wedge {\ dot {\ vec {r}}}} Det har vi .ddtL→=r→˙∧r→˙+r→∧r→¨=0→{\ displaystyle {\ frac {d} {dt}} {\ vec {L}} = {\ dot {\ vec {r}}} \ wedge {\ dot {\ vec {r}}} + {\ vec { r}} \ wedge {\ ddot {\ vec {r}}} = {\ vec {0}}} Så .L→=rer→∧(r˙er→+rθ˙eθ→)=r2θ˙ez→=VSte.ez→=Λez→{\ displaystyle {\ vec {L}} = r {\ vec {e_ {r}}} \ wedge ({\ dot {r}} {\ vec {e_ {r}}} + r {\ dot {\ theta }} {\ vec {e _ {\ theta}}}) = r ^ {2} {\ dot {\ theta}} {\ vec {e_ {z}}} = Cte. {\ vec {e_ {z} }} = \ Lambda {\ vec {e_ {z}}}} Lad være det område, der fejes af vektoren under og variationen i samme tid.dS{\ displaystyle dS}r→{\ displaystyle {\ vec {r}}}dt{\ displaystyle dt}dr→{\ displaystyle {\ vec {dr}}}r→{\ displaystyle {\ vec {r}}} Vi fik hvor .dS=12‖r→∧dr→‖=12r2θ˙dt=12Λdt{\ displaystyle dS = {\ frac {1} {2}} \ left \ | {\ vec {r}} \ wedge {\ vec {dr}} \ right \ | = {\ frac {1} {2}} r ^ {2} {\ dot {\ theta}} dt = {\ frac {1} {2}} \ Lambda dt}S(t)=Λt2{\ displaystyle S (t) = {\ frac {\ Lambda t} {2}}} Området for ellipsen er lig , vi udleder det .πpå21-e2{\ displaystyle \ pi a ^ {2} {\ sqrt {1-e ^ {2}}}}12ΛT=πpå21-e2{\ displaystyle {\ frac {1} {2}} \ Lambda T = \ pi a ^ {2} {\ sqrt {1-e ^ {2}}}} Derudover har vi .r(θ)=Λ2GM(1+ecos⁡θ)⇒2på=rmjegikke+rmpåx=2Λ2GM(1-e2){\ displaystyle r (\ theta) = {\ frac {\ Lambda ^ {2}} {GM (1 + e \ cos \ theta)}} \ Rightarrow 2a = r_ {min} + r_ {max} = {\ frac {2 \ Lambda ^ {2}} {GM (1-e ^ {2})}}} Vi udleder det fra hvor ved at kvadre .12T=πpå3/2GM{\ displaystyle {\ frac {1} {2}} T = {\ frac {\ pi a ^ {3/2}} {\ sqrt {GM}}}}T2=4π2GMpå3{\ displaystyle T ^ {2} = {\ frac {4 \ pi ^ {2}} {GM}} a ^ {3}}

Hvornår gælder disse love?

En klassisk matematisk øvelse består i at demonstrere, at vi finder Keplers tre love for en bevægende krop fra det øjeblik, vi indrømmer, at denne krop udsættes for en acceleration, der er omvendt proportional med kvadratet for dens afstand til et fast punkt og rettet mod dette punkt. Vi taler om acceleration i 1 / r². For det samme organ, der er anbragt under forskellige indledende betingelser, gælder den tredje lov med en koefficient afhængig af problemet.

Tilfælde af tyngdekraft

Ved at indrømme, at solen er uendeligt tung sammenlignet med planeterne, og ved at forsømme deres interaktion mellem dem, ser vi, at planeterne er underlagt de tre love.

Ved at kombinere det grundlæggende princip om dynamik (Newtons anden lov) og den universelle lov for tyngdekraft finder vi desuden, at accelerationen er uafhængig af massen af ​​det bevægelige legeme i tilfælde af en bevægelse, for hvilken kraften, der gælder, er tyngdekraften. Som et resultat er den tredje lovkonstant den samme for alle planeter, men også for andre kroppe, der kredser om solen, hvis de ikke er under en anden krops bemærkelsesværdige indflydelse.

Keplers love kan anvendes på ethvert andet organ, der kredser om et overvejende centralt objekt; kun konstanten af ​​den tredje lov ændres afhængigt af massen af ​​dette centrale objekt. Dette er for eksempel tilfældet med Månen i forhold til Jorden eller med en kunstig satellit, der kredser om den, og for de flere måner på solsystemets planeter.

To-kropsproblem

Keplers love kan anvendes simpelthen i tilfælde af et to-kropsproblem uden tilstedeværelsen af ​​et overvejende centralt objekt: i dette tilfælde (som i øvrigt i det generelle tilfælde) er det centrale punkt, der henvises til de to første love, ikke centrum af den mest massive krop, men centrum for masse (eller barycenter) af interagerende objekter.

Tilfælde af andre kræfter end tyngdekraft

Som vi sagde ovenfor, er Keplers love ikke begrænset til tyngdekraften. De gælder for enhver orbitalacceleration, der manifesteres i 1 / r². Dette er imidlertid også tilfældet med Coulombs lov inden for elektrostatik .

Eksemplet på Keplers love kan også nævnes i nogle modeller til elektroner, der kredser om en atomkerne. Den Bohr - Sommerfeld model også forudsiger elliptiske baner for elektronerne. På den anden side har vi ikke længere uafhængighed af massen af ​​den bevægende krop. Konstanten i tredje lov afhænger af konstantens styrke og masse (uafhængig af en elektron til en anden).

Imidlertid mener kvantefysik i dag, at denne opfattelse af elektroner i en elliptisk bane omkring atomkerner kun er en tilnærmelse, hvilket engang var nyttigt for forskere.

Opdagelse af nye himmellegemer

Johannes Kepler opdager sine love takket være et betydeligt analysearbejde af de astronomiske observationer, der er oprettet af Tycho Brahe, som er meget mere præcise end de allerede kendte, han stoler især på Mars 'positioner , hvis bevægelse han studerer siden 1600. Han er overbevist om at solen på en eller anden måde er det "sande" centrum af solsystemet (for ydre planeter som Mars bruger Copernicus et fiktivt punkt nær solen som centrum for en cirkel, som roterer med ensartet hastighed centrum for en lille cykel, der bærer planeten). Vejledt af denne overbevisning og efter lange vandringer opdagede han til sidst, at planetenes bevægelse er elliptisk , med solen placeret ved et knudepunkt for ellipsen. Hans resultater og den måde, hvorpå han ankom dem, er registreret i hans store værk, Astronomia nova , udgivet i 1609, men faktisk afsluttet i slutningen af ​​1605.

Dets love har selv gjort det muligt at forfine astronomisk forskning og fremhæve uregelmæssigheder i kendte kropsbevægelser gennem en forbløffende progression af analysen.

Det mest spektakulære eksempel var uregelmæssighederne i Uranus, som tillod opdagelsen af Neptun af Le Verrier ( 1811 - 1877 ) ved beregning: opdagelse bekræftet ved observation af Galle ( 1812 - 1910 ) i 1846 .

Han var også i stand til at bestemme, at stjernen, der dukkede op over krybben på fødselsdagen, var planeten Venus , især synlig den nat. Keplers opdagelse gør det derfor muligt at datere denne begivenhed til natten den 24. til 25. december i året -8.

Noter og referencer

1. Taillet, Villain and Febvre 2018 , sv Kepler (love of), s.  410, col.  1 .
2. Capderou 2011 , kap.  4 , sektion. 4.8 , §  4.8.1 , s.  131, n.  17 .
3. Wilson 2000 , s.  225-226.
4. Wilson 2000 , s.  226.
5. Biémont 1999 , 1 st  del. , kap.  1 st , §  1.1 , s.  19.
6. Capderou 2011 , kap.  4 , sektion. 4.8 , §  4.8.1 , s.  133.
7. Jean-Pierre Verdet, A History of Astronomy , Paris, Editions du Seuil , koll.  "Videnskabspunkter",1990, 384  s. ( ISBN  2-02-011557-3 ) , s.  151-152
8. Cassidy, Holton og Rutherford 2015 , 1 st  del. , kap.  2 , §  2.10 , s.  91.
9. Cassidy, Holton og Rutherford 2015 , 1 st  del. , kap.  2 , §  2.10 , s.  94.
10. For en mere detaljeret diskussion, se Bevis for Keplers love  ; derefter satellit , orbitografi
11. Offentliggørelsen er forsinket af arvingerne til Tycho Brahe, hvis observationer Kepler beslutsomt bruger; disse hævder rettigheder og er ikke tilfredse med, at Kepler afviste den danske astronoms geo-heliocentriske system, ifølge Owen Gingerich (1993), The eye of heaven , American Institute of Physic, introduktion s.  45 og s.  41-45 for hele afsnittet.

Se også

Bibliografi

• [Biémont 1999] É. Biémont ( præ .  Af Jean-Claude Pecker ), Tidsrytmer: astronomi og kalendere , Bruxelles og Paris, De Boeck og Larcier , uden for coll. ,Oktober 1999, 1 st  ed. , 393  s. , syg. , 25,4 x 29,2  cm ( ISBN  2-8041-3287-0 , EAN  9782804132873 , OCLC  406.977.963 , varsel BNF n o  FRBNF37085901 , SUDOC  048.083.836 , online præsentation , læse online ) , del 1, chap.  1, s.  19-23: §  1.1 ("Jordens translationelle bevægelse").
• [Capderou 2011] Michel Capderou ( pref.  Hervé Le Treut ), satellitter: fra Kepler til GPS , Paris, Springer , uden for coll. ,oktober 2011, 2 nd  ed. ( 1 st  ed. Oct. 2002), XXII -844  s. , syg. , 15,5 x 24  cm ( ISBN  978-2-287-99049-6 , EAN  9782287990496 , OCLC  780.308.456 , varsel BNF n o  FRBNF42541514 , DOI  10,1007 / 978-2-287-99050-2 , SUDOC  156.644.711 , læse online ) , chap .  4, s.  130-133: afsnit 4.8, §  4.8.1 (“Keplers love”).
• [Cassidy, Holton og Rutherford 2015] David C. Cassidy , Gerald Holton og F. James Rutherford  (en) ( oversat  fra engelsk af Vincent Faye og Sébastien Bréard), Comprendre la physique ["  Understanding physics  "], Lausanne, PPUR , coll .  "Fysik",november 2015, 1 st  ed. , XIX -812  s. , syg. , 17 × 24  cm ( ISBN  978-2-88915-083-0 , EAN  9782889150830 , OCLC  895.784.336 , varsel BNF n o  FRBNF44257893 , SUDOC  181.782.456 , online præsentation , læse online ).
• [Taillet, Villain og Febvre 2018] Richard Taillet, Loïc Villain og Pascal Febvre, Dictionary of physics: mere end 6500 termer, talrige historiske referencer, tusinder af bibliografiske referencer , Louvain-la-Neuve, De Boeck Supérieur , ekskl. Coll. ,januar 2018, 4 th  ed. ( 1 st  ed. Maj 2008), X -956  s. , syg. og fig. , 17 × 24  cm ( ISBN  978-2-8073-0744-5 , EAN  9782807307445 , OCLC  1022951339 , SUDOC  224.228.161 , online præsentation , læse online ) , sv Kepler (love), s.  409-410.
• [Wilson 2000] (ind) Curtis Alan Wilson, "Fra Kepler til Newton fortæller historien" i Richard Henry Dalitz og Michael Nauenberg, Grundlaget for newtonsk stipendium , Singapore, World Scientific , ud al. ,juli 2000, 1 st  ed. , XVIII -242  s. , syg. og portr. , 15,9 x 22,2  cm ( ISBN  981-024044-9 (forkert redigeret) og 981-02-3920-3 , EAN  9789810239206 , OCLC  491.574.774 , varsel BNF n o  FRBNF38846757 , DOI  10,1142 / 4141 , SUDOC  069.127.727 , læse online ) , chap .  12 , s.  223-242.

Relaterede artikler

• Kinematik> Elliptisk bevægelse
• Keplers ligning
• Ligning af tid . Giv forskellen mellem den tid, der er angivet af solen og den, der er angivet med et ur.
• Bevis for Keplers love
• Specifikt vinkelmoment, bevis for Keplers love relativt simpelt fra bevarelse af vinkelmoment
• Keplerian bevægelse
• To-kropsproblem
• Copernican Revolution

eksterne links

• Kepler uddannelsesaktiviteter
• Demonstration af Keplers tre love og egenskaber ved en ellipse [PDF]
• [Trouillet 2017] Florence Trouillet , "  Keplers love  " , om det franske institut for uddannelse ,september 2017.

• Myndighedsregistreringer  :
  • Frankrigs Nationalbibliotek ( data )
  • Universitetsdokumentationssystem
  • Library of Congress
  • Gemeinsame Normdatei
• Meddelelser i generelle ordbøger eller leksikon  : Encyclopædia Britannica  • Encyclopædia Universalis  • Gran Enciclopèdia Catalana  • Store norske leksikon

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">