I matematik , den Burnside problemet er en af de ældste spørgsmål og der havde størst indflydelse i teorien om grupper . I 1902 spurgte William Burnside , om en endelig type torsionsgruppe nødvendigvis er endelig. Denne formodning blev tilbagevist tres år senere såvel som dens "afgrænsede" variant , mens dens "begrænsede" variant blev demonstreret for nylig af Efim Zelmanov . Mange emner om disse emner er stadig åbne i dag.
I artiklen, der beskriver hans formodninger, behandler Burnside det tilfælde, hvor gruppen ikke kun er vridning, men også har en endelig eksponent n lig med 2 eller 3, samt tilfældet, hvor n er lig med 4, og gruppen er genereret af to elementer (faktisk er en gruppe G af endelig type, således at rækkefølgen af ethvert element af G er en skillevæg på 4 altid er endelig, uanset antallet af dens generatorer). I 1905 demonstrerede han, at hver undergruppe færdig eksponent for den lineære gruppe GL ( n , ℂ ) er færdig. I 1911 beviste Issai Schur , at enhver endelig type torsionsundergruppe af GL ( n , ℂ) er endelig, og specificerer dens struktur af Jordan-Schur-sætningen .
Burnsides generelle formodning blev imidlertid afvist i 1964 af Evgeny Golod og Igor Shafarevich . I 1968 afviser Piotr Novikov og Sergei Adian endda den snæversynede version. I 1982 fandt A. Yu. Ol'shanskii nogle slående modeksempler til tilstrækkeligt store ulige eksponenter (større end 10 10 ) og leverede et betydeligt enklere bevis baseret på geometriske ideer.
Sagen med selv udstillere viste sig at være meget sværere at håndtere. Sergei Vasilievich Ivanov annoncerede i 1992 og offentliggjorde i 1994 modeksempler for selv eksponenter, der var tilstrækkeligt store og delelige med en stor magt på 2, og derefter sammen med Ol'shanskii tilvejebragt en negativ løsning på et problem svarende til Burnsides for hyperboliske grupper , forudsat at eksponenten er stor nok. I modsætning hertil er meget lidt kendt, når eksponenten er lille, men forskellig fra 2, 3, 4 og 6.
Derudover har Alexei Kostrikin (en) (1958, tilfælde af en primær eksponent) og Efim Zelmanov (1989, almindelig sag) vist, at der findes en "større" blandt de begrænsede grupper med m- generatorer og eksponent n (for hvert par ( m , n )), og i 1994 modtog Zelmanov Fields-medaljen for sit bevis for denne "korte" version af formodningen.
En gruppe G siges at være af torsion, hvis hvert af dets elementer er af endelig orden, dvs. hvis der for et hvilket som helst g i G findes et heltal n > 0, således at g n = 1. Enhver endelig gruppe er tydeligt twist. Det er let at definere uendelige grupper, som også er torsionelle, som Prüfer's p- grupper , men vanskelige at finde nogle, der er på samme tid af endelig type.
Det generelle Burnside-problem var:
Er en begrænset type torsionsgruppe nødvendigvis endelig?
Golod og Shafarevich reagerede negativt i 1964 og gav et eksempel på en uendelig p- gruppe af endelig type (se Golod-Chafarevichs sætning ). Ordren på elementerne i denne gruppe er imidlertid ikke a priori afgrænset af den samme konstant.
En del af vanskelighederne i det generelle Burnside-problem var, at begrænsningerne med "finite type" og "torsion" giver meget lidt information om den mulige struktur i en gruppe. En begrænsning, der er stærkere end “af torsion”, er “af endelig eksponent”, det vil sige, at man beder om, at der eksisterer et n , det samme for alle elementerne g i gruppen, såsom alle g n er lig med 1.
Det stædige Burnside-problem spurgte:
Er en begrænset eksponentgruppe af begrænset type nødvendigvis endelig?
Grupper eksponent n med m- generatorer, dette problem svarer til enden af Burnside-gruppen af " fri " B ( m , n ), som er "den største" gruppe i denne familie, i den forstand at alle er kanonisk af kvoter af den ene (derfor er alle endelige, hvis og kun hvis den ene er). Vi kan bygge denne gruppe, løsning på et universelt problem , ved præsentationen givet af m generatorer x 1 ,…, x m og en uendelig rækkefølge : x n = 1 for ethvert ord x i alfabetet x 1 ,…, x m , x 1 –1 ,…, x m –1 .
Vi kan derefter afklare spørgsmålet:
For hvilke heltal m , n > 0 er Burnside-gruppen B ( m , n ) endelig?
Svaret på dette spørgsmål er kun delvist kendt. I sin oprindelige artikel kiggede Burnside på et par lette tilfælde:
Vi ved også (Burnside, Sanov, Hall) det
I 2006 ved vi ikke, om B (2, 5) er færdig.
I 1968 konstruerede Novikov og Adian med et udførligt kombinatorisk argument for en hvilken som helst ulige n større end eller lig med 4 381 en uendelig gruppe af eksponent n og af endelig type. Adian reducerede efterfølgende denne nedre grænse til 665.
Hvis ingen hånd har vist sig at være meget sværere. Det var først i 1992, at det lykkedes Sergei Vasilievich Ivanov at bevise en analog af Novikov-Adian-sætningen: for enhver m > 1 findes der et jævnt heltal n ≥ 2 48 , n delbart med 29 , således at B ( m , n ) er uendelig. Både Novikov-Adian og Ivanov har etableret meget mere præcise resultater på strukturen af B ( m , n ). Det er blevet vist, at for ulige n er alle endelige undergrupper af B ( m , n ) cykliske, og at for endelig n er hver endelig undergruppe inkluderet i et produkt af to dihedrale grupper , og nogle er ikke-cykliske. Vi ved også, at (uanset pariteten af n ) ordets problemer og konjugationen (en) i B ( m , n ) kan afgøres .
En berømt klasse mod eksempler Burnside-problemet er " Tarski-monstre (en) ": de uendelige grupper er endeligt ikke-cykliske, som hver undergruppe er cyklisk ren finish. Ol'shanskii byggede i 1979 ved geometriske metoder, de første eksempler på sådanne grupper, og besvarede således bekræftende et spørgsmål om O. Yu. Schmidt. I 1982 var Ol'shanskii i stand til at forstærke sine resultater og fastslå eksistensen, for p prime stort nok (vi kan tage p > 10 75 ), af en uendelig gruppe af endelig type, af hvilken hver ikke-privat egnede undergruppe er cyklisk d orden p . I en artikel, der blev offentliggjort i 1996, løste Ivanov og Ol'shanskii benægtende et problem svarende til Burnsides for hyperboliske grupper med tilstrækkelig stor eksponent.
Det snævre Burnside-problem, formuleret i 1930'erne, rejser et andet relateret spørgsmål:
Er rækkefølgen af begrænsede grupper med eksponent n med m generatorer afgrænset af en konstant afhængig kun af n og m ? eller er antallet af disse grupper ( isomorfisme tæt ) færdig?
Denne variant af Burnsides problem kan også formuleres i form af en bestemt universel gruppe med m generatorer og eksponent n : lad M være skæringspunktet mellem alle undergrupper af B ( m , n ) d ' indeks færdig. Derefter M er en normal undergruppe , som anvendes til at definere kvotienten gruppe B 0 ( m , n ) = B ( m , n ) / M . Enhver begrænset gruppe af eksponent n med m generatorer er en kvotient på B 0 ( m , n ), og det begrænsede problem omformuleres til:
Er gruppen B 0 ( m , n ) endelig?
Sagen, hvor eksponenten n er et primært heltal p, blev undersøgt i detaljer af Kostrikin i 1950'erne før afvisning af Burnsides generelle formodning. Hans løsning, der fastlægger B 0 ( m , p ) endelighed , ved hjælp af et forhold med dybe spørgsmål om identiteten af Lie algebra i karakteristisk positiv. Den finiteness over B 0 ( m , n ) for enhver n er blevet etableret ved Zelmanov.
(en) John J. O'Connor og Edmund F. Robertson , "En historie om Burnside-problemet" , i MacTutor History of Mathematics-arkivet , University of St. Andrews ( læs online ).