p- gruppe

I matematik og mere præcist i algebra er en p- gruppe for et givet primtal p en gruppe (endelig eller uendelig), hvis hvert element har en orden på p . Et vigtigt eksempel på p- grupper er Sylow p- undergrupper fra en begrænset gruppe .

Ejendomme

Enhver undergruppe og enhver kvotient i en p- gruppe er en p- gruppe.
Omvendt, hvis H er en p - forskellig undergruppe af en gruppe G, og hvis kvotienten G / H er en p - gruppe, så er G en p - gruppe.
Vi kan tegne fra det foregående punkt, at et semi-direkte produkt af to p- grupper er en p- gruppe.
Den begrænsede sum af en familie (endelig eller uendelig) af p- grupper er en p- gruppe.
En endelig gruppe er en p- gruppe, hvis og kun hvis dens rækkefølge er en styrke af det primære tal p .
I en p- gruppe, hvis indekset i en undergruppe er endeligt, så er dette indeks en styrke på p .
Enhver ikke-triviel endelig p- gruppe har et ikke-trivielt centrum (med trivielt mener vi reduceret til det neutrale element).
Enhver endelig p- gruppe er derfor nilpotent løselig .
Lad G være en endelig p- gruppe af ordren p n . For ethvert naturligt tal r mindre end eller lig med n , indrømmer G mindst en undergruppe af orden p r .

Demonstrationer

Enhver undergruppe og kvotient i en p- gruppe er en p- gruppe.

Faktisk har et element i en undergruppe H i en gruppe G den samme rækkefølge i G og i H , og rækkefølgen af billedet af et element x af endelig orden ved en homomorfisme (her den kanoniske morfisme af en gruppe på et kvotient af denne gruppe) deler rækkefølgen af x .

Hvis H er en normal p- undergruppe af en gruppe G, og hvis kvotienten G / H er en p- gruppe, er G en p- gruppe.

Lad x være et element af G , q rækkefølgen af sin klasse i G / H , og r rækkefølgen af elementet x q (som hører til H ), så er qr en styrke på p og x qr = 1.

En endelig gruppe er en p- gruppe, hvis og kun hvis dens rækkefølge er en styrke af det primære tal p .

Lad G være en endelig gruppe af rækkefølge n . Antag først at n er en styrke på p . Ved anvendelse af Lagrange's sætning opdeler rækkefølgen af ethvert element i G rækkefølgen n af G og er derfor en styrke på p , så G er en p- gruppe. Omvendt antager du, at rækkefølgen af et hvilket som helst element i G er en styrke af p, og bevis at rækkefølgen n af G er en styrke af p . For enhver primordeler q af n , ifølge Cauchys sætning , indrømmer G et element af orden q , så q er en magt af p, derfor q = p . Således er den eneste mulige prime divisor af n er p , så n er en potens af p .

I en p- gruppe G , hvis indekset for en undergruppe H er endeligt, er dette indeks en styrke på p.

Hvis H har en endelig indeks derefter sin kerne H G (dvs. skæringspunktet for dets konjugater ) også, så G / H G er en endelig p -gruppe. Dens rækkefølge [ G : H G ] er derefter en styrke af p, så [ G : H ] (som deler den) også.

Hver ikke-triviel, begrænset p- gruppe har et ikke-trivielt center.

Lad G være en ikke- privat begrænset p- gruppe. Dens rækkefølge er derfor en ikke-nul effekt på p . Undersøgelsen af handlingen ved konjugation af G på sig selv giver ligningen til klasserne . Det giver mulighed for at udtrykke kardinalen i centrum Z ( G ) i form:

Kort (Z (G)) = Kort (G) - \ sum _ {i} {\ frac {Kort (G)} {Kort (Z_ {i})}},

hvor Z jeg er undergrupper af G distinkte fra G , så summen indekseret af jeg er en sum af ikke-nul beføjelser s . Det følger heraf, at kardinaliteten af Z ( G ) kan deles med p og derfor ikke kan være lig med 1, hvilket fuldender beviset.

Enhver endelig p- gruppe er derfor nilpotent løselig.

Enhver nilpotentgruppe kan løses, så det er tilstrækkeligt at vise, at G er nilpotent. Lad os bevise det ved induktion på n , hvor rækkefølgen af G antages at være lig med p n .
Hvis n er lig med nul , er gruppen triviel og derfor nilpotent.
Lad n > 0 og antage, at egenskaben er sand for enhver effekt, der er mindre end eller lig med n - 1. Lad Z være centrum for gruppen, det er skelnet og ikke-trivielt, så G / Z er en p-gruppe af bestille en effekt på p mindre end eller lig med n - 1 og er nulpotent. Det faktum, at G / Z er nulpotent, viser at G er.

Lad G være en endelig p- gruppe af ordren p n . For enhver naturligt tal r mindre end eller lig med n , G indrømmer mindst en undergruppe af orden p r .
Da G kan løses, har hver kvotient i en Jordan-Hölder-sekvens af G et primtal for ordre . Denne rækkefølge, der dividerer med G , skal være lig med p . Erklæringen følger tydeligt. (Vi kan endda bevise, at antallet af undergrupper i orden p r af G er kongruent til 1 modulo p .)

Enhver begrænset ikke-abelsk p- gruppe har mindst en ikke- indvendig automorfisme af orden en magt på p .
Enhver automorfisme af en p- gruppe G af orden p n inducerer en automorfisme af kvotienten af G ved sin Frattini-undergruppe Φ ( G ) = G p [ G , G ] . Denne kvotient er en elementær abelsk gruppe (en) ( ℤ / p ℤ ) d , hvis automorfisme er GL ( d , F p ) , af rækkefølge ( p d - 1) ( p d - p ) ( p d - p 2 ) ... ( p d - p d –1 ). Den kerne i kanoniske morphism fra Aut ( G ) ind Aut ( G / Φ ( G )) har for ordre en divisor af p d ( n - d ) .

Bemærk: enhver gruppe af ordre p 2 er abelsk . Ja, hvis Z er den (ikke-triviel) centrum af en sådan gruppe G derefter G / Z er cyklisk (på grund af orden 1 eller p ) derfor G genereres ved foreningen af Z og a ugifte, således at G er abelsk. (Det er derfor enten cyklisk eller produktet af to cykliske grupper af rækkefølge s .)

Noter og referencer

Bemærkninger

Denne definition er i overensstemmelse med Scott 1987 , s. 91; Calais 1984 , s. 295; Rotman 1999 , s. 73; Hall 1976 , s. 45; M. Reversat og B. Bigonnet, Algèbre pour la licens, Cours etøvelser corrigés , Dunod, 2000, s. 51. På den anden side har N. Bourbaki , Algebra , vol. I, Paris, 1970, kap. I, § 6, nr. 5, def. 9, s. I.72, kalder p- gruppe for et givet primtal p , en endelig gruppe, hvis rækkefølge er en styrke på p . Denne definition af Bourbaki forekommer også i (en) S. Lang, Algebra , Addison-Wesley, 1978, s. 2 og Perrin 1996 , s. 9.
Rotman 1999 , s. 76.
(de) Wolfgang Gaschütz (de) , " Nichtabelsche $p$ -Gruppen besitzen äussere $p$ -Automorphismen " , J. Algebra , vol. 4,1966, s. 1-2 ( læs online ).
(i) Philip Hall , " Et bidrag til teorien om grupper af prime-magt orden " , Proc. Lond. Matematik. Soc. , iI, vol. 36,1933, s. 29-95 ( zbMATH 59.0147.02 ).
Denne egenskab er en standardøvelse i algebra-lærebøger, for eksempel Perrin 1996 , s. 34.

Referencer

J. Calais, Elements of group theory , Paris, PUF ,1984, 3 e ed. ( ISBN 978-2-13-038465-6 )
(en) Marshall Hall, Jr. , Theory of Groups [ detaljer af udgaver ]
Serge Lang , Algebra [ detaljer af udgaver ]
Daniel Perrin , Cours d'Algebre [ detaljerede udgaver ]
(en) Joseph J. Rotman (en) , En introduktion til teorien om grupper [ detaljer om udgaver ]
(en) WR Scott, Group Theory , Dover ,1987( 1 st ed. 1964) ( læst linie )

Se også

Relaterede artikler

Heisenberg-gruppen på F p
Prüfer-gruppe
Sylows sætninger
Frattinis sætning
Tarski monster group (en)
almindelig p-gruppe (i)
Pro-p-gruppe (da)

Bibliografi

(en) Yakov Berkovich og Zvonimir Janko , Groups of Prime Power Order , vol. 1 ( ISBN 978-3110204186 ) og 2 ( ISBN 978-3110204193 ) , De Gruyter, 2008

Eksternt link

Gruppe teori kursus af N. Jacon fra universitetet i Franche-Comté