I matematik er en rod af et polynom P ( X ) en værdi α således at P (α) = 0. Det er derfor en løsning af polynomligningen P ( x ) = 0 af ukendt x , eller igen, et nul på den tilknyttede polynomfunktion . For eksempel er rødderne til X 2 - X 0 og 1.
Et polynom uden nul med koefficienter i et bestemt felt kan kun have rødder i et "større" felt og har aldrig mere end dets grad. For eksempel har X 2 - 2, som er af grad 2 og med rationelle koefficienter , ingen rationel rod, men har to rødder i ℝ (derfor også i ℂ ). Den d'Alembert-Gauss sætning indikerer, at enhver polynomium med komplekse koefficienter af graden n indrømmer n komplekse rødder (ikke nødvendigvis er adskilte).
Begrebet "rod" er under navnet "nul" generaliseret til et polynom i flere ubestemte .
Vi betragter et polynom P ( X ) med en ubestemt bemærket her X med koefficienter i et felt eller mere generelt en kommutativ ring A (koefficienterne kan derfor høre til en underring ).
Definition af root - A rod i A af polynomiet P er et element α af en sådan, at hvis man erstatter den ubestemte X værdien α, opnår man en nul-ekspression i A .
Således har polynomet X 2 - 2 med koefficienter i ℚ (derfor også i ℝ eller ℂ) ingen rod i ℚ men har to i ℝ ( √ 2 og - √ 2 ) derfor også i ℂ. Faktisk, hvis vi erstatter √ 2 eller - √ 2 med X i polynomet, finder vi 0.
Etymologi : Udtrykket rod kommer fra de latinske oversættelser af Robert de Chester og Gérard de Cremona af udtrykket gizr . Ordet gizr betyder "rod", det oversættes til latin som radix . Udtrykket gizr bruges af matematikeren persiske oprindelse VIII th århundrede Al-Khwarizmi i sin afhandling Kitab al-Jabr wa al-muqabala , der beskæftiger sig for første gang i en omfattende måde, beregning af reelle rødder af andengradsligning.
Ækvivalent definition - En rod i A af polynomet P er et element α af A, således at P ( X ) kan deles med X - α (i A [ X ]).
Faktisk, hvis P ( X ) = ( X - α) Q ( X ) så er P (α) = 0 og omvendt, hvis P (α) = 0 så er P ( X ) lig med P ( X ) - P ( α), lineær kombination af polynomer med formen X k - α k , alle delelige med X - α .
I det valgte eksempel er ligestillingen:
er en anden måde at bemærke, at √ 2 og - √ 2 faktisk er de to rødder til polynomet.
Den enkle kendsgerning, at polynomet X - α er enhed, gør det muligt - uden at antage A at integrere - at definere følgende forestillinger:
Multiplikhedsrækkefølge, enkelt rod, multipel rod - Hvis P ikke er nul, for ethvert element α af A :
Polynomet X 2 - 2 kan adskilles , dvs. det har ingen flere rødder. Det er desuden delt på ℝ i følgende betydning:
Polynomial delte - Hvis P er produceret i de første grad polynomier med koefficienter i en kommutativ L , siger vi, at det polynomium P er delt på L .
P er så ikke-nul, og dens dominerende koefficient er produktet af de dominerende koefficienter for disse første graders polynomer. Mere generelt siger vi, at et ikke-nul polynom af L [ X ] er delt over L, hvis det er et produkt af en konstant og et produkt (muligvis tomt ) af enhedspolynomer af første grad. En sådan nedbrydning er derefter unik: hver konstante betegnelse for en af disse enhedspolynomer af første grad er lig med det modsatte af en rod af P i L , og hvis denne rod er af orden m , gentages denne faktor m gange. Antallet af disse faktorer er lig med graden af P .
Enhver ægte polynomligning med ulige grader indrømmer mindst en reel løsning.
Det er en anvendelse af sætningen af mellemliggende værdier .
Lad K være et felt og P et polynomium med ubestemt og med koefficienter i K .
En udvidelse af K er et felt, der indeholder K ; således er ℝ og ℂ udvidelser af ℚ.
Et naturligt spørgsmål opstår, hvis L 1 og L 2 er to udvidelser af K, hvor P er delt, er rødderne, set som elementer i L 1 , "ækvivalente" med rødderne set som elementer i L 2 ? Denne ækvivalens eksisterer: der findes i L 1 en "mindre" underforlængelse, kaldet nedbrydningsfeltet for P , der indeholder alle rødderne til P , og ligeledes i L 2 , og disse to underforlængelser af K er identiske. I eksemplet K = ℚ, P = X 2 - 2 er dette nedbrydningsfelt sæt af tal i formen a + b √ 2 , hvor a og b er rationelle tal. Dette sæt er identificeret (ved en ikke-unik isomorfisme ) med et unikt underfelt på ℝ og feltet ℚ med algebraiske tal . Således kan parret rødder { √ 2 , - √ 2 } inkluderet i ℝ betragtes som identisk med det, der er inkluderet i ℚ .
Eksistens rødder - Der er en mindre udvidelse L af K , én til isomorfi , da P er fordelt over L . Forlængelsen L kaldes spaltningslegemet af P på K .
Feltet L er sådan, at polynomet P er delt; Men en anden polynomium med koefficienter i K er ikke nødvendigvis deles på L . Så meget desto mere et polynomium med koefficienter i L er ikke nødvendigvis delt på L enten . De siger en krop L er algebraisk lukket, hvis hver polynomiumskoefficienter i L er opdelt i L .
Eksistensen af en algebraisk lukning - Der findes en mindre algebraisk lukket forlængelse af K , unik indtil isomorfisme. Forlængelsen L kaldes algebraisk lukning af K .
Feltet ℂ er algebraisk lukket, et resultat kendt under navnet d'Alembert-Gauss sætning . Den algebraiske lukning af ℝ er ℂ. Det af ℚ er underfeltet ℚ .
Sætning - Lad A være en kommutativ ring, P et polynomium med koefficienter i A og a en rod sekvens m af P . Så:
Ved hypotese er P ( X ) af formen ( X - α) m Q ( X ) med m > 0 og Q (α) ≠ 0. Ved differentiering får vi P ' ( X ) = ( X - α) m –1 R ( X ), med R ( X ) = mQ ( X ) + ( X - α) Q ' ( X ), så R (α) = mQ (α), hvilket beviser det første punkt. De to andre udledes af gentagelse .
En anden metode er at bruge Leibnizs regel , som også gælder for formelle derivater .
I særdeleshed :
På et felt med karakteristikken p > 0 er dette sidste kriterium ikke gyldigt, fordi polynomet afledt af X p er nul.
Vi kan bruge Mullers metode til at beregne rødderne til et polynom. Vi interpolerer polynomet P ved et polynom af grad to: ifølge den Lagrangiske interpolation . Vi finder koefficienterne ved at evaluere P på tre punkter ( ):
med:
Men ved at bruge denne tilnærmelsespolynom er valget af roden til dette polynom problematisk. Müller havde derefter idé at bruge den samme polynomium, men i form: med hvilket vil tendere mod roden. Særlige træk ved denne algoritme: kan være et komplekst tal. Koefficienter:
Denne metode er autokonvergent: beregningen af roden vil blive raffineret lidt efter lidt. Vi kan derfor starte med , og og . Så længe polynomet ikke forsvinder , går vi til næste iteration med:
Endelig er nul
Hele rødderne til et polynom med heltalskoefficienter på gecif.net
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">