Rotation

Den roterende operatør er en differensoperatoren med partielle afledede , der i et tredimensionalt vektorfelt , betegnet eller , passer et andet område betegnet med valg: PÅ{\ displaystyle \ mathbf {A}}PÅ→{\ displaystyle {\ vec {\ mathrm {A}}}}

burp→ PÅ→{\ displaystyle {\ overrightarrow {\ operatorname {rot}}} \ {\ vec {\ mathrm {A}}}}enten eller godt eller godt eller∇∧PÅ{\ displaystyle {\ boldsymbol {\ nabla}} \ wedge \ mathbf {A}}∇×PÅ{\ displaystyle {\ boldsymbol {\ nabla}} \ times \ mathbf {A}}∇→∧PÅ→{\ displaystyle {\ vec {\ nabla}} \ wedge {\ vec {\ mathrm {A}}}}∇→×PÅ→{\ displaystyle {\ vec {\ nabla}} \ times {\ vec {\ mathrm {A}}}}

i henhold til notationskonventionerne brugt til vektorerne.

Det er sværere at repræsentere så præcist som gradienten og divergensen , det udtrykker tendensen for feltlinierne i et vektorfelt til at dreje rundt om et punkt: dets lokale cirkulation på en lille blonder omkring dette punkt er ikke nul, når dets rotation ikke er. For eksempel :

• i en tornado , vinden roterer omkring øjnene af cyklonen og vindhastigheden vektorfelt har en ikke-nul drejende omkring øjet. Rotationen af ​​dette hastighedsfelt (med andre ord virvelfeltet eller endda hvirvelfeltet ) er desto mere intens, jo tættere vi er på øjet. Den øjeblikkelige rotationshastighed for et volumenelement i en vortex er halvdelen af ​​rotationen på dette tidspunkt.
• rotationen af ​​hastighedsfeltet for et fast stof, der roterer med vinkelhastigheden, er rettet langs rotationsaksen og orienteret på en sådan måde, at rotation finder sted i forhold til det i den direkte retning og er simpelthen ens .V(r){\ displaystyle \ mathbf {V} (\ mathbf {r})}Ω{\ displaystyle {\ boldsymbol {\ Omega}}}2 Ω{\ displaystyle 2 \ {\ boldsymbol {\ Omega}}}

Begrebet rotationshastighed er afgørende i fluidmekanik . Den beskriver en rotation af væskepartiklen. Hvis strømmen er irrotational (dens rotation er nul på et hvilket som helst punkt), i matematiske termer, er hastighedsvektoren derefter potentialets gradient (vi siger, at hastighederne "stammer fra et potentiale  "). Hvis væsken kan betragtes som ukomprimerbar , annulleres divergensen af ​​denne vektor. Den Laplacian af potentialet er derfor nul: det er en harmonisk potentiale, som tilfredsstiller Laplace ligningen .

Definition

Rotationen er en operatør, der omdanner et felt af vektorer til et andet felt af vektorer.

I et rum med 3 dimensioner og i kartesiske koordinater (derfor på direkte ortonormal basis ) kan man definere rotationen af ​​et felt F  (F x , F y , F z ) ved forholdet

∇∧F=(∂Fz/∂y-∂Fy/∂z∂Fx/∂z-∂Fz/∂x∂Fy/∂x-∂Fx/∂y)⟺∇→×F→=∇→∧F=(∂Fz∂y-∂Fy∂z)ux→+(∂Fx∂z-∂Fz∂x)uy→+(∂Fy∂x-∂Fx∂y)uz→{\ displaystyle {\ boldsymbol {\ nabla}} \ wedge \ mathbf {F} = {\ begin {pmatrix} {\ partial \ mathrm {F} _ {z} / \ partial y} - {\ partial \ mathrm {F } _ {y} / \ partial z} \\ {\ partial \ mathrm {F} _ {x} / \ partial z} - {\ partial \ mathrm {F} _ {z} / \ partial x} \\ { \ partial \ mathrm {F} _ {y} / \ partial x} - {\ partial \ mathrm {F} _ {x} / \ partial y} \ end {pmatrix}} \ Longleftrightarrow {\ vec {\ nabla}} \ times {\ vec {F}} = {\ vec {\ nabla}} \ wedge {F} = {\ bigg (} {\ frac {\ partial F_ {z}} {\ partial y}} - {\ frac {\ partial F_ {y}} {\ partial z}} {\ bigg)} {\ vec {u_ {x}}} + {\ bigg (} {\ frac {\ partial F_ {x}} {\ partial z }} - {\ frac {\ partial F_ {z}} {\ partial x}} {\ bigg)} {\ vec {u_ {y}}} + {\ bigg (} {\ frac {\ partial F_ {y }} {\ partial x}} - {\ frac {\ partial F_ {x}} {\ partial y}} {\ bigg)} {\ vec {u_ {z}}}},

hvor betegner operatøren nabla . Den formelle analogi med et krydsprodukt retfærdiggør notationen (vi finder også notationen i den engelske litteratur i overensstemmelse med Gibbs 'notation for krydsproduktet). ∇{\ displaystyle {\ boldsymbol {\ nabla}}}∇∧{\ displaystyle {\ boldsymbol {\ nabla}} \ wedge}∇×{\ displaystyle {\ boldsymbol {\ nabla}} \ times}

Dette kan også skrives ved misbrug af notation ved hjælp af en determinant  :

∇∧F=|jegjk∂∂x∂∂y∂∂zFxFyFz|{\ displaystyle {\ boldsymbol {\ nabla}} \ wedge \ mathbf {F} = {\ begin {vmatrix} \ mathbf {i} & \ mathbf {j} & \ mathbf {k} \\ {\ frac {\ partial } {\ partial x}} & {\ frac {\ partial} {\ partial y}} & {\ frac {\ partial} {\ partial z}} \\\ mathrm {F} _ {x} & \ mathrm { F} _ {y} & \ mathrm {F} _ {z} \ end {vmatrix}}}

hvor i , j , k svarer til vektorerne på det betragtede ortonormale grundlag. Dette sidste udtryk er tilsyneladende lidt mere kompliceret end det forrige, men det generaliseres let til andre koordinatsystemer (se nedenfor).

Definitionen er ikke afhængig af basen, hvor vi skriver F . For at forklare denne uafhængighed kan foretrække en definition, der ikke refererer koordinaterne F . Således er en iboende definition (blandt andre) af rotation som følger. Fra en konstant vektor X 0 og feltet F kan man konstruere det felt, hvis divergens er en lineær form over for X 0 og derfor udtrykkelig i form af et skalarprodukt K · X 0 , hvor K viser sig at være det modsatte af rotationen af F  : x0∧F{\ displaystyle \ mathbf {X_ {0}} \ wedge \ mathbf {F}}

∇⋅(x0∧F)=-(∇∧F)⋅x0.{\ displaystyle {\ boldsymbol {\ nabla}} \ cdot (\ mathbf {X_ {0}} \ wedge \ mathbf {F}) = - ({\ boldsymbol {\ nabla}} \ wedge \ mathbf {F}) \ cdot \ mathbf {X_ {0}}.}

En anden mulig definition, mere generel men vanskeligere at formalisere, består i at definere rotationen af ​​et vektorfelt på et punkt som den lokale cirkulation af feltet omkring dette punkt. Den nøjagtige betydning af denne definition følger af Green's sætning, som for en grænseoverflade antyder S{\ displaystyle S}VS{\ displaystyle C}

∮VSF⋅dl=∬S(∇∧F)⋅ds{\ displaystyle \ oint _ {\ mathrm {C}} \ mathbf {F} \ cdot \ mathbf {dl} = \ iint _ {\ mathrm {S}} ({\ boldsymbol {\ nabla}} \ wedge \ mathbf { F}) \ cdot \ mathbf {ds}}

Som med krydsproduktet af to vektorer er rotation af et vektorfelt, der er sandt ved et punkt, en pseudovektor .

Rotations tensor

I virkeligheden kan rotationen kun beskrives strengt inden for rammerne af tensorernes formalisme . I denne sammenhæng anvendes rotationen på en lineær form ƒ for at danne en tensor af rækkefølge 2. Dets komponenter er skrevet

[burpf]påb=∂påfb-∂bfpå{\ displaystyle [\ operatorname {rot} \; f] _ {ab} = \ partial _ {a} f_ {b} - \ partial _ {b} f_ {a}}.

Dette udtryk involverer kun almindelige derivater og ikke covariante derivater . Forskellen, der opstår, er den samme, uanset om vi betragter almindelige derivater eller covariante derivater. Dette udtryk kan ved konstruktion ses som en antisymmetrisk matrix. I dimension 3 er der en korrespondance med vektorer (med tre komponenter) og antisymmetriske matricer (med tre uafhængige komponenter). Vi kan derfor assimilere denne matrix til en vektor. Teknisk set er korrespondancen lavet med tensoren Levi-Civita ε , som gør det muligt at konstruere den dobbelte vektor af en rækkefølge antisymmetrisk tensor 2. Krøllen af ​​et vektorfelt er defineret som den tredimensionelle dual af den roterende tensor:

[burpf]vs.=12εvs.påb(∂påfb-∂bfpå){\ displaystyle [\ operatorname {rot} \; f] ^ {c} = {\ frac {1} {2}} \ varepsilon ^ {cab} \ left (\ partial _ {a} f_ {b} - \ partial _ {b} f_ {a} \ right)}.

Når først en metrisk g er defineret , kan man let konstruere rotationen af ​​en vektor ved hjælp af metricen til at transformere vektoren til dens tilknyttede lineære form og derefter bruge ovenstående formel. For en vektor en af komponenterne a b , vi har

[burppå]vs.=12εvs.påb(∂på(gbdpåd)-∂b(gpådpåd))=12εvs.påb(∂påpåb-∂bpåpå)=εvs.påb∂påpåb{\ displaystyle [\ operatorname {rot} \; a] ^ {c} = {\ frac {1} {2}} \ varepsilon ^ {cab} \ left (\ partial _ {a} (g_ {bd} a ^ {d}) - \ partial _ {b} (g_ {ad} a ^ {d}) \ right) = {\ frac {1} {2}} \ varepsilon ^ {cab} \ left (\ partial _ {a } a_ {b} - \ partial _ {b} a_ {a} \ right) = \ varepsilon ^ {cab} \ partial _ {a} a_ {b}}.

Det er selvfølgelig dette udtryk, der skal bruges til beregning af rotationen i et ikke-kartesisk koordinatsystem (for eksempel cylindrisk eller sfærisk, se nedenfor).

Ordforråd

Et vektorfelt, hvis rotation er nul, er et irrotationsfelt eller konservativt felt.

Beregningsregler

Lineæritet

For enhver reel konstant c og for alle vektorfelterne A og B

∇∧(vs.PÅ)=vs. ∇∧PÅ{\ displaystyle {\ boldsymbol {\ nabla}} \ wedge (c \ mathbf {A}) = c \ {\ boldsymbol {\ nabla}} \ wedge \ mathbf {A}}, ∇∧(PÅ+B)=∇∧PÅ+∇∧B{\ displaystyle {\ boldsymbol {\ nabla}} \ wedge (\ mathbf {A} + \ mathbf {B}) = {\ boldsymbol {\ nabla}} \ wedge \ mathbf {A} + {\ boldsymbol {\ nabla} } \ wedge \ mathbf {B}}.

Sammensætning med en anden mængde

For ethvert skalarfelt u ,

∇∧(uPÅ)=u∇∧PÅ+(∇u)∧PÅ{\ displaystyle {\ boldsymbol {\ nabla}} \ wedge (u \; \ mathbf {A}) = u {\ boldsymbol {\ nabla}} \ wedge \ mathbf {A} + ({\ boldsymbol {\ nabla}} u) \ wedge \ mathbf {A}}, ∇∧(PÅ∧B)=(B⋅∇)PÅ-(PÅ⋅∇)B+PÅ(∇⋅B)-B(∇⋅PÅ){\ displaystyle {\ boldsymbol {\ nabla}} \ wedge (\ mathbf {A} \ wedge \ mathbf {B}) = (\ mathbf {B} \ cdot {\ boldsymbol {\ nabla}}) \ mathbf {A} - (\ mathbf {A} \ cdot {\ boldsymbol {\ nabla}}) \ mathbf {B} + \ mathbf {A} ({\ boldsymbol {\ nabla}} \ cdot \ mathbf {B}) - \ mathbf { B} ({\ boldsymbol {\ nabla}} \ cdot \ mathbf {A})}, hvor notationen repræsenterer en skalaroperator på hver koordinat af den vektor, den gælder for .(PÅ⋅∇){\ displaystyle (\ mathbf {A} \ cdot {\ boldsymbol {\ nabla}})}(PÅ⋅∇)B=(PÅ⋅∇BxPÅ⋅∇ByPÅ⋅∇Bz){\ displaystyle (\ mathbf {A} \ cdot {\ boldsymbol {\ nabla}}) \ mathbf {B} = {\ begin {pmatrix} \ mathbf {A} \ cdot \ nabla \ mathbf {B} _ {x} \\\ mathbf {A} \ cdot \ nabla \ mathbf {B} _ {y} \\\ mathbf {A} \ cdot \ nabla \ mathbf {B} _ {z} \ end {pmatrix}}}

Komposition med flere operatører

∇∧(∇u)=0  {\ displaystyle {\ boldsymbol {\ nabla}} \ wedge ({\ boldsymbol {\ nabla}} u) = {\ boldsymbol {0}} \ \}, dvs. gradientens rotation er altid nul, ∇ ⋅ (∇∧PÅ)=0  {\ displaystyle {\ boldsymbol {\ nabla}} {\ boldsymbol {\}} \ cdot \ ({\ boldsymbol {\ nabla}} \ wedge \ mathbf {A}) = {\ boldsymbol {0}} \ \}, dvs. rotationsdivergensen er altid nul,∇∧(∇∧PÅ)=∇(∇⋅PÅ)-ΔPÅ{\ displaystyle {\ boldsymbol {\ nabla}} \ wedge ({\ boldsymbol {\ nabla}} \ wedge \ mathbf {A}) = {\ boldsymbol {\ nabla}} ({\ boldsymbol {\ nabla}} \ cdot \ mathbf {A}) - \ Delta \ mathbf {A}}

(Se rotation af rotation )

∇∧(PÅ⋅∇PÅ)=PÅ⋅∇(∇∧PÅ)-(∇∧PÅ)⋅∇PÅ{\ displaystyle {\ boldsymbol {\ nabla}} \ wedge (\ mathbf {A} \ cdot {\ boldsymbol {\ nabla}} \ mathbf {A}) = \ mathbf {A} \ cdot {\ boldsymbol {\ nabla} } ({\ boldsymbol {\ nabla}} \ wedge \ mathbf {A}) - ({\ boldsymbol {\ nabla}} \ wedge \ mathbf {A}) \ cdot {\ boldsymbol {\ nabla}} \ mathbf {A }}

Ekspression i andre koordinatsystemer

I cylindriske koordinater ∇∧PÅ=(1r∂PÅz∂θ-∂PÅθ∂z)ur+(∂PÅr∂z-∂PÅz∂r)uθ+1r(∂∂r(rPÅθ)-∂PÅr∂θ)uz{\ displaystyle {\ boldsymbol {\ nabla}} \ wedge \ mathbf {A} = \ left ({\ frac {1} {r}} {\ frac {\ partial \ mathrm {A} _ {z}} {\ delvis \ theta}} - {\ frac {\ partial \ mathrm {A} _ {\ theta}} {\ partial z}} \ højre) \ mathbf {u_ {r}} + \ venstre ({\ frac {\ partial \ mathrm {A} _ {r}} {\ partial z}} - {\ frac {\ partial \ mathrm {A} _ {z}} {\ partial r}} \ right) \ mathbf {u _ {\ theta }} + {\ frac {1} {r}} \ left ({\ frac {\ partial} {\ partial r}} (r \ mathrm {A} _ {\ theta}) - {\ frac {\ partial \ mathrm {A} _ {r}} {\ partial \ theta}} \ right) \ mathbf {u_ {z}}}. I sfæriske koordinater

Ved at vælge at aftale fysisk notation (i henhold til standarden ISO 31-11 ), enten  : (x,y,z)⟶(rcos⁡φsynd⁡θ,rsynd⁡φsynd⁡θ,rcos⁡θ),0≤θ≤π,0≤φ<2π{\ displaystyle (x, y, z) \ longrightarrow (r \ cos \ varphi \ sin \ theta, r \ sin \ varphi \ sin \ theta, r \ cos \ theta), 0 \ leq \ theta \ leq \ pi, 0 \ leq \ varphi <2 \ pi}

∇∧PÅ=1rsynd⁡θ(∂∂θ(synd⁡θPÅφ)-∂PÅθ∂φ)ur+(1rsynd⁡θ∂PÅr∂φ-1r∂∂r(rPÅφ))uθ+1r(∂∂r(rPÅθ)-∂PÅr∂θ)uφ{\ displaystyle {\ boldsymbol {\ nabla}} \ wedge \ mathbf {A} = {\ frac {1} {r \ sin \ theta}} \ left ({\ frac {\ partial} {\ partial \ theta}} (\ sin \ theta \ mathrm {A} _ {\ varphi}) - {\ frac {\ partial \ mathrm {A} _ {\ theta}} {\ partial \ varphi}} \ højre) \ mathbf {u_ {r }} + \ left ({\ frac {1} {r \ sin \ theta}} {\ frac {\ partial \ mathrm {A} _ {r}} {\ partial \ varphi}} - {\ frac {1} {r}} {\ frac {\ partial} {\ partial r}} (r \ mathrm {A} _ {\ varphi}) \ right) \ mathbf {u _ {\ theta}} + {\ frac {1} {r}} \ left ({\ frac {\ partial} {\ partial r}} (r \ mathrm {A} _ {\ theta}) - {\ frac {\ partial \ mathrm {A} _ {r}} {\ partial \ theta}} \ right) {\ boldsymbol {\ mathbf {u _ {\ varphi}}}}}.

Enhed

I det sædvanlige tilfælde, hvor koordinaterne for basen repræsenterer længder, er rotationsenheden derefter den enhed af det felt, der betragtes divideret med en længdeenhed. For eksempel er rotationsenheden i et hastighedsfelt radianen pr. Tidsenhed som en vinkelhastighed.

Noter og referencer

1. I håndskrift, hvor der er vanskelige at opnå fed skrift, foretrækkes en af ​​de sidste to notationer, men i et værk finder vi ofte den første notation.
2. Sciences.ch (vektorberegning)
3. Dette er helt korrekt, hvis én begrænser sig til det tilfælde, hvor torsion er nul. Men selv i nærværelse af ikke-nul torsion forbliver udtrykket med almindelige derivater en tensor.
4. Følgende formler, udtrykt med traditionelle operatorer, bliver: rådne (u A ) = u rådne ( A ) + (grad u) ∧ A og rådne ( A ∧ B ) = (grad A ) ⋅ B - (grad B ) ⋅ A + A div B - B div A hvor vi definer gradienten af ​​en vektor ved dens Jacobianske matrix. Jævnfør for eksempel Pierre Pernes , Introduktion til mekanik deformerbare medier: Elementer af tensor beregning , quae ,2003, 441  s. ( ISBN  978-2-85362-612-5 , læs online ), demonstrationer s.  221-223 og definition af gradienten af ​​et vektorfelt (som er et felt med tensorer i rækkefølge 2) s.  176 og efterfølgende
5. "  Matematiske værktøjer til mekanik: Arbejdsark 7: Vektoranalyse  " , på http://math.univ-lille1.fr/ , år 2013-2014

Se også

• Rotationssætning
• Rotation fra rotation
• Nabla , som bruges til at betegne både rotationen, divergensen og gradienten
• Vector analyse
• Pseudovektor
• Irrotationsfelt