Begrænset suite
I matematik siges en sekvens at være afgrænset, hvis sæt af dens værdier er en afgrænset del .
Eksempler
En reel sekvens ( u n ) er afgrænset, hvis den forbliver mellem to faste værdier m og M :
(med andre ord, hvis øvre grænse og den nedre grænse af sættet af dens udtryk er begrænset), eller på ækvivalent måde, hvis dets absolutte værdi er forøget med en konstant M :
For at en sekvens kan afgrænses, er det tilstrækkeligt for den at være "fra en bestemt rang". Faktisk, hvis | x n | ≤ K for alle n > N derefter | x n | ≤ M for alle n , ved at indstille M = max (| x 0 |, | x 1 |,…, | x N |, K ).
- Enhver konvergerende sekvens er følgelig afgrænset (for eksempel sekvensen u n = (–1) n / ( n + 1), der konvergerer til 0, forbliver mellem u 1 = –1/2 og u 0 = 1).
- Enhver reel sekvens, som har tendens til ± ∞, er ubegrænset (for eksempel: u n = 2 n , som har tendens til + ∞ ).
- For en ikke- monoton sekvens er de gensidige falsk:
- en afgrænset sekvens er ikke nødvendigvis konvergent ( modeksempel : u n = (–1) n afgrænses - øges med 1 og reduceres med –1 - men tillader ikke en grænse);
- for at en sekvens skal have tendens til ± ∞ , er det ikke nok for den at være ubegrænset (modeksempel: den sekvens, der er værd 0 for n lige og n for n ulige).
En sekvens af komplekse tal u n = x n + i y n er afgrænset, hvis dets modul er afgrænset af en konstant, eller på en ækvivalent måde, hvis de to reelle sekvenser ( x n ) og ( y n ) udgøres af dens reelle del og dens imaginære del er afgrænset.
Adhæsionsværdier for en reel afgrænset sekvens
En af de store interesser afgrænset sekvenser ligger i det faktum, at der fra en hvilken som helst afgrænset virkelige sekvens, kan vi udtrække en konvergent subsekvens . Denne ejendom, tæt knyttet til Borel-Lebesgue ejendommen , kaldes undertiden "Bolzano-Weierstrass ejendom". Forskellige beviser kan findes i artiklen Bolzano-Weierstrass sætning .
Eksempler :
- hvis x n = (–1) n , så konvergerer undersekvensen ( x 2 n ) af vilkårene for lige rang til 1, og undersekvensen ( x 2 n +1 ) af vilkårene for ulige rang konvergerer til –1;
- man er muligvis ikke i stand til at forklare en sådan konsekvens. For eksempel findes der strengt stigende heltal n 1 , n 2 , ..., n k , ... sådan at synd ( n k ) konvergerer, men vi har ikke et udtryk .
- den enkleste situation er, at hvor den afgrænsede sekvens er mere monoton: i dette tilfælde er den allerede konvergent i henhold til monoton grænse sætning