I matematik er grænsen for en sekvens intuitivt det element, hvis vilkår for sekvensen kommer tættere på, når indekserne bliver meget store. Denne intuitive definition er næppe anvendelig, fordi det ville være nødvendigt at være i stand til at definere betydningen af "at komme nærmere". Denne forestilling indebærer eksistensen af en afstand (induceret af den absolutte værdi i ℝ , af modulet i ℂ , af normen i et normeret vektorrum ), men vi vil se, at vi endda kan klare os uden den forudsat at vi har en topologi . I denne artikel vil først blive præsenteret forestillingen om grænsen for reel sekvens , derefter den for kompleks sekvens og først efter, selvom det betyder at være overflødig, grænsen i et topologisk rum .
Hvis formaliseringen af grænsen for en suite kommer ret sent, går dens intuitive brug mere end 2000 år tilbage. I elementerne i Euclid (X.1) læser vi: "I betragtning af to ulige størrelser trækkes dog den største mere end halvdelen, og resten afskæres mere end halvdelen, og vi fortsætter altid på denne måde, vi vil ender med en mængde, der er mindre end den mindste angivne ” . På det nuværende sprog ville det give:
enten (bemærk simpelthen ) en sekvens af reel positiv, således at der for alle n , så for reel alle positive , findes der et indeks sådan, at . Hvilket næsten er definitionen på en sekvens med en grænse på 0.Nogle tror måske, at denne fortolkning af Euclids tiende element er en vildfarlig modernisering, det er tilstrækkeligt at misbruge dem ved at se på Archimedes 'brug i hans metoder til kvadratur . Søger at beregne arealet af disken eller området under en parabel , for eksempel, søger han at nærme sig den ved områder af polygoner og derefter bemærker forskellen mellem det søgte areal og arealet af polygonen. Han viser, at denne forskel ved hvert trin er blevet reduceret med mere end halvdelen, og det er sådan, han konkluderer, at ved at fortsætte processen på ubestemt tid, vil vi være så tæt som vi ønsker det ønskede område. Dette er " udmattelsesmetoden ".
Denne intuition af den dårligt formaliserede grænse vil dog ikke gøre det muligt at fjerne Zenos paradokser som Achilles og skildpadden : Achilles starter med et handicap A og løber dobbelt så hurtigt som skildpadden. Når han ankommer til skildpaddens startpunkt, har sidstnævnte allerede kørt afstanden A / 2 , Achilles kører derefter afstanden A / 2, men skildpadden har kørt afstanden A / 4 , ved dette tog indhenter Achilles ikke kun med skildpadden efter et uendeligt antal processer, det vil sige aldrig .
Det var derefter nødvendigt at vente 1.600 år og arbejde med Grégoire de Saint-Vincent for at se et forsøg på ufuldkommen formalisering, derefter den uendelige calculus af Newton og Leibniz .
Vi siger, at en reel sekvens indrømmer som grænse en reel ℓ hvis:
ethvert åbent interval, der indeholder contains, indeholder også alle vilkårene i sekvensen undtagen et endeligt antal af dem (dvs. indeholder alle vilkårene i sekvensen fra en bestemt rang).Vi siger også, at det konvergerer til ℓ. Hvis en sekvens har en reel grænse, siger vi, at den er konvergent, eller at den konvergerer.
Den forrige definition oversættes formelt som:
.Vi skriver derefter
eller mere simpelt, når der ikke er tvetydighed , ellerFra denne definition kan vi udlede det
Fuldstændighedsegenskaberne for ℝ giver os også mulighed for at angive det
Eksempler på konvergente sekvenser
Vi siger, at en reel sekvens divergerer, hvis den ikke konvergerer. En divergerende sekvens kan enten have en uendelig grænse eller ikke have nogen grænse .
Vi siger, at en sekvens har en tendens til + ∞, hvis et hvilket som helst interval af formularen ] A , + ∞ [ indeholder alle udtryk for sekvensen undtagen et endeligt antal af dem (dvs. indeholder alle vilkårene for sekvensen startende fra en bestemt rang).
Denne definition oversættes formelt som:
Vi skriver derefter
eller mere simpelt, når der ikke er tvetydighed, ellerVi siger, at en sekvens har en tendens til –∞, hvis et hvilket som helst interval i formularen – – , A [ indeholder alle udtryk for sekvensen undtagen et endeligt antal af dem.
Denne definition oversættes formelt som:
Vi skriver derefter
eller mere simpelt, når der ikke er tvetydighed ellerDet grundlæggende eksempel på en sekvens, der har tendens til uendelig, er den omvendte af en sekvens med konstant tegn og tendens til 0:
To resultater er ret nemme at opnå:
Visse virkelige sekvenser har hverken tendens til en reel eller mod + ∞ eller mod –∞ . Dette er f.eks. Tilfældet:
Vi beviser, at operationerne på konvergente sekvenser overføres til deres grænser, så længe operationen har en betydning. Matematisk set betyder det, at hvis og hvis da
Desuden, hvis f er en kontinuerlig funktion i og hvis er defineret så
Interventionen af sekvenser, der stræber mod ± ∞, gør beregningerne lidt mere komplicerede:
Vi siger, at en sekvens konvergerer til en kompleks ℓ hvis
Vi bemærker, at det er den samme definition som i ℝ, bortset fra at det ikke længere er et spørgsmål om absolut værdi, men om modulus .
Vi skriver derefter
eller mere simpelt, når der ikke er tvetydighed,Vi finder for de konvergente komplekse sekvenser de samme egenskaber som for de reelle sekvenser, bortset fra dem, der er knyttet til rækkefølge: grænsen er unik, en konvergent sekvens har en afgrænset modul, enhver Cauchy-sekvens konvergerer (faktisk, ℂ er også komplet) , de forskellige operationer som sum, produkt, kvotient overføres til det yderste.
I et normaliseret vektorrum siger vi, at en sekvens konvergerer til ℓ hvis
Det er en generalisering af grænsen for en kompleks sekvens, hvor den sædvanlige norm i det komplekse plan er modulet.
Vi skriver derefter
eller mere simpelt, når der ikke er tvetydighed,Det unikke ved grænsen bevares såvel som overførslen til grænsen for summen og multiplikationen med en skalar . Det er kun i et komplet normaliseret vektorrum, at vi kan bekræfte, at enhver Cauchy-sekvens konvergerer.
I et metrisk rum siger vi, at en sekvens konvergerer til ℓ hvis
Bemærk, at dette er den samme definition som i , bortset fra at det ikke længere er et spørgsmål om den absolutte værdi af en forskel, men af afstand.
Vi skriver derefter
eller mere simpelt, når der ikke er tvetydighed,Kun grænsen er unik. Det vil være nødvendigt at være i et komplet metrisk rum for at kunne sige, at enhver Cauchy-sekvens konvergerer. Hvis der findes en operation på det pågældende rum, skal den kontinuerligt overføres til grænsen.
Alle de tidligere definitioner kommer sammen i definitionen af konvergens i et topologisk rum .
Eller E et rum med en topologi T .
Vi siger, at sekvensen konvergerer til hvis for enhver åben O af T indeholdende ℓ element, der er et naturligt tal N , således at al den til tilhøre O .
Det er nok, at rummet er adskilt for at kunne bekræfte, at grænsen er unik .
Dette afsnit behandler kun tilfældet med værdisekvenser i et metrisk rum og derfor med tællbare baser af kvarterer . I denne sammenhæng falder begrebet adhæsionsværdi som defineret nedenfor sammen med den generelle opfattelse, som er forskellig.
Eller en sekvens med værdier i en metrisk rum E .
Hvis er en strengt stigende funktion (en sådan funktion kaldes en ekstraktor ), siger vi, at sekvensen er en sekvens ekstraheret (eller undersekvens ) fra sekvensen
Groft sagt er det den fortsættelse, som vi kun holdt visse udtryk for (en uendelighed alligevel).
Vi siger, at værdien ℓ er en værdi af vedhæftning af sekvensen, hvis der findes en ekstraheret sekvens, som konvergerer mod ℓ.
For at få en idé er en værdi af adhæsion et element "nær hvilken sekvensen ofte passerer", det vil sige at så vidt vi går, vil vi altid finde et udtryk for sekvensen nær dette. Element.
Ejendom 1
Hvis en sekvens af værdier i E konvergerer mod l ∈ E , er l den unikke adhæsionsværdi , det vil sige at alle de ekstraherede sekvenser konvergerer mod l .
I det tilfælde hvor E er et kompakt rum , har vi endda et gensidigt. Det gælder for eksempel enhver sekvens med værdier i et segment af ℝ (med andre ord enhver afgrænset ægte sekvens) eller endda enhver reel sekvens, idet den færdige reelle linje er så kompakt (i dette tilfælde + ∞ og - ∞ udelukkes ikke a priori fra opgørelsen af værdierne for vedhæftning af fortsættelsen):
Ejendom 2
Hvis en sekvens har værdier i et kompakt rum E , så indrømmer det mindst en værdi af adhæsion i E , og det konvergerer, hvis og kun hvis det kun tillader en .
Ejendom 3
En række værdier i E konvergerer til l ∈ E hvis og kun hvis:
Vi kan også se, hvordan man generaliserer dette resultat: det er tilstrækkeligt, at billederne af ekstraktorer, der betragtes som helt dækker ℕ (for eksempel her, og ), det vil sige, at de (uendelige) sæt indekser for de anvendte ekstraherede sekvenser har som en genforening alle de naturlige.
Bemærk
Denne egenskab er nyttig til at demonstrere ikke-konvergensen af en sekvens af værdier i E : if
så konverger ikke.
Eksempel
Følgende (-12, 23, -34, 45, -56,…) = ((–1) nikken +1) n ∈ℕ * (jf. figur) kan opdeles i to undersekvenser:
De to undersekvenser, der konvergerer mod forskellige grænser, den indledende sekvens konvergerer ikke.
Altid når E er et metrisk rum, har vi den stærke Bolzano-Weierstrass sætning :
En metrisk rum E er kompakt, hvis (og kun hvis) det er sekventielt kompakt , det vil sige, hvis alle følgende værdier i E har mindst en værdi af adhæsion i E .