Hurewicz sætning

I algebraisk topologi er det enkleste tilfælde af Hurewicz 's sætning - tilskrevet Witold Hurewicz - en beskrivelse af den første ental homologigruppe i et topologisk rum forbundet med buer ved hjælp af dets fundamentale gruppe .

Grad 1

Stater

Den grundlæggende gruppe, ved et punkt x , i et rum X defineres som sættet af homotopiklasser af sløjfer fra X til x , forsynet med loven om sammenkædning af sløjfer. Det betegnes $π$ 1 ( X , x ). Hvis X er forbundet med buer, og hvis y er et andet punkt i X , er grupperne $π$ 1 ( X , x ) og $π$ 1 ( X , y ) isomorfe: isomorfier kan konstrueres ved hjælp af en sti fra x til y . Imidlertid er sådanne isomorfier kun defineret op til konjugering.

Hvis G er en gruppe , betegner vi med [ G , G ] den normale undergruppe af G genereret af switches af G , kaldet den afledte gruppe . Gruppen G ab : = G / [ G , G ] kaldes abelianization af G . Den største abeliske kvotient af G , den er kendetegnet ved følgende universelle egenskab :

Enhver morfisme af grupper fra G til en abelsk gruppe tages med i G ab .

En indre automorfisme af G bevarer kommutatorerne og fremkaldt ved at overføre identiteten til den abelianiserede G ab til kvotienten .

For hvert naturlige tal q betegner vi ved H q ( X , ℤ) q- gruppen af ental homologi af X med heltalskoefficienter. Ved at bemærke ( X k ) er familien af tilsluttede komponenter ved buer af X , H q ( X , ℤ) den direkte sum af H q ( X k , ℤ), som gør det muligt at reducere studiet af H 1 ( X , ℤ ) i tilfælde, hvor X er forbundet med buer. Hurewicz's sætning bekræfter i dette tilfælde eksistensen af en naturlig isomorfisme af $π$ 1 ( X , x ) ab på H 1 ( X , ℤ):

Sætning - Lad X være et topologisk rum forbundet med buer. En kæbe f : [0,1] → X er som 1-kæde en cyklus. Morfismen af grupper Φ X : $π$ 1 ( X , x ) → H 1 ( X , ℤ) inducerer en isomorfisme kaldet Hurewicz isomorfisme :

\ Phi _ {X}: \ pi _ {1} (X, x) ^ {{ab}} {\ overskud {\ sim} {\ rightarrow}} H_ {1} (X, \ mathbb {Z})

For ethvert kontinuerligt kort g : X → Y er morfismerne af inducerede grupper g ✻ : $π$ 1 ( X , x ) → $π$ 1 ( Y , g ( x )) og g ✻ : H 1 ( X , ℤ) → H 1 ( Y , ℤ) verificere:

g _ {*} \ circ \ Phi _ {X} = \ Phi _ {Y} \ circ g _ {*}

Med andre ord, H 1 ( X , ℤ) er naturligvis abelianized af $π$ 1 ( X , x ). Mere præcist har vi to covariant funktorer af kategori af topologiske rum forbundet af buer i kategorien af abelske grupper , nemlig:

Den functor H 1 , som til en ”objekt” X associerede H 1 ( X , ℤ);
Funktoren $π$ 1 ab, som til et “objekt” X associerer $π$ 1 ( X , x ) ab, hvor basispunktet x er valgt vilkårligt.

Hurewicz's sætning giver eksistensen af en isomorfisme af funktorer Φ fra $π$ 1 ab på H 1 .

Eksempler

Hurewicz's sætning giver os mulighed for at beregne den første homologigruppe, der kender den grundlæggende gruppe:

Topologisk rum	Beskrivelse	Grundlæggende gruppe	H 1 (∙, ℤ)
Kontraktil plads	Hvis den trækkes tilbage ved deformation på et punkt	Trivial gruppe	0
S 1	Den cirkel enhed	Additivgruppen ℤ med relative heltal	ℤ
P n (ℝ)	Det virkelige projektive rum i dimension n	ℤ 2 = ℤ / 2ℤ	ℤ 2
T n	De torus af dimension n	Det direkte produkt ℤ n	ℤ n
S 1 ∨ S 1	Den buket af to cirkler (i)	Den gratis gruppe F 2	ℤ 2
Σ g	Den overflade af kompakt orienteret til slægten g	Gruppen præsenteret ved < a 1 , ..., en g , b 1 , ..., b g \| [ a 1 , b 1 ] ... [ i g , b g ] = 1>	G 2 g

For ethvert rum X forbundet med buer er H 1 ( X , ℤ) trivielt, hvis og kun hvis $π$ 1 ( X ) er perfekt . Dette er naturligvis tilfældet, hvis X er simpelthen forbundet , men også for eksempel, hvis X er en kugle af homologi for dimension> 1.

Bevis

Hurewicz's sætning angiver eksistensen af en gruppemorfisme og dens bijektivitet. Injektivitet kræver mere arbejde end dens surjektivitet. Bijektiviteten etableres her ved at give den eksplicitte opbygning af en invers. Vi betegner med Δ 0 punktet, Δ 1 = [0, 1] standarden 1- simplex og Δ 2 standard 2-simplex, hvor punkterne identificeres i barycentriske koordinater ved ( s , t , u ) med s + t + u = 1.

Eksistensen af Hurewicz-morfismen

En sløjfe f af X ved et punkt x er et kontinuerligt kort f : [0,1] → X således at f (0) = f (1) = x . Et sådant kort kan ses som en 1-simpleks af X ; pr. definition er dens grænse f (1) - f (0) = 0. Så f er en 1-cyklus. En homotopi mellem to sløjfer f og g giver en 2-simpleks, hvis kant er g - f . Derfor afhænger 1-cyklussen f , modulo 1-kanterne, kun af homotopiklassen af kæbe f . Vi har derfor en naturlig anvendelse:

\ Phi _ {X}: \ pi _ {1} (X, x) \ til H_ {1} (X, \ mathbb {Z}).

Dette kort er en gruppemorfisme: for to sløjfer f og g fra X til x er f ∗ g en 1-cyklus. Elementet ( f ∗ g ) - g - f af C 1 ( X , ℤ) er kanten af 2-simplex h defineret af:

h (s, t, u) = {\ begin {cases} f (1 + ts) & {\ hbox {si}} t \ leq s, \\ g (ts) & {\ hbox {si}} t> s. \ end {cases}}

Da H 1 ( X , ℤ) er abelsk, bliver denne morfisme indregnet gennem de abelianiserede for at give Hurewicz morfisme:

\ Phi _ {X}: \ pi _ {1} (X, x) ^ {{ab}} \ rightarrow H_ {1} (X, \ mathbb {Z})

Konstruktion af det modsatte

Da X er forbundet med buer, for y et punkt af X , introducerer vi en sti λ y med oprindelse x og slutningen y (det valgte aksiom bruges her). For enhver 1-simplex $f$ af X definerer vi:

\ psi _ {{\ lambda}} (f) = \ lambda _ {{f (0)}} * f * \ lambda _ {{f (1)}} ^ {{- 1}} \ in \ pi _ {1} (X, x).

Gaven ψ λ ( $f$ ) afhænger af valget af stier λ y ; det samme gælder for hans klasse i den grundlæggende gruppes abelianiserede form. Kortet ψ λ inducerer et ℤ-lineært kort:

\ Psi _ {{\ lambda}}: C_ {1} (X, \ mathbb {Z}) \ til \ pi _ {1} (X, x) ^ {{ab}}.

Tekniske argumenter (beskrevet nedenfor) viser følgende bemærkelsesværdige resultater:

Kernen i Ψ λ indeholder 1-kanter (kanter på 2-simple).
På trods af den afhængighed, der allerede er understreget i valgene af de anvendte stier, er applikationen Ψ λ i begrænsning til 1-cyklusser uafhængig af den.

Derfor inducerer Ψ λ ved begrænsning og passage til kvotienten en morfisme Ψ uafhængig af λ:

\ Psi: H_ {1} (X, \ mathbb {Z}) \ til \ pi (X, x) ^ {{ab}}.

Denne morfisme Ψ blev konstrueret til at være den omvendte af Hurewicz-morfismen Φ = Φ X :

For et element α af $π$ 1 ( X , x ) ab , repræsenteret af en blonder f fra X til x , er billedet Φ X ( f ) repræsenteret af f , set som en 1-cyklus. Per definition er ΨΦ (α) klassen af λ x ∗ f ∗ λ x -1 , konjugat af f . Så i abelianiserede er deres klasser ens: ΨΦ (α) = α.
For enhver 1-simpleks f er λ f (0) ∗ f ∗ λ f (1) −1 lig med f modulo a 1-kant (se argumentet nedenfor). Derfor, hvis σ er en 1-cyklus, er Φ∘Ψ λ (σ) lig med σ modulo en sum af 1-kanter. Med andre ord er Φ∘Ψ lig med identiteten over H 1 ( X , ℤ).

Annullering af 1-kanter

Lad h : Δ 2 → X være en 2-simpleks. Dens kant ∂ h er den alternerende sum f 0 - f 1 + f 2 af dens tre flader, defineret af:

f_ {0} (s) = h (0, s, 1-s), \ quad f_ {1} (s) = h (s, 0,1-s) \ quad {\ text {and}} \ quad f_ {2} (s) = h (s, 1-s, 0).

Imidlertid giver en beregning:

{\ displaystyle {\ begin {align} \ Psi _ {\ lambda} (\ partial h) & = \ left [\ lambda _ {f_ {0} (0)} * f_ {0} * \ lambda _ {f_ { 0} (1)} ^ {- 1} \ højre] - \ venstre [\ lambda _ {f_ {1} (0)} * f_ {1} * \ lambda _ {f_ {1} (1)} ^ { -1} \ højre] + \ venstre [\ lambda _ {f_ {2} (0)} * f_ {2} * \ lambda _ {f_ {2} (1)} ^ {- 1} \ højre] \\ & = \ venstre [\ lambda _ {f_ {0} (0)} * f_ {0} * \ lambda _ {f_ {0} (1)} ^ {- 1} \ højre] + \ venstre [\ lambda _ {f_ {2} (0)} * f_ {2} * \ lambda _ {f_ {2} (1)} ^ {- 1} \ højre] + \ venstre [\ lambda _ {f_ {1} (1) } * f_ {1} ^ {- 1} * \ lambda _ {f_ {1} (0)} ^ {- 1} \ højre] \\ & = \ venstre [\ lambda _ {f_ {0} (0) } * f_ {0} * f_ {2} * f_ {1} ^ {- 1} * \ lambda _ {f_ {0} (1)} ^ {- 1} \ højre], \ slut {justeret}}}

hvor vi brugte

f_ {0} (1) = f_ {2} (0), \ quad f_ {2} (1) = f_ {1} (1) \ quad {\ text {and}} \ quad f_ {1} (0 ) = f_ {0} (1).

Da $f 0 * f 2 * f 1 -1$ grænser h , er denne sløjfe kontraktil og repræsenterer derfor enhedselementet i $π$ 1 ( X , f 0 (0)). Imidlertid definerer c ↦ λ f 0 (0) ∗ c ∗ λ f 0 (1) -1 en morfisme af grupperne $π$ 1 ( X , f 0 (0)) → $π$ 1 ( X , x ) og beregningen nedenfor ovenfor viser, at den sender klassen $f 0 * f 2 * f 1 -1$ på Ψ λ (∂ h ). Som resultat:

\ Psi _ {{\ lambda}} (\ partial h) = 0 \ in \ pi _ {1} (X, x) ^ {{ab}}

derfor er Ψ veldefineret .

Uafhængighed i λ

Lad μ være et andet valg af originale stier x . Ja

\ sigma = \ sum _ {{i = 1}} ^ {k} n_ {i} f_ {i}

er en 1-cyklus af X (med n i = ± 1), så:

{\ begin {align} \ Psi _ {{\ mu}} \ left [\ sum _ {{i = 1}} ^ {k} n_ {i} f_ {i} \ right] & = \ sum _ {{ i = 1}} ^ {k} n_ {i} \ left [\ mu _ {{f_ {i} (0)}} * f_ {i} * \ mu _ {{f_ {i} (1)}} ^ {{- 1}} \ højre] \\ & = \ sum _ {{i = 1}} ^ {k} n_ {i} \ venstre (\ venstre [\ mu _ {{f_ {i} (0) }} * \ lambda _ {{f_ {i} (0)}} ^ {{- 1}} \ højre] + \ venstre [\ lambda _ {{f_ {i} (0)}} * f_ {i} * \ lambda _ {{f_ {i} (1)}} ^ {{- 1}} \ højre] + \ venstre [\ lambda _ {{f_ {i} (1)}} * \ mu _ {{f_ {i} (1)}} ^ {{- 1}} \ højre] \ højre) \\ & = \ sum _ {{i = 1}} ^ {k} n_ {i} \ venstre [\ mu _ { {f_ {i} (0)}} * \ lambda _ {{f_ {i} (0)}} ^ {{- 1}} \ right] - \ sum _ {{i = 1}} ^ {k} n_ {i} \ venstre [\ mu _ {{f_ {i} (1)}} * \ lambda _ {{f_ {i} (1)}} ^ {{- 1}} \ højre] + \ Psi _ {{\ lambda}} \ left [\ sum _ {{i = 1}} ^ {k} n_ {i} f \ right] \\ & = \ Psi _ {{\ lambda}} \ left [\ sum _ {{i = 1}} ^ {k} n_ {i} f \ højre]. \ slut {justeret}}

Det er kun i den sidste lighed, hvor det faktum, at σ er en 1-cyklus blev anvendt til at annullere de vilkår: under hensyntagen til de tegn, for alle y , er der lige så mange indekser jeg således at f jeg (0) = y , at af indekser i sådan, at f i (1) = y .

Grader> 1

Den generelle sætning af det klassiske Hurewicz-sætning for n > 1 er som følger (der er også en relativ version (i) ):

Sætning - Lad X være et sådant mellemrum, at $π$ i ( X ) = 0 for i <n ; vi har så H i ( X ) = 0 for 0 < i <n , og $π$ n ( X ) er isomorf til H n ( X ).

(Abelianiseringen af $π$ n er overflødig, da homotopigrupper i grader> 1 er abelian.)

Noter og referencer

(i) Allen Hatcher , algebraisk topologi , New York, UPC ,2001, 544 s. ( ISBN 978-0-521-79540-1 , læs online ) , s. 366.
Jean-Pierre Serre , “ Homotopigrupper og klasser af abeliske grupper ”, Ann. Matematik. , 2 nd serier, vol. 58, nr . 2September 1953, s. 258-294 ( læs online [PDF] ).