Homotopigruppe
I matematik , og mere specifikt i algebraisk topologi , homotopi grupper er invariants som generaliserer begrebet fundamentalgruppen til højere dimensioner.
Definition
Der er flere mulige ækvivalente definitioner.
Første definition
Lad X et topologisk rum og et punkt i X . Lade være den enhed kugle af dimension i af euklidisk rum . Dens kant er dimensionenhedens kugle .
x0{\ displaystyle x_ {0}}Bjeg{\ displaystyle {\ mathcal {B}} ^ {i}}Rjeg{\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {i}} ∂Bjeg=Sjeg-1{\ displaystyle \ partial {\ mathcal {B}} ^ {i} = {\ mathcal {S}} ^ {i-1}}jeg-1{\ displaystyle i-1}
Den i 'te Homotopiteori gruppe højere er mængden af Homotopiteori klasser vedrørende til kontinuerlige applikationer såsom: .
πjeg(x,x0){\ displaystyle \ pi _ {i} (X, x_ {0})}Sjeg-1{\ displaystyle {\ mathcal {S}} ^ {i-1}}f:Bjeg→x{\ displaystyle f: {\ mathcal {B}} ^ {i} \ til X}f(Sjeg-1)={x0}{\ displaystyle f ({\ mathcal {S}} ^ {i-1}) = \ {x_ {0} \}}
Et element af repræsenteres derfor af en kontinuerlig funktion fra i- kuglen til X , som sender -sfæren til referencepunktet , idet funktionen defineres modulo-homotopi i forhold til .
πjeg(x,x0){\ displaystyle \ pi _ {i} (X, x_ {0})}(jeg-1){\ displaystyle (i-1)}x0∈x{\ displaystyle x_ {0} \ i X}Sjeg-1{\ displaystyle {\ mathcal {S}} ^ {i-1}}
Anden definition
Ved at identificere kanten af bolden på et punkt opnår vi en kugle, og hvert element af defineres af homotopiklasser på kortene, hvormed kuglens basispunkt omdannes til . Formentlig det komponenterne gruppe er de tilsluttede komponenter i de topologiske rum applikationer , som vi har: .
Bjeg{\ displaystyle {\ mathcal {B}} ^ {i}}s0{\ displaystyle s_ {0}} Sjeg{\ displaystyle \ mathbb {S} ^ {i}}πjeg(x,x0){\ displaystyle \ pi _ {i} (X, x_ {0})}Sjeg→x{\ displaystyle \ mathbb {S} ^ {i} \ til X}s0{\ displaystyle s_ {0}}x0{\ displaystyle x_ {0}} πjeg(x,x0){\ displaystyle \ pi _ {i} (X, x_ {0})}Sjeg→x{\ displaystyle \ mathbb {S} ^ {i} \ til X}s0↦x0{\ displaystyle s_ {0} \ mapsto x_ {0}}
For at definere en operation på homotopiklasser er det nyttigt at identificere kuglen med kuben i dimension i i ℝ i .
Bjeg{\ displaystyle {\ mathcal {B}} ^ {i}} jegjeg=[0,1]jeg{\ displaystyle \ mathbb {I} ^ {i} = [0,1] ^ {i}}
Definitionen af produktet er som følger: Summen af to anvendelser af terningen er applikationen defineret med formlen:
f,g:(jegjeg,Sjeg-1)→(M,x0){\ displaystyle f, g: (\ mathbb {I} ^ {i}, \ mathbb {S} ^ {i-1}) \ to (M, x_ {0})}f+g:(jegjeg,Sjeg-1)→(M,x0){\ displaystyle f + g: (\ mathbb {I} ^ {i}, \ mathbb {S} ^ {i-1}) \ to (M, x_ {0})}
(f+g)(t1,t2,...,tikke)=f(2t1,t2,...,tikke) til t1∈[0,1/2]{\ displaystyle (f + g) (t_ {1}, t_ {2}, \ ldots, t_ {n}) = f (2t_ {1}, t_ {2}, \ ldots, t_ {n}) {\ sms {for}} t_ {1} \ in \ left [0,1 / 2 \ right]}
og
(f+g)(t1,t2,...,tikke)=g(2t1-1,t2,...,tikke) til t1∈[1/2,1].{\ displaystyle (f + g) (t_ {1}, t_ {2}, \ ldots, t_ {n}) = g (2t_ {1} -1, t_ {2}, \ ldots, t_ {n}) {\ text {for}} t_ {1} \ in \ left [1 / 2,1 \ right].}
Når vi går til homotopiklasser, er den opnåede kompositionslov associativ , samlet , hvert element indrømmer en omvendt, og loven er kommutativ, hvis jeg ≥ 2.
Vi definerer derfor en kommutativ gruppe, hvis jeg er ≥ 2 (jf. Argument fra Eckmann-Hilton (en) ).
Vi opnår den grundlæggende gruppe, hvis i = 1.
Egenskaber og værktøjer
Vi har en generalisering af homotopigrupper.
Lad X være et topologisk rum, A ⊂ X og x et punkt X .
Lad I r = [0, 1] r og J r = (∂ I r -1 × I ) ∪ ( I r -1 × {1}) = ∂ I r \ int ( I r -1 × {0}) .
Den r th om relativ Homotopiteori gruppe er det sæt af kontinuerlige kort Homotopiteori klasser såsom: , , , med samme form homotopies.
πr(x,PÅ,x){\ displaystyle \ pi _ {r} (X, A, x)}f:(jegr,∂jegr,Jr)→(x,PÅ,x){\ displaystyle f: (I ^ {r}, \ partial {I ^ {r}}, J ^ {r}) \ to (X, A, x)}f(jegr)⊂x{\ displaystyle f (I ^ {r}) \ delmængde X}f(∂jegr)⊂PÅ{\ displaystyle f (\ partial {I ^ {r}}) \ delmængde A}f(Jr)=x{\ displaystyle f (J ^ {r}) = x}
-
πr(x,x,x)=πr(x,x){\ displaystyle \ pi _ {r} (X, x, x) = \ pi _ {r} (X, x)} derfor er homotopigrupper specielle tilfælde af relative homotopigrupper.
- Hvad angår homotopigrupper, definerer vi en kommutativ gruppe, hvis r > 2.
- Vi har en lang nøjagtig rækkefølge :⋯→πikke(PÅ,x)→jeg∗πikke(x,x)→j∗πikke(x,PÅ,x)→dπikke-1(PÅ,x)→⋯{\ displaystyle \ cdots \ rightarrow \ pi _ {n} (A, x) {\ xrightarrow {i _ {*}}} \ pi _ {n} (X, x) {\ xrightarrow {j _ {*}} } \ pi _ {n} (X, A, x) {\ xrightarrow {d}} \ pi _ {n-1} (A, x) \ rightarrow \ cdots}hvor i og j er inklusionerne, og d kommer fra begrænsningen fra til .(jegr,∂jegr,Jr){\ displaystyle (I ^ {r}, \ partial {I ^ {r}}, J ^ {r})}jegr-1{\ displaystyle I ^ {r-1}}
Lad p : E → B være en fibrering af fiber F ; hvis B er forbundet med buer, har vi en lang nøjagtig homotopisekvens:
⋯→πikke(F)→πikke(E)→πikke(B)→πikke-1(F)→⋯→π1(F)→π1(E)→π1(B)→π0(F){\ displaystyle \ cdots \ to \ pi _ {n} (F) \ to \ pi _ {n} (E) \ to \ pi _ {n} (B) \ to \ pi _ {n-1} (F ) \ til \ cdots \ til \ pi _ {1} (F) \ til \ pi _ {1} (E) \ til \ pi _ {1} (B) \ til \ pi _ {0} (F)}.
For et topologisk rum X har vi to grupper af grupper associeret med X : de bemærkede homotopi (relative) grupper og de bemærkede ental (relative) homologigrupper . Homologigrupper er lettere at beregne end homotopigrupper, og man undrer sig over forbindelsen mellem disse to grupper af grupper.
πjeg(x,PÅ,x0){\ displaystyle \ pi _ {i} (X, A, x_ {0})}Hjeg(x,PÅ){\ displaystyle H_ {i} (X, A)}
Vi har en naturlig gruppemorfisme .
hikke:πikke(x,PÅ,∗)→Hikke(x,PÅ){\ displaystyle h_ {n}: \ pi _ {n} (X, A, *) \ til H_ {n} (X, A)}
Hvis er forbundet med buer, og hvis parret (X, A) er n-1- forbundet til derefter:
PÅ⊂x{\ displaystyle A \ subset X}ikke≥2{\ displaystyle n \ geq 2}
- første sætning af Hurewicz slægtninge siger, at (i <n) og morfismen Hurewicz er en epimorfisme, hvis kerne genereres af elementerne med og ; især hvis , så er en isomorfi;Hjeg(x,PÅ)=0{\ displaystyle H_ {i} (X, A) = 0}ω(β)-β{\ displaystyle \ omega (\ beta) - \ beta}ω∈π1(PÅ,∗){\ displaystyle \ omega \ in \ pi _ {1} (A, *)}β∈πikke(x,PÅ,∗)=1{\ displaystyle \ beta \ in \ pi _ {n} (X, A, *) = 1}π1(PÅ,∗)=1{\ displaystyle \ pi _ {1} (A, *) = 1}hikke{\ displaystyle h_ {n}}
- på den anden side hævder det absolutte Hurewicz- sætning (A = *), at hvis X er n-1- forbundet, har vi (i <n), og at Hurewicz-morfismen er en isomorfisme.ikke≥2{\ displaystyle n \ geq 2}Hjeg(x,∗)=0{\ displaystyle H_ {i} (X, *) = 0}
For n = 1, se “ Hurewicz's sætning ”.
Whiteheads sætning for CW-komplekser (cellekomplekser)
Botts periodicitetssætninger
Asfæriske rum, Eilenberg MacLane-rum og forhindringsteori
Et rum siges at være asfærisk eller et K (π, 1), hvis dets homotopigrupper er trivielle undtagen dets π 1 .
Beregningsmetoder
I modsætning til den grundlæggende gruppe ( i = 1) og homologi- og kohomologigrupperne er der ingen enkel metode til beregning af homotopigrupper, så snart jeg ≥ 2 (en analog af excisionssætningerne mangler og Van-Kampen ).
Tilfælde af løgnegrupper
Den grundlæggende gruppe i en løgngruppe eller mere generelt i et H-rum (en) er kommutativ, og handlingen af π 1 på π i er triviel.
Se også
Relaterede artikler
Bibliografi
-
Boris Doubrovine (de) , Anatoli Fomenko og Sergueï Novikov , Moderne geometri - Metoder og anvendelser ,1984[ detaljer om udgaver ], flyvning. 2 og 3
-
Jean Dieudonné , Elements of Analysis , Jacques Gabay, vol. 9
- (i) Allen Hatcher , algebraisk topologi , New York, Cambridge University Press ,2001, 544 s. ( ISBN 978-0-521-79540-1 , læs online )
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">