Cauchys integrerede sætning
I kompleks analyse er den integrerede sætning af Cauchy eller Cauchy - Goursat et vigtigt resultat med hensyn til de krumlinjære integraler af holomorfe funktioner i det komplekse plan . Ifølge denne sætning, hvis to forskellige stier forbinder de samme to punkter, og hvis en funktion er holomorf "mellem" de to stier, så er de to integraler af denne funktion langs disse stier ens.
Stater
Teoremet er normalt formuleret til switchbacks (det vil sige stier, hvis startpunkt falder sammen med slutpunktet) på følgende måde.
Er:
Så:
∫γf(z) dz=0{\ displaystyle \ int _ {\ gamma} f (z) ~ \ mathrm {d} z = 0}.
Enkel tilslutningsmulighed
Betingelsen om, at U simpelthen er forbundet, betyder, at U ikke har noget "hul"; for eksempel opfylder enhver åben disk denne betingelse.
U={z,∣z-z0∣ <r}{\ displaystyle U = \ {z, \ mid z-z_ {0} \ mid <r \} \,}
Betingelsen er afgørende; for eksempel, hvis γ er enhedscirklen, er integralet på dette blonder af funktionen f ( z ) = 1 / z ikke nul; Cauchys integrale sætning gælder ikke her, da f ikke kan udvides ved kontinuitet i 0.
Demonstration
Ved argumenter for ensartet kontinuitet af f på kompakte ε-kvarterer af billedet af γ i U er integralet af f på γ grænsen for integraler af f på polygonale sløjfer. For at konkludere er det tilstrækkeligt at påberåbe sig Goursats lemma .
Vi kan også, i det tilfælde hvor f er holomorf på ethvert tidspunkt i U , overveje sløjfefamilien med .
γa(t)=z0+(1-a)(γ(t)-z0){\ displaystyle \ gamma _ {\ alpha} (t) = z_ {0} + (1- \ alpha) (\ gamma (t) -z_ {0})}a∈[0,1]{\ displaystyle \ alpha \ in [0,1]}
Konsekvenser
- Under de forudsætninger om sætningen, f har i U en primitiv kompleks F . Faktisk, selvom det betyder at erstatte U med en af dens tilsluttede komponenter , kan vi antage, at U er forbundet. Ved at rette derefter et vilkårligt punkt z 0 af U og ved at indstille
F(z)=∫P(z)f(ξ) dξ{\ displaystyle F (z) = \ int _ {P (z)} f (\ xi) ~ \ mathrm {d} \ xi},hvor P ( z ) er en vilkårlig sti i U fra z 0 til z (ifølge sætningen afhænger værdien af F ( z ) ikke af valget af P ( z ) ) og ved at tilpasse sig variabelen beviset for den første grundlæggende analysesætning er kompleks , vi udleder derefter, at F er holomorf på U, og at F '= f .
- For en sådan antiderivativ har vi straks: for enhver kontinuerlig stykkevis differentierbar sti γ fra a til b i U :
∫γf(z)dz=F(b)-F(på){\ displaystyle \ int _ {\ gamma} f (z) \ mathrm {d} z = F (b) -F (a)}.
- De få antagelser, der kræves i f, er meget interessante, fordi vi derefter kan bevise Cauchys integrale formel for disse funktioner og udlede, at de faktisk er uendeligt differentierbare.
- Cauchys integrerede sætning generaliseres betydeligt af restsætningen .
- Cauchys integrerede sætning er gyldig i en lidt stærkere form end den ovenfor. Antag at U er et simpelt tilsluttet åbent sæt af ℂ, hvis kant er en simpel, ensrettet sløjfe γ . Hvis f er en holomorf funktion på U og kontinuerlig ved vedhæftningen af U , så er integralet af f på γ nul.
Eksempel
For enhver kompleks α , funktionen , hvor vi har valgt den vigtigste bestemmelse af power-funktionen , er holomorf på det komplekse plan frataget halvlinje . Dens integrerede del på enhver domæne i dette domæne er derfor nul. Dette gør det muligt at vise, at de semi-konvergerende integralerf(z): =ejegzza{\ displaystyle f (z): = {\ frac {{\ mathrm {e}} ^ {\ mathrm {i} z}} {z ^ {\ alpha}}}}R-{\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {-}}
Jvs.(a): =∫0∞costtadtogJs(a): =∫0∞syndttadttilRe(a)∈]0,1[{\ displaystyle J_ {c} (\ alpha): = \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ frac {\ cos t} {t ^ {\ alpha}}} \, \ mathrm {d} t \ quad {\ text {et}} \ quad J_ {s} (\ alpha): = \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ frac {\ sin t} {t ^ {\ alpha}}} \, \ mathrm {d} t \ quad {\ text {pour}} \ quad \ mathrm {Re} (\ alpha) \ in \ left] 0.1 \ right [}(hvor Re betegner den reelle del ) er henholdsvis lig med
Jvs.(a)=cos((1-a)π2)Γ(1-a)ogJs(a)=synd((1-a)π2)Γ(1-a){\ displaystyle J_ {c} (\ alpha) = \ cos \ left ((1- \ alpha) {\ frac {\ pi} {2}} \ right) \ Gamma (1- \ alpha) \ quad {\ text {et}} \ quad J_ {s} (\ alpha) = \ sin \ left ((1- \ alpha) {\ frac {\ pi} {2}} \ right) \ Gamma (1- \ alpha)}hvor Γ betegner gamma-funktionen og cos, er sin henholdsvis cosinus- og sinusfunktionerne for den komplekse variabel .
Beregningsoplysninger
Betegn med α = a + i b med a ∈] 0, 1 [ og . Vi integrerer f (integralet er nul) på sløjfen dannet af den virkelige segment [ε, R ] og den rene imaginære segment i [ R , ε] , forbundet ved den kvarte cirkler R e [0, i π / 2] og εe [ iπ / 2, 0] , så får vi R til at gå mod + ∞ og ε mod 0 + .
b∈R{\ displaystyle b \ in \ mathbb {R}}
Integralerne i de to kvartcirkler har tendens til 0 fordi
|∫0π/2ejegRejegθRaejegaθjegRejegθdθ|≤R1-på∫0π/2e-Rsyndθdθ≤R1-på∫0π/2e-2Rθ/πdθ=π2R-på(1-e-R){\ displaystyle \ left | \ int _ {0} ^ {\ pi / 2} {\ frac {{\ mathrm {e}} ^ {\ mathrm {i} R \ mathrm {e} ^ {\ mathrm {i} \ theta}}} {R ^ {\ alpha} \ mathrm {e} ^ {\ mathrm {i} \ alpha \ theta}}} \ mathrm {i} R \ mathrm {e} ^ {\ mathrm {i} \ theta} \, \ mathrm {d} \ theta \ right | \ leq R ^ {1-a} \ int _ {0} ^ {\ pi / 2} {\ mathrm {e}} ^ {- R \ sin \ theta} \, \ mathrm {d} \ theta \ leq R ^ {1-a} \ int _ {0} ^ {\ pi / 2} {\ mathrm {e}} ^ {- 2R \ theta / \ pi} \, \ mathrm {d} \ theta = {\ frac {\ pi} {2}} R ^ {- a} (1- \ mathrm {e} ^ {- R})}og
limR→+∞R-på(1-e-R)=limε→0+ε-på(1-e-ε)=0.{\ displaystyle \ lim _ {R \ to + \ infty} R ^ {- a} (1- \ mathrm {e} ^ {- R}) = \ lim _ {\ varepsilon \ to 0 ^ {+}} \ varepsilon ^ {- a} (1- \ mathrm {e} ^ {- \ varepsilon}) = 0.}Integralet over det imaginære segment er lig med
∫Rεe-yyaeajegπ/2jegdy=-e(1-a)jegπ/2∫εRy-ae-ydy→-e(1-a)jegπ/2Γ(1-a){\ displaystyle \ int _ {R} ^ {\ varepsilon} {\ frac {{\ mathrm {e}} ^ {- y}} {y ^ {\ alpha} \ mathrm {e} ^ {\ alpha \ mathrm { i} \ pi / 2}}} \ mathrm {i} \, \ mathrm {d} y = - \ mathrm {e} ^ {(1- \ alpha) \ mathrm {i} \ pi / 2} \ int _ {\ varepsilon} ^ {R} y ^ {- \ alpha} \ mathrm {e} ^ {- y} \, \ mathrm {d} y \ to - \ mathrm {e} ^ {(1- \ alpha) \ mathrm {i} \ pi / 2} \ Gamma (1- \ alpha)}.
Integralet over det reelle segment har tendens til , hvilket er lig med .
Jvs.(a)+jegJs(a){\ displaystyle J_ {c} (\ alpha) + \ mathrm {i} J_ {s} (\ alpha)}e(1-a)jegπ/2Γ(1-a){\ displaystyle \ mathrm {e} ^ {(1- \ alpha) \ mathrm {i} \ pi / 2} \ Gamma (1- \ alpha)}
På samme måde (ved at erstatte b ved - b ), derfor (ved at tage konjugaterne til de to medlemmer) .
Jvs.(a¯)+jegJs(a¯)=e(1-a¯)jegπ/2Γ(1-a¯){\ displaystyle J_ {c} ({\ overline {\ alpha}}) + \ mathrm {i} J_ {s} ({\ overline {\ alpha}}) = \ mathrm {e} ^ {(1 - {\ overline {\ alpha}}) \ mathrm {i} \ pi / 2} \ Gamma (1 - {\ overline {\ alpha}})}Jvs.(a)-jegJs(a)=e-(1-a)jegπ/2Γ(1-a){\ displaystyle J_ {c} (\ alpha) - \ mathrm {i} J_ {s} (\ alpha) = \ mathrm {e} ^ {- (1- \ alpha) \ mathrm {i} \ pi / 2} \ Gamma (1- \ alpha)}
Det har vi også
2Jvs.(a)=e(1-a)jegπ/2Γ(1-a)+e-(1-a)jegπ/2Γ(1-a)=2cos((1-a)π/2)Γ(1-a){\ displaystyle 2J_ {c} (\ alpha) = \ mathrm {e} ^ {(1- \ alpha) \ mathrm {i} \ pi / 2} \ Gamma (1- \ alpha) + \ mathrm {e} ^ {- (1- \ alpha) \ mathrm {i} \ pi / 2} \ Gamma (1- \ alpha) = 2 \ cos ((1- \ alpha) \ pi / 2) \ Gamma (1- \ alpha) }og
2jegJs(a)=e(1-a)jegπ/2Γ(1-a)-e-(1-a)jegπ/2Γ(1-a)=2jegsynd((1-a)π/2)Γ(1-a){\ displaystyle 2 \ mathrm {i} J_ {s} (\ alpha) = \ mathrm {e} ^ {(1- \ alpha) \ mathrm {i} \ pi / 2} \ Gamma (1- \ alpha) - \ mathrm {e} ^ {- (1- \ alpha) \ mathrm {i} \ pi / 2} \ Gamma (1- \ alpha) = 2 \ mathrm {i} \ sin ((1- \ alpha) \ pi / 2) \ Gamma (1- \ alpha)}.
For eksempel ( Fresnel-integralet ). Vi kan også bemærke det ( Dirichlet-integralet ).
12Jvs.(1/2)=12Js(1/2)=12π2{\ displaystyle {\ frac {1} {2}} J_ {c} (1/2) = {\ frac {1} {2}} J_ {s} (1/2) = {\ frac {1} { 2}} {\ sqrt {\ frac {\ pi} {2}}}}limRe(a)<1,a→1Js(a)=π2=∫0∞syndttdt{\ displaystyle \ lim _ {\ mathrm {Re} (\ alpha) <1, \ alpha \ to 1} J_ {s} (\ alpha) = {\ frac {\ pi} {2}} = \ int _ { 0} ^ {\ infty} {\ frac {\ sin t} {t}} \, \ mathrm {d} t}
Riemann overflader
Cauchys integrerede sætning er generaliseret inden for rammerne af geometrien af Riemann-overflader .
Noter og referencer
(fr) Denne artikel er helt eller delvist taget fra artiklen fra Wikipedia på
engelsk med titlen
" Cauchys integrale sætning " ( se listen over forfatterne ) .
-
(i) Liang-shin Hahn og Bernard Epstein , Klassisk Complex Analysis , Jones & Bartlett,1996, 411 s. ( ISBN 978-0-86720-494-0 , læs online ) , s. 111.
-
(in) I-Hsiung Lin Classical Complex Analysis: A Geometric Approach , Vol. 1, verdensvidenskabelige,2011( læs online ) , s. 396 og 420.
Se også
Bibliografi
- Walter Rudin , ægte og kompleks analyse [ detaljer i udgaver ]
- Henri Cartan , Elementær teori om analytiske funktioner i en eller flere komplekse variabler [ detalje af udgaven ]
- (en) Kunihiko Kodaira ( oversættelse fra japansk), kompleks analyse , Cambridge, CUP , koll. “Cambridge Stud. Adv. Matematik. "( Nr . 107),2007, 406 s. ( ISBN 978-0-521-80937-5 )
Relaterede artikler
Morera's sætning
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">