Eigenvalue (resumé)

Begreberne egenvektor , egenværdi og ejenspace gælder endomorfismer (eller lineære operatorer), det vil sige lineære kort over et vektorrum i sig selv. De er tæt forbundne og danner en søjle til reduktion af endomorfier , en del af lineær algebra, der sigter mod at nedbryde rummet på den mest effektive måde til en direkte sum af stabile underområder .

Definitioner og egenskaber

I det følgende ser vi et vektorrum E over en kommutativ felt K . Elementerne i E er vektorerne, og de i K er skalarer . I praksis er feltet K ofte komplekset ℂ for komplekser, og vektorrummet har en begrænset dimension . I hvert afsnit specificeres eventuelle begrænsninger på kroppen eller størrelsen. Vi betegner ved u en endomorfisme af E og $Id$ identiteten endomorfisme .

Egen værdi

Definition - En skalær $λ$ er en egenværdi af u, hvis der findes en ikke-nul- vektor x, således at u ( x ) = $λ$ x .

Egenværdierne for u er derfor skalarer $λ$ således at u - $λId$ ikke er injektionsdygtig (med andre ord dens kerne reduceres ikke til nulvektoren ).

Egenværdierne af en firkantet matrix A af størrelse n er egenværdierne for endomorfismen af K n af matrix A på det kanoniske grundlag .

Hvis E har en begrænset dimension n , er egenværdierne for u (eller dens matrix A på en hvilken som helst basis ):

er rødderne til deres fælles karakteristiske polynom , det ( X Id - u ) = det ( X I n - A );
er alle spektralværdierne for u (eller A ): elementerne i deres fælles spektrum .

Eksempler:

hvis u = $Id,$ har u kun en egenværdi: 1.
hvis u er defineret på ℝ 2 ved derefter u har to egenværdier: u(x1,x2)=(x1+6x2,x1+2x2){\ displaystyle u (x_ {1}, x_ {2}) = (x_ {1} + 6x_ {2}, x_ {1} + 2x_ {2})} $u (x_ {1}, x_ {2}) = (x_ {1} + 6x_ {2}, x_ {1} + 2x_ {2})$
- 4 fordi $u (2.1) = (8.4) = 4 (2.1)$
- –1 fordi $u (-3,1) = (3, -1) = - 1 (-3,1)$
- ingen anden egenværdi, da dimensionen er 2.

Ren vektor

Definition - Lad x være en ikke-nul-vektor af E , x er en egenvektor af u, hvis der er en skalar $λ,$ således at u ( x ) = $λ$ x . Vi siger, at x er en egenvektor forbundet med egenværdien $λ$ .

Egenvektorerne (forbundet med en egenværdi $λ$ ) af en kvadratisk matrix A af størrelse n er egenvektorerne (forbundet med egenværdi $λ$ ) af endomorfien af K n repræsenteret ved A .

En egenvektor kan ikke tilknyttes to forskellige egenværdier
En familie af k egenvektorer forbundet med k forskellige egenværdier udgør en fri familie .

Rengør underrum

Definition - Lad λ være en egenværdi af u (resp. A ); derefter kaldes det sæt, der består af egenvektorerne til egenværdien λ og nulvektoren egenværdien af u (resp. A ), der er knyttet til egenværdien λ.

Egenunderdelen, der er knyttet til en egenværdi λ, er kernen af u - λ $Id$ . Det er derfor et vektorunderrum .
Ved definition af en egenværdi reduceres en egenværdi aldrig til nulvektoren.
For en firkantet matrix A af størrelse n finder vi det korrekte underrum, der er forbundet med en egenværdi λ ved at løse det (homogene) system af n lineære ligninger med n ukendte, hvis matrixskrivning er ( A - $λ$ I n ) v = 0.
Den egenrum E i af egenværdier Å jeg danne en direkte sum af vektor underrum stabil ved u .
Dette er en konsekvens af kernelemmet , der anvendes på polynomer X - λ i , som er to og to mellem hinanden.
Denne direkte sum af E i er lig med E , hvis og kun hvis endomorfien er diagonaliseres.
Hvis to endomorfier u og v pendler , er ethvert korrekt underrum af u stabilt under v .

Karakteristisk polynom

Vi antager her, at E har en begrænset dimension n .

Vi kalder "karakteristisk polynom" for endomorfismen u , polynomial det ( X $Id$ - u ) og "karakteristisk polynom" for en firkantet matrix A af rækkefølge n , det karakteristiske polynom af endomorfismen af K n kanonisk associeret med A , dvs. polynomet det ( XI n - A ), hvor I n er identitetsmatricen n × n . Dette polynom er af grad n og har derfor højst n rødder .

Enten a : E → F en isomorfisme af vektorrum , det vil sige en lineær bijektiv , så har u og aua -1 de samme karakteristiske polynomer og derfor samme egenværdier.
Ja, ${\ displaystyle \ det (\ lambda {\ rm {Id}} _ {F} -aua ^ {- 1}) = \ det (a (\ lambda {\ rm {Id}} _ {E} -u) a ^ {- 1}) = \ det (\ lambda {\ rm {Id}} _ {E} -u).}$
Det karakteristiske polynom af u er derfor lig med dets matrix A på ethvert grundlag .
Rødderne til det karakteristiske polynom af u (eller A ) er dets egenværdier.
Faktisk har en endomorfisme nul-determinanten, hvis og kun hvis den ikke er injektionsdygtig.
Hvis K er algebraisk lukket , eller hvis K er R, er feltet med reelle tal, og n er ulige, har u mindst en egenværdi.
At sige, at et felt er algebraisk lukket, er at sige, at ethvert ikke- konstant polynom indrømmer mindst en rod. Denne rod er nødvendigvis en egenværdi ifølge det første punkt ovenfor. På den anden side har en ægte polynom af ulige grad altid en reel rod.

Rækkefølgen af algebraisk flerhed af en egenværdi λ er rækkefølgen af flerhed af roden i det karakteristiske polynom. Det er derfor eksponenten for ( X - λ) i det karakteristiske polynom.

I et algebraisk lukket felt:
- Determinanten er lig med produktet af egenværdierne hævet til deres rækkefølge af algebraisk mangfoldighed;
- Sporet er lig med summen af egenværdier ganget med deres rækkefølge af algebraisk mangfoldighed.

Minimalt polynom

Vi placerer os her inden for rammerne af et vektorrum E med begrænset dimension.

Vi kalder ”minimal polynomium” af u den enhed polynomium af mindste grad, som annullerer u . Det minimale polynom giver en lineær afhængighedsrelation af endomorfismens kræfter u 0 , u 1 , u 2 , ... og gensidigt giver en sådan lineær afhængighedsrelation en annullerende polynom af u , den minimale polynom ved at minimere graden og tage koefficient 1 for den største effekt af u, der opstår.

Rødderne til det minimale polynom er u-værdierne .

Hvis det minimale polynom er medregnet M = ( X - λ) Q , er M ( u ) = ( u - λ

Id

) ∘ Q ( u ) nul endomorfisme, mens Q ( u ) ikke er (fordi graden af Q er for lav). Derfor er der ikke-nul vektorer i billedet af Q ( u ), som er egenvektorer for λ.

Mere generelt for ethvert heltal i ≥ 1 er det minimale polynom deleligt med ( X - λ) i hvis og kun hvis kernen af ( u - λ $Id$ ) i er strengt større end ( u - λ $Id$ ) i - 1 . Derfor er multiplikationen m af λ som roden til det minimale polynom lig med den mindste eksponent, således at kernen af ( u - λ $Id$ ) m er lig med det karakteristiske underrum, der er knyttet til egenværdien λ. Det kaldes den mindste mangfoldighed af λ.
Lad a være en automorfisme af E , så har u og aua -1 samme minimale polynom (og derfor samme egenværdier). Med andre ord, det minimale polynom er en lighed, der er uforanderlig i endomorfismen.
Faktisk P ( AuA -1 ) er lig aP ( u ) er -1 , for enhver polynomium P .
På et algebraisk lukket felt er det minimale polynom (som ethvert ikke-nul polynom) opdelt og har derfor mindst en rod, som er egenværdien af u (undtagelse: hvis dimensionen af E er nul, er den minimale polynom 1, ligesom det karakteristiske polynom, og u har ingen egenværdi).
Den Cayley-Hamilton sætning giver os mulighed for at fastslå, at de minimale polynomium skel det karakteristiske polynomium

Karakteristiske underrum

Vi antager, at E er endelig dimensionel, og at K er algebraisk lukket.

Hvis λ er en egenværdi af u , hvis rækkefølge er α λ , kalder vi "karakteristisk underrum" for u associeret med egenværdien λ kernen af ( u - λ $Id$ ) α λ . Vi vil betegne dette karakteristiske underrum E λ .

E λ er også kernen af ( u - λ $Id$ ) β λ hvor β λ er rækkefølgen af λ i det minimale polynom.
E λ er stabil af u .
dim ( E λ ) = α λ .
Rummet E er den direkte sum af dets karakteristiske underrum.
begrænsningen af u til E λ har et minimalt polynom ( X - λ) β λ .

Reduktion af endomorfisme

Vi antager, at E har en begrænset dimension. Undersøgelsen af egenværdier gør det muligt at finde en enklere form for endomorfier, dette kaldes deres reduktion.

Diagonalisering

Endomorfismen bestemmes fuldstændigt af dens egenvektorer og dens tilknyttede egenværdier, hvis den er diagonaliserbar, dvs. hvis der er et grundlag for egenvektorer. Numeriske eksempler er givet i artiklen “ Diagonaliserbar matrix ”. Følgende kriterier er alle nødvendige og tilstrækkelige betingelser for, at en endomorfisme af et endeligt dimensionelt vektorrum kan diagonaliseres:

Der er en base af egenvektorer
den summen af de egenrum er hele rummet
summen af ejensrummets dimensioner er lig med dimensionen af hele rummet
det minimale polynom er opdelt på K og med enkelt rødder. ( Bevis i polynom af endomorfisme . )
ethvert passende underrum har en dimension svarende til den algebraiske mangfoldighed af den tilknyttede egenværdi.
enhver matrix repræsentation M af u er diagonaliserbar, dvs. kan skrives i form M = PDP -1 med P og D henholdsvis invertible og diagonale matricer .

Ud over disse ækvivalente egenskaber er der følgende konsekvenser:

Hvis der findes dim ( E ) forskellige egenværdier, er u diagonaliserbar.
Hvis u er diagonaliserbar, er dets karakteristiske polynom opdelt.

I det tilfælde, hvor feltet er ℂ, er denne egenskab næsten overalt sand i den forstand, der er beskrevet i Lebesgue-foranstaltningen . Desuden er delmængden af dem, der er diagonaliserbare , i det topologiske rum for endomorfismer af E så tæt .

Dunford nedbrydning

Hvis det minimale polynom af u er delt, kan u skrives i form u = d + n med d diagonaliserbar og n nilpotent således at dn = nd . Desuden er d og n polynomer i u .

Repræsentation af Jordan

Vi antager, at K er algebraisk lukket.

Jordans repræsentation beviser, at enhver endomorfisme u af E er trigonaliserbar . Det viser, at begrænsningen af u til det karakteristiske underrum, der er knyttet til egenværdien $λ,$ har en repræsentation dannet af blokke af formen

J_ {k} (\ lambda) = {\ begin {pmatrix} \ lambda & 1 &&&& \\ & \ lambda & 1 && (0) & \\ && \ ddots & \ ddots && \ &&& \ ddots & \ ddots & \ \ & (0) &&& \ lambda & 1 \\ &&&&& \ lambda \\\ end {pmatrix}}

kaldet ”Jordans blokke”, og at endomorfismen har en matrixrepræsentation i formen

{\ begin {pmatrix} J _ {{k_ {1}}} (\ lambda _ {1}) &&&& \\ & J _ {{k_ {2}}} (\ lambda _ {2}) &&& \\ && \ ddots && \\ &&& \ ddots & \\ &&&& J _ {{k_ {r}}} (\ lambda _ {r}) \\\ end {pmatrix}}

hvor skalarer $λ i$ (ikke nødvendigvis adskilte) er uværdierne for u .

Se også

Relaterede artikler

Bibliografi

Serge Lang , Algebra [ detalje af udgaver ]
Haïm Brezis , Funktionsanalyse: teori og anvendelser [ detaljer af udgaver ]
Walter Rudin , Funktionsanalyse [ detaljer af udgaver ]
(en) Nelson Dunford og Jacob T. Schwartz (en) , Lineære operatører, del I General Theory , Wiley-Interscience, 1988