Diagonalisering

I matematik er diagonaliseringen en proces med lineær algebra, der gør det muligt at forenkle beskrivelsen af ​​visse endomorfier i et vektorrum , især visse firkantede matricer . Det består i at finde og afklare et grundlag for vektorrummet, der består af egenvektorer , når en findes. I en begrænset dimension svarer diagonalisering til at beskrive denne endomorfisme ved hjælp af en diagonal matrix .

Denne proces koger derfor ned til en maksimal reduktion i endomorfisme, det vil sige til en nedbrydning af vektorrummet i en direkte sum af vektorlinjer, der er stabile ved endomorfisme. På hver af disse linjer reduceres endomorfismen til en homøthet . Diagonaliseringen af ​​en endomorfisme tillader en hurtig og enkel beregning af dens kræfter og dens eksponentielle , hvilket gør det muligt at udtrykke numerisk visse lineære dynamiske systemer , opnået ved iteration eller ved differentialligninger .

Metode

Eksempler

Første eksempel

Overvej matrixen:

Denne matrix indrømmer som egenværdier  :

Således har A, der er af størrelse 3, 3 forskellige egenværdier, og er derfor diagonaliserbar.

Hvis vi vil diagonalisere A , skal vi bestemme de tilsvarende egenvektorer . Der er for eksempel:

Det kan vi nemt kontrollere .

Lad P nu være matrixen med disse egenvektorer som kolonner:

Derefter "  P diagonaliserer A  ", som en simpel beregning viser:

Bemærk at værdierne λ k vises på matricens diagonal i samme rækkefølge, som vi har placeret bestemte kolonner til formular P .

Andet eksempel

Er

(se beregningen af ​​en determinant )

Så egenværdierne er:

Beregning af egen delrum:

Beregning af E 2  : Vi ser efter sådan, at:

Guld:

Derfor

Vi fortsætter på samme måde for E –3, og vi opnår:

Vi har: og derfor er denne matrix diagonaliserbar.

En mulig diagonalisering er :, med

Projektor

Lad (i enhver dimension) p være en projektor , det vil sige en idempotent endomorfisme  : p 2 = p . Det annulleres af polynomet X 2 - X = ( X - 1) X , som er delt og har enkelt rødder. Den er således diagonaliserbar af egenværdierne 1 og 0. Projektorerne på de to tilsvarende egne underrum ( yderligere en af ​​den anden) er p og id - p . Hvis rummet er normaliseret (eller mere generelt, hvis det er et topologisk vektorrum ), og hvis p er kontinuerligt , er disse to underområder derfor endda yderligere topologiske .

Symmetri

Lad os altid være i en hvilken som helst dimension en symmetri , det vil sige en involutiv endomorfisme  : s 2 = id. Den annulleres af polynomiet x 2 - 1 = ( X - 1) ( X + 1), som er opdelt, og med enkle rødder, så snart område af skalarer har en karakteristisk forskellig fra 2. Det er derfor i dette tilfælde diagonaliserbart, idet de to egenværdier (for egenværdierne 1 og -1) desuden er dem (for egenværdierne 1 og 0) for projektoren p = ( s + id) / 2.

For eksempel på mellemrummet ℒ ( H ) af operatorer afgrænset af et Hilbert-rum H på K = eller , er symmetrien, som hver operatør forbinder dens tillæg , altid ℝ-lineær og diagonaliserbar som sådan  : operatorerne eremitere og antihermitianer danner to yderligere reelle vektors underrum (topologisk). (Når H har en endelig dimension n over K , viser en matrixskrivning , at deres dimensioner er henholdsvis lig med n ( n + 1) / 2 og n ( n - 1) / 2, hvis H er euklidisk , og begge er lig med n 2 hvis H er Hermitian .)

Grænser og generalitet

Ikke alle endomorfier er diagonaliserbare. Imidlertid:

Samtidig diagonalisering

Hvis en familie af endomorphisms af et rum E er samtidig diagonaliserbar , det vil sige, hvis der findes en ordentlig basis af E for alle , er det klart, at de pendle to og to .

Vi har kun en delvis konversation: hvis E har en begrænset dimension, eller hvis den er endelig, kan enhver familie af diagonaliserbare endomorfier af E, som pendler to og to, samtidig diagoniseres.

Noter og referencer

  1. Yoann Gelineau ( Université Claude-Bernard Lyon 1 ), Densitet af diagonaliserbare matricer i ℳ n (ℂ) efter Rombaldi, Thèmes pour l ' aggregation de mathematics , s.  51 .
  2. Korrigerede øvelser Diagonalisering og stabile underrum på Wikiversity .

Bibliografi

(en) Richard S. Varga, Matrix Iterativ analyse , Springer, 2010 ( ISBN  978-3-64205154-8 )

Relaterede artikler