Diagonalisering
I matematik er diagonaliseringen en proces med lineær algebra, der gør det muligt at forenkle beskrivelsen af visse endomorfier i et vektorrum , især visse firkantede matricer . Det består i at finde og afklare et grundlag for vektorrummet, der består af egenvektorer , når en findes. I en begrænset dimension svarer diagonalisering til at beskrive denne endomorfisme ved hjælp af en diagonal matrix .
Denne proces koger derfor ned til en maksimal reduktion i endomorfisme, det vil sige til en nedbrydning af vektorrummet i en direkte sum af vektorlinjer, der er stabile ved endomorfisme. På hver af disse linjer reduceres endomorfismen til en homøthet . Diagonaliseringen af en endomorfisme tillader en hurtig og enkel beregning af dens kræfter og dens eksponentielle , hvilket gør det muligt at udtrykke numerisk visse lineære dynamiske systemer , opnået ved iteration eller ved differentialligninger .
Metode
- Det er undertiden nødvendigt at beregne matrixens karakteristiske polynom for at bestemme dets egenværdier og de tilknyttede egenunderum :
For det karakteristiske polynom er , hvor er det ubestemte, og I n er identitetsmatricen for . Egenværdierne X jeg er rødderne af , så der er højst n egenværdier multiplicitet m i . Man bestemmer derefter for hver egenværdi det eget underrum, der er knyttet til det:M∈Mikke(K){\ displaystyle M \ i M_ {n} (K)}χM(x)=det(xjegikke-M){\ displaystyle \ chi _ {M} (X) = {\ rm {det}} (XI_ {n} -M)}x{\ displaystyle X}Mikke(K){\ displaystyle M_ {n} (K)}
χM{\ displaystyle \ chi _ {M}}
Eλjeg=Ker(M-λjegjegikke).{\ displaystyle E _ {\ lambda _ {i}} = {\ rm {Ker}} (M- \ lambda _ {i} I_ {n}).}Matrixen er diagonaliseres kun hvis dimension af hver eigen underrum E λ i er lig med den mangfoldighed m i den egenværdi λ i , hvilket betyder, at for hver har vi på basis af m i egenvektorer at l 'vi betegne som X i, j , 1 ≤ j ≤ m i . Da findes en invertibel matrix U , således at U -1 MU er lig med en diagonal matrix D hvis diagonal koefficienter er λ jeg gentaget m I gange og U er den matrix, hvis søjler er vektorerne X i, j (l 'ordre gør betyder ikke noget, men hvis vi har vektoren X i, j på k- kolonnen i U , så har vi egenværdien λ i på k- kolonnen i D ).Eλjeg{\ textstyle E _ {\ lambda _ {i}}}
- Det er også muligt direkte at bestemme egenværdierne og baserne for de tilknyttede egenunderrum. Matrixen M er diagonaliserbar, hvis og kun hvis summen af dimensionerne for de forskellige egenunderrum er lig med n . Hvis matrixen er diagonaliserbar, findes der en inverterbar matrix P opnået ved at placere den ene ved siden af den anden, de korrekte søjler danner en base af hvert af underrummene, og matrixen D = P -1 MP er derefter diagonal. Dimensionen af eigenspace forbundet med en egenværdi svarer til det antal gange, at sidstnævnte gentages på diagonalen af den diagonale matrix D svarende til matrixen M .
- En endomorfisme u, som kun har et endeligt antal egenværdier (hvilket altid er tilfældet i en begrænset dimension), kan diagoniseres, hvis og kun hvis den annulleres af et delt polynom med enkle rødder . Desuden udtrykkes projektorerne på de korrekte underrum derefter som polynomer i u (se Lemma af kerner ).
Eksempler
Første eksempel
Overvej matrixen:
PÅ=(1200302-42).{\ displaystyle A = {\ begin {pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 2 & -4 & 2 \ end {pmatrix}}.}Denne matrix indrømmer som egenværdier :
λ1=3,λ2=2,λ3=1.{\ displaystyle \ lambda _ {1} = 3, \ quad \ lambda _ {2} = 2, \ quad \ lambda _ {3} = 1.}Således har A, der er af størrelse 3, 3 forskellige egenværdier, og er derfor diagonaliserbar.
Hvis vi vil diagonalisere A , skal vi bestemme de tilsvarende egenvektorer . Der er for eksempel:
v1=(11-2),v2=(001),v3=(10-2).{\ displaystyle v_ {1} = {\ begin {pmatrix} 1 \\ 1 \\ - 2 \ end {pmatrix}}, \ quad v_ {2} = {\ begin {pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \ ende {pmatrix}}, \ quad v_ {3} = {\ begin {pmatrix} 1 \\ 0 \\ - 2 \ end {pmatrix}}.}Det kan vi nemt kontrollere .
PÅvk=λkvk{\ displaystyle Av_ {k} = \ lambda _ {k} v_ {k}}
Lad P nu være matrixen med disse egenvektorer som kolonner:
P=(101100-21-2).{\ displaystyle P = {\ begin {pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ - 2 & 1 & -2 \ end {pmatrix}}.}Derefter " P diagonaliserer A ", som en simpel beregning viser:
P-1PÅP=(0102011-10)(1200302-42)(101100-21-2)=(300020001).{\ displaystyle P ^ {- 1} AP = {\ begin {pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & 1 \\ 1 & -1 & 0 \ end {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 2 & -4 & 2 \ end {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ - 2 & 1 & -2 \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} 3 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \ end {pmatrix}}.}Bemærk at værdierne λ k vises på matricens diagonal i samme rækkefølge, som vi har placeret bestemte kolonner til formular P .
Andet eksempel
Er PÅ=(03-12-11002)∈M3(R){\ displaystyle A = {\ begin {pmatrix} 0 & 3 & -1 \\ 2 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 2 \ end {pmatrix}} \ i M_ {3} (\ mathbb {R} )}
χPÅ(T)=det(Tjeg3-PÅ)=|T-31-2T+1-100T-2|=(T-2)2(T+3){\ displaystyle \ chi _ {A} (T) = \ operatorname {det} (TI_ {3} -A) = {\ begin {vmatrix} T & -3 & 1 \\ - 2 & T + 1 & -1 \\ 0 & 0 & T-2 \ end {vmatrix}} = (T-2) ^ {2} (T + 3)}(se beregningen af en determinant )
Så egenværdierne er:
- 2 af mangfoldighed 2,
- –3 af mangfoldighed 1.
Beregning af egen delrum:
Beregning af E 2 : Vi ser efter sådan, at:x=(x1x2x3){\ displaystyle X = {\ begin {pmatrix} x_ {1} \\ x_ {2} \\ x_ {3} \ end {pmatrix}}}(PÅ-2jeg3)x=0{\ textstyle (A-2I_ {3}) X = 0}
Guld:
(PÅ-2jeg3)x=0⇔(-23-12-31000)(x1x2x3)=0⇔-2x1+3x2-x3=0{\ displaystyle (A-2I_ {3}) X = 0 \ Venstre-pil {\ begynder {pmatrix} -2 & 3 & -1 \\ 2 & -3 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \ end {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} x_ {1} \\ x_ {2} \\ x_ {3} \ end {pmatrix}} = 0 \ Venstre retarrow -2x_ {1} + 3x_ {2} -x_ {3} = 0}
Derfor E2=Vect{(320),(10-2)}{\ displaystyle E_ {2} = \ operatorname {Vect} \ left \ {{\ begin {pmatrix} 3 \\ 2 \\ 0 \ end {pmatrix}}, {\ begin {pmatrix} 1 \\ 0 \\ - 2 \ slut {pmatrix}} \ højre \}}
Vi fortsætter på samme måde for E –3, og vi opnår:
E-3=Vect{(1-10)}{\ displaystyle E _ {- 3} = \ operatorname {Vect} \ left \ {{\ begin {pmatrix} 1 \\ - 1 \\ 0 \ end {pmatrix}} \ right \}}
Vi har: og derfor er denne matrix diagonaliserbar.
Sol(E2)=2{\ displaystyle \ operatorname {dim} (E_ {2}) = 2 \,}Sol(E-3)=1{\ displaystyle \ operatorname {dim} (E _ {- 3}) = 1 \,}
En mulig diagonalisering er :,
medB=U-1PÅU=(20002000-3){\ displaystyle B = U ^ {- 1} AU = {\ begin {pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & {- 3} \ end {pmatrix}}}U=(31120-10-20).{\ displaystyle U = {\ begin {pmatrix} 3 & 1 & 1 \\ 2 & 0 & -1 \\ 0 & -2 & 0 \ end {pmatrix}}.}
Projektor
Lad (i enhver dimension) p være en projektor , det vil sige en idempotent endomorfisme : p 2 = p . Det annulleres af polynomet X 2 - X = ( X - 1) X , som er delt og har enkelt rødder. Den er således diagonaliserbar af egenværdierne 1 og 0. Projektorerne på de to tilsvarende egne underrum ( yderligere en af den anden) er p og id - p . Hvis rummet er normaliseret (eller mere generelt, hvis det er et topologisk vektorrum ), og hvis p er kontinuerligt , er disse to underområder derfor endda yderligere topologiske .
Symmetri
Lad os altid være i en hvilken som helst dimension en symmetri , det vil sige en involutiv endomorfisme : s 2 = id. Den annulleres af polynomiet x 2 - 1 = ( X - 1) ( X + 1), som er opdelt, og med enkle rødder, så snart område af skalarer har en karakteristisk forskellig fra 2. Det er derfor i dette tilfælde diagonaliserbart, idet de to egenværdier (for egenværdierne 1 og -1) desuden er dem (for egenværdierne 1 og 0) for projektoren p = ( s + id) / 2.
For eksempel på mellemrummet ℒ ( H ) af operatorer afgrænset af et Hilbert-rum H på K = ℝ eller ℂ , er symmetrien, som hver operatør forbinder dens tillæg , altid ℝ-lineær og diagonaliserbar som sådan : operatorerne eremitere og antihermitianer danner to yderligere reelle vektors underrum (topologisk). (Når H har en endelig dimension n over K , viser en matrixskrivning , at deres dimensioner er henholdsvis lig med n ( n + 1) / 2 og n ( n - 1) / 2, hvis H er euklidisk , og begge er lig med n 2 hvis H er Hermitian .)
Grænser og generalitet
Ikke alle endomorfier er diagonaliserbare. Imidlertid:
- den karakteristiske polynom af en endomorfisme deles, hvis og kun hvis dens minimale polynom er delt , og over et algebraisk lukket felt som ℂ , er de altid. I dette tilfælde sikrer Dunfords nedbrydning , at endomorfismen nedbrydes som summen af en diagonaliserbar endomorfisme og en pendlende nilpotent, hvilket letter beregningen af dens kræfter og eksponentialer ;
- i sættet med firkantede matricer med fast størrelse med komplekse koefficienter (som alle er trigonaliserbare på ℂ), er sættet med diagonaliserbare matricer tæt (for den sædvanlige topologi );
- i sættet med firkantede matricer af fast størrelse med ægte koefficienter trigonaliserbare på ℝ (det vil sige, hvor alle egenværdierne - a priori kompleks - er reelle), er sættet med diagonaliserbare matricer tæt.
Samtidig diagonalisering
Hvis en familie af endomorphisms af et rum E er samtidig diagonaliserbar , det vil sige, hvis der findes en ordentlig basis af E for alle , er det klart, at de pendle to og to .
(ujeg)jeg∈jeg{\ displaystyle (u_ {i}) _ {i \ i I}}ujeg{\ displaystyle u_ {i}}ujeg{\ displaystyle u_ {i}}
Vi har kun en delvis konversation: hvis E har en begrænset dimension, eller hvis den er endelig, kan enhver familie af diagonaliserbare endomorfier af E, som pendler to og to, samtidig diagoniseres.
jeg{\ displaystyle I}(ujeg)jeg∈jeg{\ displaystyle (u_ {i}) _ {i \ i I}}
Noter og referencer
-
Yoann Gelineau ( Université Claude-Bernard Lyon 1 ), Densitet af diagonaliserbare matricer i ℳ n (ℂ) efter Rombaldi, Thèmes pour l ' aggregation de mathematics , s. 51 .
-
Korrigerede øvelser Diagonalisering og stabile underrum på Wikiversity .
Bibliografi
(en) Richard S. Varga, Matrix Iterativ analyse , Springer, 2010 ( ISBN 978-3-64205154-8 )
Relaterede artikler