Generaliseret Fermat ligning

I aritmetik er den generaliserede Fermat ligning ligningen

${\ displaystyle Ax ^ {p} + By ^ {q} + Cz ^ {r} = 0}$

hvor er ikke-nul heltal, er ikke-nul heltal primært for hinanden og er heltal. ${\ displaystyle A, B, C \ in \ mathbb {Z} _ {\ neq 0}}$ $X Y Z$ ${\ displaystyle p, q, r \ geq 2}$

Som navnet antyder, generaliserer denne ligning ligningen, hvis berømte Fermats sidste sætning fastslår umuligheden når . Ligesom denne før dens beslutning ligger dens største interesse i dag i at stimulere udviklingen af nye matematiske værktøjer, der er nødvendige for dens frygt. Blandt disse værktøjer er Frey-kurver , modulformer og Galois-repræsentationer . Som sådan har emnet for generaliserede Fermat-ligninger stor fordel af de broer, der kastes mellem aritmetik og repræsentationsteori af Langlands-programmet . Nogle cyklotomiske tilgange er også blevet fremsat, men ingen synes stærke nok. ${\ displaystyle x ^ {n} + y ^ {n} = z ^ {n}}$ $n \ geq 3$

Den generaliserede Fermat-ligning refererer undertiden til den ene eller den ligning . Sidstnævnte er den mest undersøgte og mindst to uløste formodninger relateret til den: den Fermat-catalanske formodning og Beal-formodningen. ${\ displaystyle Axe ^ {n} + Af ^ {n} + Cz ^ {n} = 0}$ ${\ displaystyle x ^ {p} + y ^ {q} = z ^ {r}}$

Definitioner

Vi kalder den signatur og den karakteristiske af ligningen . Der er flere hovedtilfælde afhængigt af karakteristikken, navngivet efter analogi med klassificeringen af rum efter deres krumning : ${\ displaystyle (p, q, r)}$ ${\ displaystyle \ chi = {\ frac {1} {p}} + {\ frac {1} {q}} + {\ frac {1} {r}}}$ ${\ displaystyle Ax ^ {p} + By ^ {q} + Cz ^ {r} = 0}$

${\ displaystyle \ chi> 1}$ , den sfæriske sag . er op til permutation eller . ${\ displaystyle (p, q, r)}$ ${\ displaystyle (2,2, n), n \ geq 2}$ ${\ displaystyle (2,3,3), (2,3,4), (2,3,5)}$
$\ chi = 1$ , den euklidiske (eller parabolske ) sag. er op til permutation , eller . ${\ displaystyle (p, q, r)}$ ${\ displaystyle (3,3,3)}$ ${\ displaystyle (2,4,4)}$ ${\ displaystyle (2,3,6)}$
${\ displaystyle \ chi <1}$ , det hyperbolske tilfælde .

På grund af det relativt lille antal værdier, der vedrører dem, forstås de sfæriske og euklidiske tilfælde nu godt. Det hyperbolske tilfælde er derfor det, der er genstand for mest forskning. ${\ displaystyle (p, q, r)}$

Formodninger

Fermat-catalansk formodning

Den Fermat-catalanske formodning eller den generaliserede Fermat-formodning er angivet

${\ displaystyle (x ^ {p}, y ^ {q}, z ^ {r})}$ tager kun et endeligt antal værdier blandt alle løsninger til med heltal prime mellem dem og heltal som f.eks . ${\ displaystyle x ^ {p} + y ^ {q} = z ^ {r}}$ ${\ displaystyle x, y, z \ geq 1}$ ${\ displaystyle p, q, r \ geq 2}$ ${\ displaystyle {\ frac {1} {p}} + {\ frac {1} {q}} + {\ frac {1} {r}} <1}$

Det er nødvendigt at bede om en uendelighed af værdier for og ikke en uendelighed af værdier for fordi giver denne uendelighed uden at være så interessant. ${\ displaystyle (x ^ {p}, y ^ {q}, z ^ {r})}$ ${\ displaystyle (x, y, z, p, q, r)}$ ${\ displaystyle 1 ^ {p} + 2 ^ {3} = 3 ^ {2}}$

Vi kender nu ti løsninger på denne ligning. Se hyperbolsk sag .

Henri Darmon vil tilbyde canadiske dollars til alle, der finder en ny løsning på . ${\ displaystyle 300 \ left ({\ frac {1} {{\ frac {1} {p}} + {\ frac {1} {q}} + {\ frac {1} {r}}}} - 1 \ ret)}$ ${\ displaystyle x ^ {p} + y ^ {q} = z ^ {r}}$

Beals formodning

Den Beal formodninger læser

Hvis , med og alle heltal, så har en fælles faktor. ${\ displaystyle x ^ {p} + y ^ {q} = z ^ {r}}$ ${\ displaystyle x, y, z \ geq 1}$ ${\ displaystyle p, q, r \ geq 3}$ $X Y Z$

Med andre ord er Beals formodning sand, hvis og kun hvis alle løsningerne i den generaliserede Fermat-ligning bruges mindst én gang som en eksponent. ${\ displaystyle (A, B, C) = (1,1, -1)}$ $2$

Det er opkaldt efter Andrew Beal , amerikansk millionærbankmand og amatørmatematiker, der formulerede det i 1993 med det formål at generalisere Fermats sidste sætning . I 1997 gav han den en pengepræmie i bytte for bevis eller et modeksempel. Prisen, som nu ligger på 1 million dollars, ejes af American Mathematical Society .

Det kaldes undertiden også formodningerne Tijdeman og Zagier, fordi de også formulerede det i 1994. Hvis Andrew Beal sandsynligvis formulerede det uafhængigt, blev meget lignende spørgsmål allerede diskuteret af forskere på området, så dets nøjagtige oprindelse forbliver usikker. Nogle forfattere sporer det tilbage til diskussioner af Andrew Granville, der går tilbage til 1985.

Forhold til andre formodninger

Beals formodning involverer Fermats sidste sætning. Faktisk svarer enhver løsning til en respekterende løsning . Det opnås ved at dividere med deres største fælles faktor. $(X Y Z)$ ${\ displaystyle x ^ {n} + y ^ {n} = z ^ {n}}$ ${\ displaystyle (x ', y', z ')}$ ${\ displaystyle \ mathrm {pgcd} (x ', y', z ') = 1}$ $X Y Z$

Den abc-formodningen involverer Fermat-catalanske formodninger og involverer Beal formodninger med et endeligt antal undtagelser.

Generelle bemærkninger

Når vises som en eksponent, kan den altid erstattes af for ethvert naturligt tal, da en -th- magt også er en -th- magt . Dette gør det ofte muligt kun at behandle sager og . $ikke$ ${\ displaystyle kn}$ $k$ ${\ displaystyle kn}$ $ikke$ ${\ displaystyle n {\ text {first}}}$ $n = 4$

Hvis , er betingelsen ækvivalent med betingelsen, fordi en hel delingsfaktor på to termer også deler den tredje. ${\ displaystyle | A | = | B | = | C | = 1}$ ${\ displaystyle \ mathrm {pgcd} (x, y, z) = 1}$ ${\ displaystyle \ mathrm {pgcd} (x, y) = 1 {\ text {eller}} \ mathrm {pgcd} (y, z) = 1 {\ text {eller}} \ mathrm {pgcd} (z, x ) = 1}$ $X Y Z$

Hvis , så ${\ displaystyle (A, B, C) = (1,1, -1)}$

$s$ og spiller symmetriske roller og kan derfor udveksles. $q$
Hvis det er ulige, svarer løsning af signaturligningen til at løse signaturligningen ved at erstatte med . $q$ ${\ displaystyle (p, q, r)}$ ${\ displaystyle (r, q, p)}$ $y$ ${\ displaystyle -y}$
Tilsammen gør disse to bemærkninger, at hvis mindst to heltal blandt er ulige, er ligningen af signaturen ækvivalent med alle dem, hvis signatur er en permutation af . ${\ displaystyle p, q, r}$ ${\ displaystyle (p, q, r)}$ ${\ displaystyle (p, q, r)}$

Betingelsen er der for at forhindre, at den ene ende af ligningen forsvinder. I det tilfælde hvor der kun er to udtryk, er ligningen meget let at løse. ${\ displaystyle xyz \ neq 0}$

Betingelsen forklares ved, at man let kan få på mindst to måder en uendelighed af uinteressante løsninger: ${\ displaystyle \ mathrm {pgcd} (x, y, z) = 1}$

hvis de er primære indbyrdes, så eksisterer der ved sætningen kinesiske rester , således at vi til alle sådanne, at vi kan knytte en løsning af den generaliserede Fermat-ligning (som opnås ved at gange de to medlemmer af ligestillingen med ). ${\ displaystyle p, q, r}$ ${\ displaystyle (\ lambda _ {a}, \ lambda _ {b}, \ lambda _ {c})}$ ${\ displaystyle {\ begin {cases} p \ mid \ lambda _ {a} +1, \ lambda _ {b}, \ lambda _ {c} \\ q \ mid \ lambda _ {a}, \ lambda _ { b} +1, \ lambda _ {c} \\ r \ mid \ lambda _ {a}, \ lambda _ {b}, \ lambda _ {c} +1 \\\ end {cases}}}$ $ABC$ ${\ displaystyle Aa + Bb + Cc = 0}$ ${\ displaystyle (x, y, z) = \ left (a ^ {\ frac {\ lambda _ {a} +1} {p}} b ^ {\ frac {\ lambda _ {b}} {p}} c ^ {\ frac {\ lambda _ {c}} {p}}, a ^ {\ frac {\ lambda _ {a}} {q}} b ^ {\ frac {\ lambda _ {b} +1} {q}} c ^ {\ frac {\ lambda _ {c}} {q}}, en ^ {\ frac {\ lambda _ {a}} {r}} b ^ {\ frac {\ lambda _ {b }} {r}} c ^ {\ frac {\ lambda _ {c} +1} {r}} \ højre)}$ ${\ displaystyle Aa + Bb + Cc = 0}$ ${\ displaystyle a ^ {\ lambda _ {a}} b ^ {\ lambda _ {b}} c ^ {\ lambda _ {c}}}$
Til en hvilken som helst løsning svarer en uendelighed af løsninger defineret af . $(x_ {0}, y_ {0}, z_ {0})$ ${\ displaystyle (x_ {n}, y_ {n}, z_ {n})}$ ${\ displaystyle (x_ {n + 1}, y_ {n + 1}, z_ {n + 1}) = (x_ {n} ^ {qr + 1} y_ {n} ^ {qr} z_ {n} ^ {qr}, x_ {n} ^ {rp} y_ {n} ^ {rp + 1} z_ {n} ^ {rp}, x_ {n} ^ {pq} y_ {n} ^ {pq} z_ {n } ^ {pq + 1})}$

Resultattabellerne på denne side registrerer kun ikke-trivielle primitive løsninger. Når eksponenten er jævn, udelades de forskellige tegn. Vi bruger notationen til at betegne, at alle permutationer overvejes. ${\ displaystyle \ {p, q, r \}}$ ${\ displaystyle (p, q, r)}$

Sfærisk sag

Frits Beukers har vist, at der enten ikke findes nogen løsning, eller at der er et uendeligt antal af dem. ${\ displaystyle (p, q, r)}$

Hvis , har vi et begrænset antal polynomiale parametreringer med heltalskoefficienter med to variabler, der genererer alle løsningerne: ${\ displaystyle (A, B, C) = (1,1, -1)}$

${\ displaystyle (p, q, r) =}$	under sag	dateret	forfattere	noter ( er ikke-nul heltal primære indbyrdes) $u, v$
${\ displaystyle (2,2, n)}$	$n = 2$			Løsningerne er de pythagoriske tredobler : ${\ displaystyle (x, y, z) = (u ^ {2} -v ^ {2}, 2uv, u ^ {2} + v ^ {2})}$
${\ displaystyle (2,2, n)}$	$ikke$ nogen			En parametrering: . Se Fermats to-kvadratiske sætning ${\ displaystyle (x, y, z) = ({\ mathfrak {Re}} (u + vi) ^ {n}, {\ mathfrak {Im}} (u + vi) ^ {n}, u ^ {2 } + v ^ {2})}$
${\ displaystyle (2, n, 2)}$				Dette er en let sag at løse
${\ displaystyle \ {2,3,3 \}}$			Louis mordell
${\ displaystyle (2,3,4)}$			Don Zagier
${\ displaystyle (2,4,3)}$				4 polynomiske parametrieringer
${\ displaystyle \ {2,3,5 \}}$		2004	Johnny edwards	27 polynomiske parametreringer

Euklidisk sag

Hvis , har vi følgende resultater ${\ displaystyle (A, B, C) = (1,1, -1)}$

${\ displaystyle (p, q, r) =}$	under sag	dateret	forfattere	noter
${\ displaystyle \ {2,3,6 \}}$		2014	Michael Bennett, Imin Chen, Sander Dahmen, Soroosh Yazdani	En løsning, ${\ displaystyle 1 ^ {6} + 2 ^ {3} = 3 ^ {2}}$
${\ displaystyle \ {2,4,4 \}}$	${\ displaystyle (2,4,4)}$	~ 1640	Pierre af Fermat	Ingen løsning. Se Fermats sætning om højre trekanter
${\ displaystyle \ {2,4,4 \}}$	${\ displaystyle (4,4,2)}$	1738	Leonhard Euler	Ingen løsning. Se Fermats sætning om højre trekanter
${\ displaystyle (3,3,3)}$		1760	Leonhard Euler	Ingen løsning. Følger fra Fermats sidste sætning

Hyperbolsk sag

Darmon-Granville sætningen sikrer, at der kun er et begrænset antal løsninger til ligningen, der skal rettes, hvis . ${\ displaystyle (p, q, r)}$ ${\ displaystyle {\ frac {1} {p}} + {\ frac {1} {q}} + {\ frac {1} {r}} <1}$

Alain Kraus giver eksplicitte øvre grænser (afhængigt af ) på primtal, således at ligningen har ikke-trivielle primitive løsninger. $ABC$ $ikke$ ${\ displaystyle Axe ^ {n} + Af ^ {n} + Cz ^ {n} = 0}$

Quan Dong Nguyen Ngoc viste i 2012 ved hjælp af forhindringen Brauer-Manin (in) , at der for enhver er en uendelig generaliseret Fermat-kurvesignatur, der overtræder Hasse-princippet ; der er en uendelighed af tredobler, således at ligningen har løsninger til ethvert primtal, men ingen løsning i . $n \ geq 2$ ${\ displaystyle (12n, 12n, 12n)}$ ${\ displaystyle (A, B, C)}$ ${\ displaystyle Ax ^ {12n} + By ^ {12n} + Cz ^ {12n} = 0}$ ${\ mathbb Z} / p {\ mathbb Z}$ $s$ $\ mathbb {Z}$

Sag ${\ displaystyle (A, B, C) = (1,1, -1)}$

Delvise resultater, når

{\ displaystyle \ min (p, q, r) = 2}

Hvornår tillader ligningen altid den såkaldte catalanske løsning . Dette udelades systematisk i nedenstående tabel. ${\ displaystyle (p, q, r) = (2,3, n) {\ text {eller}} (3, n, 2)}$ ${\ displaystyle 1 ^ {n} + 2 ^ {3} = 3 ^ {2}}$

Sager behandlet når

{\ displaystyle \ min (p, q, r) = 2}

${\ displaystyle (p, q, r) =}$	under sag	dateret	forfattere	noter
${\ displaystyle \ {2,3, n \}}$	${\ displaystyle n = 7}$	2005	Bjorn Poonen , Edward Schaefer, Michael Stoll	4 ikke-catalanske løsninger ${\ displaystyle 15312283 ^ {2} + 9262 ^ {3} = 113 ^ {7}}$ ${\ displaystyle 2213459 ^ {2} + 1414 ^ {3} = 65 ^ {7}}$ ${\ displaystyle 17 ^ {3} + 2 ^ {7} = 71 ^ {2}}$ ${\ displaystyle 76271 ^ {3} + 17 ^ {7} = 21063928 ^ {2}}$
	${\ displaystyle n = 9}$	2003	Nils bruin	En ikke-catalansk løsning, ${\ displaystyle 13 ^ {2} + 7 ^ {3} = 2 ^ {9}}$
	${\ displaystyle n = 11}$	2017	Nuno Freitas, Bartosz Naskręcki, Michael Stoll	Ingen ikke-catalansk løsning
	${\ displaystyle n = 13}$	2017	Nuno Freitas, Bartosz Naskręcki, Michael Stoll	Delvist løst
	$n = 15$	2013	Samir Siksek, Michael Stoll	Ingen ikke-catalansk løsning
	${\ displaystyle 3 \ mid n, {\ frac {n} {3}} \ equiv 1 \ mod 8 {\ text {first}}}$	2013	Michael Bennett, Imin Chen, Sander Dahmen, Soroosh Yazdani	Ingen ikke-catalansk løsning
${\ displaystyle (2,3,8)}$		2003	Nils bruin	En ikke-catalansk løsning, ${\ displaystyle 96222 ^ {3} + 43 ^ {8} = 30042907 ^ {2}}$
${\ displaystyle (2,3,10)}$		2009	David Brown	Ingen løsning
${\ displaystyle (2,4, n), n \ geq 5}$	${\ displaystyle 5 \ leq n <211 {\ text {først}}}$	2008	Michael Bennett, Jordan Ellenberg , Nathan C. Ng	2 løsninger, og ${\ displaystyle 7 ^ {2} + 2 ^ {5} = 3 ^ {4}}$ ${\ displaystyle 11 ^ {4} + 3 ^ {5} = 122 ^ {2}}$
	${\ displaystyle n \ geq 211 {\ text {first}}}$	2003	Jordan ellenberg	Ingen løsning
	${\ displaystyle n = 5.6}$ se nedenunder		Nils bruin	Ingen løsning
${\ displaystyle \ {2,4,5 \}}$		2003	Nils bruin
${\ displaystyle \ {2,4,6 \}}$		1997	Nils bruin
${\ displaystyle (2,6, n), n \ geq 3}$		2011	Michael Bennett, Imin Chen	Ingen løsning
${\ displaystyle (2,2n, 3), 3 \ leq n \ leq 10 ^ {7}}$	${\ displaystyle n = 3}$ se ovenfor	2011	Michael Bennett, Imin Chen	Ingen løsning
	${\ displaystyle n = 4}$			En løsning, ${\ displaystyle 1549034 ^ {2} + 33 ^ {8} = 15613 ^ {3}}$
	${\ displaystyle n = 31}$	2011	Sander dahmen	Ingen løsning
	${\ displaystyle n \ equiv -1 \ mod 6}$	2011	Sander dahmen
	${\ displaystyle n \ geq 8 {\ text {pair}}, {\ frac {n} {2}} \ equiv \ pm 2 \ mod 5 {\ text {or}} {\ frac {n} {2}} \ equiv \ pm 2, \ pm 4 \ mod 13}$	2014	Michael Bennett, Imin Chen, Sander Dahmen, Soroosh Yazdani
	${\ displaystyle 11 \ leq n <10 ^ {7} {\ text {first}}, n \ neq 31}$	2007	Imin Chen	Ingen løsning. Det er tilstrækkeligt at respektere en simpel tilstand, verificeret numerisk for små værdier $ikke$
${\ displaystyle (2,2n, 5)}$	${\ displaystyle n \ geq 29 {\ text {first}}, n \ equiv 1 \ mod 4}$	2010	Imin Chen	Ingen løsning
${\ displaystyle (2,2n, 9), n \ geq 2}$		2014	Michael Bennett, Imin Chen, Sander Dahmen, Soroosh Yazdani
${\ displaystyle (2,2n, 10), n \ geq 2}$
${\ displaystyle (2,2n, 15)}$
${\ displaystyle (2, n, 6), n \ geq 3}$
${\ displaystyle (4,2n, 3), n \ geq 2}$
${\ displaystyle (6, n, 2), n \ geq 3}$				Ingen ikke-catalansk løsning
${\ displaystyle (n, n, 2), n \ geq 5}$	${\ displaystyle n = 6}$		Leonhard Euler	Ingen løsning
	${\ displaystyle n = 5.9}$	1998	Björn Poonen
	${\ displaystyle n \ geq 7 {\ text {first}}}$	1995	Henri Darmon , Loïc Merel

Delvise resultater, når

{\ displaystyle p, q, r \ geq 3}

$x = 1$ eller er umulig under den catalanske formodning , demonstreret af Preda Mihăilescu i 2002. er umulig af lignende grunde. Følgende delresultater er relevante for fastlæggelsen af Beal-formodningen. Hvis det er sandt, er der ingen ikke-triviel løsning, hvornår . Den manglende løsning findes derfor ikke på hver linje. $y = 1$ ${\ displaystyle z = 1}$ ${\ displaystyle p, q, r \ geq 3}$

Sager behandlet når

{\ displaystyle p, q, r \ geq 3}

${\ displaystyle (p, q, r) =}$	under sag	dateret	forfattere	noter
${\ displaystyle (n, n, n), n \ geq 4}$	${\ displaystyle n = 5}$	1825	Dirichlet
${\ displaystyle (n, n, n), n \ geq 4}$		1994	Andrew Wiles	Dette er Fermats sidste sætning
${\ displaystyle (n, n, 3), n \ geq 4}$	$n = 4$	1873	Edward Lucas
	${\ displaystyle n = 5}$	1998	Björn Poonen
	${\ displaystyle n \ geq 7}$	1995	Henri Darmon , Loïc Merel
${\ displaystyle \ {3,3, n \}, 4 \ leq n <10 ^ {9}}$	${\ displaystyle n = 4.5}$	2000	Nils bruin
	${\ displaystyle n = 7,11,13}$	2000	Nils bruin	Delvist løst
	${\ displaystyle 17 \ leq n <10 ^ {4} {\ text {first}}}$	1998	Alain Kraus	Det er tilstrækkeligt at respektere en simpel tilstand, verificeret numerisk for små værdier $ikke$
	${\ displaystyle 10 ^ {4} <n <10 ^ {9} {\ text {first}}}$	2008	Imin Chen, Samir Siksek	Forbedret Kraus-tilstand og digital verifikation
	${\ displaystyle n {\ text {first}}, n \ equiv 2 \ mod 3}$	2016	Nuno freitas
	${\ displaystyle n \ geq 4 {\ text {pair}}}$	2014	Michael Bennett, Imin Chen, Sander Dahmen, Soroosh Yazdani
	andre modulo betingelser
${\ displaystyle (4,2n, 3), n \ geq 2}$
${\ displaystyle (3,6, n), n \ geq 3}$
${\ displaystyle \ {3,4,5 \}}$		2011	Samir Siksek, Michael Stoll
${\ displaystyle (4,4, n)}$ se under sag	${\ displaystyle n \ geq 17 {\ text {first}}, n \ not \ equiv -1 \ mod 8}$	2003	Luis Dieulefait
${\ displaystyle (4, n, 4)}$ se under sag	${\ displaystyle n \ geq 11 {\ text {first}}, n \ equiv 1 \ mod 4}$	1993	Henri Darmon
${\ displaystyle (4, n, 4)}$ se under sag	${\ displaystyle n \ geq 11 {\ text {first}}, z {\ text {pair}}}$	1993	Henri Darmon
${\ displaystyle \ {5.5, n \}}$ se under sag	$n = 3$	1998	Björn Poonen
	${\ displaystyle n \ geq 7 {\ text {first}}, z {\ text {pair}}}$	2007	Nicolas billerey
	${\ displaystyle n = 7}$	2013	Sander Dahmen, Samir Siksek
	${\ displaystyle n = 19}$
	${\ displaystyle n = 11}$			Betinget bevis forudsat den generaliserede Riemann-hypotese
	${\ displaystyle n = 13}$
${\ displaystyle \ {7,7,11 \}}$
${\ displaystyle \ {5,7,7 \}}$
${\ displaystyle (2l, 2m, n)}$ se under sag	${\ displaystyle n = 3, l \ geq 2, m \ equiv 3 \ mod 4}$	2014	Michael Bennett, Imin Chen, Sander Dahmen, Soroosh Yazdani
	${\ displaystyle n = 5, l = m \ geq 2}$	2006	Michael Bennett
	${\ displaystyle n \ in \ {3,5,7,11 \}, l, m \ geq 5 {\ text {prime}}}$	2015	Samuele Anni, Samir Siksek
	${\ displaystyle n = 13, l, m \ geq 5 {\ text {prime}}, l, m \ neq 7}$	2015	Samuele Anni, Samir Siksek
	${\ displaystyle n = 13, l, m \ geq 5 {\ text {first}}}$	2018	Nicolas Billerey, Imin Chen, Lassina Dembélé, Luis Dieulefait, Nuno Freitas
${\ displaystyle (3l, 3m, n), l, m \ geq 2, n \ geq 3}$		1998	Alain Kraus	Kraus beviser det . Ved at tage har vi resultatet ${\ displaystyle a ^ {3} + b ^ {3} = z ^ {n} \ antyder v_ {2} (ab) = 1}$ ${\ displaystyle (a, b, c) = (x ^ {l}, y ^ {m}, z)}$

Digital forskning

Peter Norvig , forskningsdirektør hos Google , har meddelt, at han digitalt har fjernet alle mulige løsninger med og såvel som og . ${\ displaystyle p, q, r \ leq 7}$ ${\ displaystyle x, y, z \ leq 250000}$ ${\ displaystyle p, q, r \ leq 100}$ ${\ displaystyle x, y, z \ leq 10000}$

Almindelig sag

Den glatte sag er blevet undersøgt af Lucas i mange specielle tilfælde. ${\ displaystyle A, B, C}$ ${\ displaystyle 3}$

ligning	under sag	dateret	forfattere	noter
${\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} = 2z ^ {2}}$		1877	Edward Lucas	En uendelig række løsninger. Se sfærisk sag .
${\ displaystyle x ^ {2} + 2y ^ {2} = 3z ^ {2}}$		1877	Edward Lucas	En uendelig række løsninger. Se sfærisk sag .
${\ displaystyle x ^ {2} + 3y ^ {6} = z ^ {n}}$	$n \ geq 3$	2018	Angelos Koutsianas	En løsning, ${\ displaystyle 47 ^ {2} +3 \ cdot 2 ^ {6} = 7 ^ {4}}$
${\ displaystyle x ^ {3} + y ^ {5} = 15 ^ {6} z ^ {7}}$		2008	Sander dahmen	Ingen løsning
${\ displaystyle 16x ^ {2} + 3y ^ {3} = z ^ {5}}$
${\ displaystyle 16x ^ {2} + 9y ^ {3} = z ^ {5}}$
${\ displaystyle Ax ^ {3} + By ^ {3} = Cz ^ {3}}$	mange forskellige specielle tilfælde	1951	Ernst Selmer
${\ displaystyle Ax ^ {2} + y ^ {4} = z ^ {n}}$	${\ displaystyle 24x ^ {4} + y ^ {4} = z ^ {4}}$	2016	Gustav Söderlund	Elementær bevis, ingen løsning
	${\ displaystyle A = 2, n = 3}$	2016	Gustav Söderlund	Elementær bevis, en løsning, ${\ displaystyle 2 \ cdot 5 ^ {4} + 3 ^ {4} = 11 ^ {3}}$
	${\ displaystyle A = 2, n \ geq 4}$	2008	Michael Bennett, Jordan Ellenberg , Nathan C. Ng	Ingen løsning
	${\ displaystyle A = 3, n \ geq 137 {\ text {first}}}$	2006	Luis Dieulefait, Jorge Jiménez Urroz	Ingen løsning
${\ displaystyle x ^ {2} + 3y ^ {6} = z ^ {n}}$	$n \ geq 3$	2018	Angelos Koutsianas	En løsning, ${\ displaystyle 47 ^ {2} +3 \ cdot 2 ^ {6} = 7 ^ {4}}$
${\ displaystyle x ^ {4} + Af ^ {n} = z ^ {4}}$	${\ displaystyle B = 2 ^ {\ alpha}, n \ geq 5 {\ text {first}}, \ alpha \ geq 1}$	2006	Andrzej Dąbrowski	Ingen løsning
${\ displaystyle x ^ {4} + Af ^ {n} = z ^ {4}}$	${\ displaystyle B = 2 ^ {\ alpha} q ^ {\ beta}, n> \ left ({\ sqrt {8q + 8}} + 1 \ right) ^ {2q-2} {\ text {first}} , q {\ tekst {ikke af formen}} 2 ^ {m} \ pm 1 {\ tekst {først}}, \ beta \ geq 1}$	2006	Andrzej Dąbrowski	Ingen løsning
${\ displaystyle x ^ {r} + y ^ {r} = Cz ^ {p}}$	${\ displaystyle r \ geq 5, p \ geq 3}$	2002	Alain Kraus	Der er kun et begrænset antal givende løsninger $VS$
${\ displaystyle x ^ {4} + y ^ {4} = Cz ^ {n}}$	${\ displaystyle C \ in \ {73,89,113 \}, n \ geq 17 {\ text {first}}}$	2005	Luis Dieulefait	Ingen løsning
${\ displaystyle x ^ {5} + y ^ {5} = Cz ^ {n}}$	${\ displaystyle n \ geq 7 {\ text {first}}, C = 2 ^ {\ alpha} \ cdot 5 ^ {\ beta}, 2 \ leq \ alpha \ leq 4.0 \ leq \ beta \ leq 4}$	2007	Nicolas billerey	Ingen løsning
	nogle andre specielle tilfælde, når det er -smooth $VS$ ${\ displaystyle 5}$	2007	Nicolas billerey
	${\ displaystyle n \ geq 17 {\ text {first}}, n \ equiv 1 \ mod 4 {\ text {or}} n \ equiv \ pm 1 \ mod 5, C = 2 \ gamma, \ forall q \ equiv 1 \ mod 5 {\ text {først}}, q \ nmid \ gamma}$	2011	Luis Dieulefait, Nuno Freitas
	${\ displaystyle n \ geq 89 {\ text {first}}, n \ equiv 1 \ mod 4 {\ text {or}} n \ equiv \ pm 1 \ mod 5, C = 3 \ gamma, \ forall q \ equiv 1 \ mod 5 {\ text {først}}, q \ nmid \ gamma}$	2011	Luis Dieulefait, Nuno Freitas
	${\ displaystyle C \ in \ {1,2 \}, n {\ text {first}}, \ mathrm {pgcd} (c, 10n)> 1}$	2017	Nicolas Billerey, Imin Chen, Luis Dieulefait, Nuno Freitas	En løsning, ${\ displaystyle 1 ^ {5} + 1 ^ {5} = 2 \ cdot 1 ^ {n}}$
	${\ displaystyle C = 3, n \ geq 2}$	2017	Nicolas Billerey, Imin Chen, Luis Dieulefait, Nuno Freitas	Ingen løsning
${\ displaystyle x ^ {7} + y ^ {7} = Cz ^ {n}}$	${\ displaystyle n> (3 ^ {18} +1) ^ {2} {\ text {først}}}$	2012	Nuno freitas	Ingen løsning
${\ displaystyle x ^ {14} + y ^ {14} = Cz ^ {n}}$	${\ displaystyle n \ geq 17 {\ text {first}}, C = 2 ^ {\ alpha _ {2}} 3 ^ {\ alpha _ {3}} 5 ^ {\ alpha _ {5}} \ gamma, \ alpha _ {2} \ geq 1 {\ text {eller}} \ alpha _ {3} \ geq 1 {\ text {eller}} \ alpha _ {5} \ geq 2,7 \ nmid \ gamma, \ forall q \ equiv 1 \ mod 7 {\ text {first}}, q \ nmid \ gamma}$			Ingen løsning
${\ displaystyle x ^ {13} + y ^ {13} = Cz ^ {n}}$	${\ displaystyle C = 3, n \ geq 2}$	2018	Nicolas Billerey, Imin Chen, Lassina Dembélé, Luis Dieulefait, Nuno Freitas	Ingen løsning
${\ displaystyle x ^ {13} + y ^ {13} = Cz ^ {n}}$	${\ displaystyle n {\ text {first}}, n \ notin \ {2,3,5,7,11,13,19,23,29,71 \}, C = d \ gamma, d \ in \ { 3,5,7,11 \}, 13 \ nmid z, \ forall q \ equiv 1 \ mod 13 {\ text {first}}, q \ nmid \ gamma}$	2013	Nuno Freitas, Samir Siksek	Ingen løsning
${\ displaystyle x ^ {26} + y ^ {26} = Cz ^ {n}}$	${\ displaystyle n {\ text {first}}, n \ notin \ {2,3,5,7,11,13,19,23,29,71 \}, C = 10 \ gamma, \ forall q \ equiv 1 \ mod 13 {\ text {først}}, q \ nmid \ gamma}$	2013	Nuno Freitas, Samir Siksek	Ingen løsning
${\ displaystyle x ^ {n} +2 ^ {\ alpha} y ^ {n} = Cz ^ {2}}$	${\ displaystyle n \ geq 7 {\ text {first}}, C = 1,2 \ leq \ alpha \ leq p-2}$	2000	Wilfrid Ivorra	2 løsninger , ${\ displaystyle 1 ^ {n} + 2 ^ {3} \ cdot 1 ^ {n} = 3 ^ {2}}$ ${\ displaystyle 2 ^ {n} + 2 ^ {n-3} \ cdot 1 ^ {n} = \ left (3 \ cdot 2 ^ {\ frac {n-3} {2}} \ right) ^ {2 }}$
	${\ displaystyle n \ geq 5 {\ text {first}}, C = 2, \ alpha \ leq p-1}$	2000	Wilfrid Ivorra	En løsning, ${\ displaystyle 1 ^ {n} + 2 ^ {0} \ cdot 1 ^ {n} = 2 \ cdot 1 ^ {n}}$
	${\ displaystyle n \ geq 7 {\ text {first}}, n \ geq C, \ alpha \ geq \ alpha _ {0}, (C, \ alpha _ {0}) \ in \ {(1,2) , (3.2), (5.6), (7.4), (13.2), (15.6), (17.6) \}}$	2002	Michael Bennett, Chris M. Skinner	Ingen løsning
	${\ displaystyle n \ geq 11 {\ text {first}}, \ alpha \ geq 2, (\ alpha, n) \ neq (3,13)}$			Ingen løsning
${\ displaystyle x ^ {n} + y ^ {n} = Cz ^ {2}}$	${\ displaystyle C \ in \ {1,2,3,5,6,10,11,13 \}, n \ geq 4}$			3 løsninger , ${\ displaystyle 1 ^ {2} + 1 ^ {2} = 2 \ cdot 1 ^ {2}}$ ${\ displaystyle 3 ^ {5} + (- 1) ^ {5} = 2 \ cdot 11 ^ {2}}$ , ${\ displaystyle 3 ^ {5} + 2 ^ {5} = 11 \ cdot 5 ^ {2}}$
	${\ displaystyle C = 17, n \ geq 5}$			Ingen løsning
	${\ displaystyle C = 2 ^ {\ alpha} M, n> M ^ {132M ^ {2}} {\ text {first}}, \ alpha \ geq 1, M {\ text {quadratfrei}}, 3 \ nmid M, 7 \ nmid M}$	2009	Andrzej Dąbrowski	Ingen løsning
${\ displaystyle x ^ {n} + y ^ {n} = p ^ {\ alpha} z ^ {3}}$	${\ displaystyle n, p {\ text {prime}}, n> p ^ {4p ^ {2}}}$	2000	Michael Bennett, Vinayak Vatsal, Soroosh Yazdani	Ingen løsning
${\ displaystyle x ^ {n} + p ^ {\ alpha} y ^ {n} = 3 ^ {\ beta} z ^ {3}}$	${\ displaystyle n, p {\ text {prime}}, \ beta = 0, p \ neq 5 {\ text {ikke af formen}} s ^ {3} \ pm 3 ^ {t}, t \ neq 1 }$
	${\ displaystyle n, p {\ text {prime}}, n> p ^ {2p}, \ beta = 0, p {\ text {ikke af formen}} s ^ {3} \ pm 3 ^ {t} , t \ neq 1}$
	${\ displaystyle n, p {\ text {prime}}, \ alpha, \ beta \ geq 1, p \ neq 5 {\ text {no shapes}} 3s ^ {2} \ pm 1,9s ^ {2} \ pm 1}$
${\ displaystyle x ^ {n} + L ^ {\ alpha} y ^ {n} + z ^ {n} = 0}$	${\ displaystyle L \ in \ {3,5,7,11,13,17,19,23,29,53,59 \}, \ alpha \ geq 1, n \ geq 11 {\ text {first}}, n \ neq L}$	1996	Alain Kraus	Ingen løsning
	${\ displaystyle L = 2,3 \ leq n \ leq 29 {\ text {first}}}$		Pierre Denes	En løsning, ${\ displaystyle 1 ^ {n} +2 \ cdot (-1) ^ {n} + 1 ^ {n} = 0}$
	${\ displaystyle L = 2, n \ geq 17 {\ text {first}}, n \ equiv 1 \ mod 4}$	1995	Kenneth ribet
	${\ displaystyle L = 2, n \ equiv 3 \ mod 4 {\ text {first}}}$	1995	Kenneth ribet	Delvist løst
${\ displaystyle Ax ^ {n} + By ^ {n} = Cz ^ {n}}$	${\ displaystyle A, B, C {\ text {ulige og prime til hinanden}}}$	2002	Emmanuel Halberstadt, Alain Kraus	Der findes et sæt primtal med strengt positiv tæthed, så der ikke er nogen løsning på alt . $P$ ${\ displaystyle n \ i P}$

Generaliseringer

Beals formodning er falsk, hvis vi udvider den til Gaussiske heltal . Efter at en $ 50- præmie blev sat i spil for et bevis eller et modeksempel, foreslog Fred W. Helenius . ${\ displaystyle (-2 + i) ^ {3} + (- 2-i) ^ {3} = (1 + i) ^ {4}}$

Fermats sidste sætning holder stadig nogle ringe. Vi siger, at den sidste asymptotiske Fermat-sætning er sand i marken (eller i dens ring af heltal , det er ækvivalent), hvis ${\ displaystyle K}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {K}}$

Der er en konstant sådan , at ligningen ikke har en løsning for enhver prim (in ) . ${\ displaystyle B_ {K}}$ ${\ displaystyle n \ geq B_ {K}}$ $\ mathbb {Z}$ ${\ displaystyle a ^ {n} + b ^ {n} + c ^ {n} = 0}$ ${\ displaystyle a, b, c \ i K \ setminus \ {0 \}}$

Nedenfor siges to løsninger at være ækvivalente, hvis der er sådan, at : ${\ displaystyle (x, y, z), (x ', y', z ')}$ ${\ displaystyle \ lambda \ i K}$ ${\ displaystyle (x ', y', z ') = (\ lambda x, \ lambda y, \ lambda z)}$

ligning	legeme ${\ displaystyle K}$	under sag	dateret	forfattere	resultater / noter
${\ displaystyle x ^ {n} + y ^ {n} + z ^ {n} = 0}$	${\ displaystyle \ mathbb {Q} ({\ sqrt {d}})}$	${\ displaystyle d> 0}$	2013	Nuno Freitas, Samir Siksek	Asymptotisk FLT etableret for et sæt tæthed blandt quadratfrei-heltal. ${\ displaystyle d}$ ${\ displaystyle {\ frac {5} {6}}}$ (forbedres til en tæthed for at antage en generalisering af Eichler-Shimura-formodningen) ${\ displaystyle 1}$
		${\ displaystyle d <0, d \ equiv 2,3 \ mod 4}$	2016	Mehmet Şengün, Samir Siksek	FLT asymptotisk bestemt ved at antage en variant af Serre modularitet formodning (en) (se Langlands-programmet )
		${\ displaystyle n = 3}$		Paulo ribenboim	Hvis der er en ikke-triviel løsning, er der en uendelighed af dem (ikke svarende til hinanden)
				Alexander Aigner	Enhver opløsning svarer til en opløsning af formen ${\ displaystyle (a + b {\ sqrt {d}}) ^ {3} + (ab {\ sqrt {d}}) ^ {3} = c ^ {3}}$
				Alexander Aigner, Fueter	Der er ikke-trivielle løsninger i hvis og kun hvis der er i ${\ displaystyle \ mathbb {Q} ({\ sqrt {d}})}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Q} ({\ sqrt {-3d}})}$
	${\ displaystyle \ mathbb {Q} ({\ sqrt {3}})}$		2003	Frazer Jarvis, Paul Meekin	Ingen løsning
	${\ displaystyle \ mathbb {Q} ({\ sqrt {2}})}$				Der er et uendeligt antal løsninger genereret af løsningen ${\ displaystyle (18 + 17 {\ sqrt {2}}) ^ {3} + (18-17 {\ sqrt {2}}) ^ {3} = 42 ^ {3}}$
	${\ displaystyle \ mathbb {Q} ({\ sqrt {2}})}$	${\ displaystyle n \ geq 4}$			Ingen løsning
	${\ displaystyle \ mathbb {Q} ({\ sqrt {-3}})}$				For ethvert heltal, der ikke kan deles med , (dette svarer til hvor er primitiv tredje rod af enhed ) $ikke$ ${\ displaystyle 3}$ ${\ displaystyle 2 ^ {n} + (- 1 + {\ sqrt {-3}}) ^ {n} + (- 1 - {\ sqrt {-3}}) ^ {n} = 0}$ ${\ displaystyle \ omega ^ {2} + \ omega + 1 = 0}$ $\ omega$
${\ displaystyle x ^ {n} + y ^ {n} = z ^ {n}}$	${\ displaystyle \ mathbb {Q} (i)}$	${\ displaystyle n = 5,7,11}$	1978	Benedict Gross , David Rohrlich	Ingen løsning
	${\ displaystyle \ mathbb {Q} ({\ sqrt {-2}})}$
	${\ displaystyle \ mathbb {Q} ({\ sqrt {-7}})}$
	${\ displaystyle \ mathbb {Q} (i)}$	${\ displaystyle n = 13}$	2004	Pavlos Tzermias
	${\ displaystyle \ mathbb {Q} ({\ sqrt {-2}})}$
	${\ displaystyle \ mathbb {Q} ({\ sqrt {-7}})}$
	${\ displaystyle \ mathbb {Q} (i)}$	${\ displaystyle n = 17}$	1982	Fred Hao, Charles Parry
	${\ displaystyle \ mathbb {Q} ({\ sqrt {-2}})}$	${\ displaystyle n = 17}$	1982	Fred Hao, Charles Parry
	${\ displaystyle \ mathbb {Q} (i)}$	${\ displaystyle n = 3 {\ text {eller}} n \ geq 19 {\ text {først}}}$	2017	George Ţurcaş	Enhver løsning, der antager en variant af Serre-modularitetsformodninger (en) (se Langlands-programmet )
	${\ displaystyle \ mathbb {Q} ({\ sqrt {-2}})}$	${\ displaystyle n \ geq 19 {\ text {first}}}$
	${\ displaystyle \ mathbb {Q} ({\ sqrt {-7}})}$	${\ displaystyle n \ geq 17 {\ text {first}}}$
	${\ displaystyle \ mathbb {Q} ({\ sqrt {17}})}$	${\ displaystyle n \ geq 5 {\ text {first}}, n \ equiv 3,5 \ mod 8,}$	2015	Nuno Freitas, Samir Siksek	Ingen løsning
	${\ displaystyle \ mathbb {Q} ({\ sqrt {d}})}$	${\ displaystyle 3 \ leq d \ leq 23, d \ neq 5,17 {\ text {and quadratfrei}}, n \ geq 4}$	2015	Nuno Freitas, Samir Siksek	Ingen løsning
		${\ displaystyle d <0, n = 4,6,9}$	1934	Alexander Aigner	Ingen løsning, medmindre : ${\ displaystyle (n, d) = (4, -7)}$ ${\ displaystyle (1 + {\ sqrt {-7}}) ^ {4} + (1 - {\ sqrt {-7}}) ^ {4} = 2 ^ {4}}$
${\ displaystyle x ^ {n} + y ^ {n} + q ^ {r} z ^ {n} = 0}$		${\ displaystyle d \ geq 13 {\ text {quadratfrei}}, q \ geq 29 {\ text {first}}, \ left ({\ frac {d} {q}} \ right) = - 1, d \ equiv q \ equiv 5 \ mod 8}$	2015	Heline Deconinck	${\ displaystyle B_ {K}}$ eksisterer, forudsat at formodningen Eichler-Shimura respekterer ${\ displaystyle K}$

Bemærk også generaliseringerne til algebraiske eksponenter leveret af John Zuehlke ved meget enkle bevis, der kun bruger Gelfond-Schneider-sætningen :

Hvis og er sådan , så og ; ${\ displaystyle A, B, C, a, b, c, x, y, z \ in \ mathbb {Z} _ {\ neq 0}}$ ${\ displaystyle \ alpha, \ beta, \ gamma \ i {\ bar {\ mathbb {Q}}} \ cap \ mathbb {R} _ {\ neq 0}}$ ${\ displaystyle Ax ^ {a + i \ alpha} + By ^ {b + i \ beta} = Cz ^ {c + i \ gamma}}$ ${\ displaystyle x ^ {\ alpha} = y ^ {\ beta} = z ^ {\ gamma}}$ ${\ displaystyle Ax ^ {a} + By ^ {b} = Cz ^ {c}}$

og resultat

Ligningen har ingen løsninger med og . ${\ displaystyle x ^ {a + ib} + y ^ {a + ib} = z ^ {a + ib}}$ ${\ displaystyle a, x, y, z \ in \ mathbb {Z} _ {\ neq 0}}$ ${\ displaystyle b \ i {\ bar {\ mathbb {Q}}} \ cap \ mathbb {R} _ {\ neq 0}}$

Noter og referencer

Bemærkninger

Lucas 'papir behandler ikke eksplicit denne sag, men afsnit 5.2 i kilde 2 viser, at det kommer ned på det.
Teksten på arXiv er ikke opdateret. Betingelserne på n er mindre restriktive i det offentliggjorte papir.

Referencer

(da) Henri Darmon , “ Faltings plus epsilon, Wiles plus epsilon, and the generalised Fermat equation ” , CR Math. Rep. Acad. Sci. Canada ,1997, s. 3–14 ( læst online , hørt 16. april 2020 )
(i) " Beal formodninger " på American Mathematical Society (adgang 24 April 2020 )
(da) Michael Bennett , Preda Mihăilescu og Samir Siksek , "The Generalised Fermat Equation" , i åbne problemer i matematik , Springer International Publishing,2016, 173–205 s. ( ISBN 978-3-319-32160-8 , DOI 10.1007 / 978-3-319-32162-2_3 , læs online )
(in) Frits Beukers , " The Diophantine ligning Ax + By ^ p ^ q = r ^ Cz " , Duke Mathematical Journal , bind. 91, nr . 1,Januar 1998, s. 61–88 ( ISSN 0012-7094 , DOI 10.1215 / S0012-7094-98-09105-0 , læst online , adgang til 15. april 2020 )
(da) Henri Darmon, " Winding quotients and some variants of Fermat's Last Theorem " , J. Reine Angew. Matematik. ,1997, s. 81-100 ( ISSN 0075-4102 , læs online )
(in) Johnny Edwards , " En komplet løsning på x ^ 2 + y ^ 3 + z ^ 5 = 0 " , Crelle's Journal , bind. 2004 nr . 571,7. januar 2004( ISSN 0075-4102 og 1435-5345 , DOI 10.1515 / crll.2004.043 , læst online , hørt den 15. april 2020 )
(en) Michael A. Bennett , Imin Chen , Sander R. Dahmen og Soroosh Yazdani , “ Generaliserede Fermat-ligninger: En miscellany ” , International Journal of Number Theory , bind. 11, nr . 01,februar 2015, s. 1–28 ( ISSN 1793-0421 og 1793-7310 , DOI 10.1142 / S179304211530001X , læst online , adgang til 15. april 2020 )
(De) G. Bergmann , “ Über Eulers Beweis des großen Fermatschen Satzes für den Exponenten 3 ” , Mathematische Annalen , vol. 164, nr . 21 st juni 1966, s. 159–175 ( ISSN 1432-1807 , DOI 10.1007 / BF01429054 , læst online , adgang til 18. april 2020 )
(i) Darmon og Andrew Granville, " På ligningerne z ^ m = F (x, y) og Ax + By ^ p ^ q = r ^ Cz " , Bulletin of the London Mathematical Society ,November 1995, s. 513-544 ( ISSN 0024-6093 , læs online )
Alain Kraus , " Effektive markeringer for den generaliserede Fermat-ligning ", Canadian Journal of Mathematics , bind. 49, nr . 6,1 st december 1997, s. 1139–1161 ( ISSN 0008-414X og 1496-4279 , DOI 10.4153 / CJM-1997-056-2 , læst online , adgang til 15. april 2020 )
(i) Dong Quan Ngoc Nguyen , " Generalized Mordell kurver, generaliserede Fermat kurver, og Hasse princippet " ,2012( arXiv 1212.3400 , adgang 16. april 2020 )
(i) Bjørn Poonen , Edward F. Schaefer og Michael Stoll , " Drejninger af X (7) " , Duke Mathematical Journal , Vol. 137, nr . 1,Marts 2007, s. 103–158 ( ISSN 0012-7094 , DOI 10.1215 / S0012-7094-07-13714-1 , arXiv math / 0508174 , læst online , adgang 16. april 2020 )
(da) Nils Bruin , “ De primitive løsninger på x ^ 3 + y ^ 9 = z ^ 2 ” , Journal of Number Theory , bind. 111, nr . 1,Marts 2005, s. 179–189 ( DOI 10.1016 / j.jnt.2004.11.008 , læst online , adgang til 16. april 2020 )
(in) Nuno Freitas , Bartosz Naskrecki og Michael Stoll , " Den generaliserede Fermat-ligning med eksponenter 2, 3, n " , Compositio Mathematica , bind. 156, nr . 1,januar 2020, s. 77–113 ( ISSN 0010-437X og 1570-5846 , DOI 10.1112 / S0010437X19007693 , arXiv 1703.05058 , læst online , adgang til 15. april 2020 )
Den sætning for n = 11 antager den generaliserede Riemann hypotese, men dette er kun til at bekræfte beregninger.
(in) Samir Siksek og Michael Stoll , " Den generaliserede Fermat-ligning x ^ 2 + y ^ 3 = z ^ 15 " , Archiv der Mathematik , vol. 102, nr . 5,Maj 2014, s. 411–421 ( ISSN 0003-889X og 1420-8938 , DOI 10.1007 / s00013-014-0639-z , læs online , adgang til 17. april 2020 )
(i) Michael A. Bennett , Imin Chen , Sander R. Dahmen og Soroosh Yazdani , " På ligningen a ^ 3 + b ^ 3n = c ^ 2 " , Acta Arithmetica , bind. 163, nr . 4,2014, s. 327–343 ( ISSN 0065-1036 og 1730-6264 , DOI 10.4064 / aa163-4-3 , læst online , adgang til 18. april 2020 )
(i) Nils Bruin , " Chabauty-metoder ved hjælp af elliptiske kurver " , Crelle's Journal , bind. 2003 nr . 562,9. januar 2003, s. 27-49 ( ISSN 0075-4102 og 1435-5345 , DOI 10.1515 / crll.2003.076 , læst online , adgang til 19. april 2020 )
(i) David Brown , " Primitive Integral Solutions to x ^ 2 + y ^ 3 = z ^ {10} " , International Mathematics Research Notices , bind. 2012 n o 22012, s. 423–436 ( ISSN 1687-0247 , e-ISSN 1073-7928 , DOI 10.1093 / imrn / rnr022 , arXiv 0911.2932 , læst online , adgang til 17. april 2020 )
(in) Michael A. Bennett , Jordan S. Ellenberg og Nathan C. Ng , " The Diophantine ligning A ^ 4 + δ 2 ^ B ^ 2 = C ^ n " , International Journal of Number Theory , bind. 06, n o 02,marts 2010, s. 311–338 ( ISSN 1793-0421 og 1793-7310 , DOI 10.1142 / S1793042110002971 , læst online , adgang til 15. april 2020 )
(i) Jordan S. Ellenberg, " Galois-repræsentationer knyttet til Q-kurver og den generaliserede Fermat-ligning A + B ^ 4 ^ 2 = C ^ p " , American Journal of Mathematics ,Juli 2003, s. 763–787 ( ISSN 1080-6377 , læs online )
(en) Nils Bruin , " De diofantiske ligninger x ^ 2 ± y = ± z ^ 4 ^ 6 og x ^ 2 + y ^ z ^ 3 = 8 " , Compositio Mathematica , bind. 118, nr . 3,September 1999, s. 305–321 ( DOI 10.1023 / A: 1001529706709 , læst online , adgang 15. april 2020 )
(i) Michael A. Bennett og Imin Chen , " Multi-Frey ℚ-kurver og den diofantiske ligning a 2 + b 6 = cn " , Algebra & Number Theory , vol. 6, nr . 4,25. juli 2012, s. 707-730 ( ISSN 1944-7833 og 1937-0652 , DOI 10.2140 / ant.2012.6.707 , læst online , adgang til 15. april 2020 )
(in) Sander R. Dahmen , " En raffineret modulær tilgang til den diofantiske ligning x ^ 2 + y ^ {2n} = z ^ 3 " , International Journal of Number Theory , bind. 07, nr . 05,august 2011, s. 1303–1316 ( ISSN 1793-0421 og 1793-7310 , DOI 10.1142 / S1793042111004472 , læst online , adgang til 19. april 2020 )
(in) Imin Chen , " På ligningen s ^ 2 + y ^ {2p} = α ^ 3 " , Mathematics of Computation , Vol. 77, nr . 262,23. oktober 2007, s. 1223–1228 ( ISSN 0025-5718 , DOI 10.1090 / S0025-5718-07-02083-2 , læst online , adgang til 18. april 2020 )
(in) Imin Chen , " På ligningen a ^ 2 + b ^ {2p} = c ^ 5 " , Acta Arithmetica , vol. 143, nr . 4,2010, s. 345–375 ( ISSN 0065-1036 og 1730-6264 , DOI 10.4064 / aa143-4-3 , læst online , adgang til 17. april 2020 )
(da) Bjorn Poonen , “ Nogle diofantiske ligninger af formen x ^ n + y ^ n = z ^ m ” , Acta Arithmetica , vol. 86, nr . 3,1998, s. 193–205 ( ISSN 0065-1036 og 1730-6264 , DOI 10.4064 / aa-86-3-193-205 , læst online , adgang til 15. april 2020 )
Édouard Lucas, " Forskning i ubestemt analyse og aritmetik af Diophantus ", Bulletin for Emulation Society of the Department of Allier ,1873( læs online )
(i) Nils Bruin , " Vi har beføjelser summer af to terninger " , Algorithmic talteori , vol. 1838,2000, s. 169–184 ( ISBN 978-3-540-67695-9 , DOI 10.1007 / 10722028_9 , læst online , adgang til 16. april 2020 )
(da) Alain Kraus , " På ligningen a ^ 3 + b ^ 3 = c ^ p " , Experimental Mathematics , bind. 7, n o 1,1 st januar 1998, s. 1–13 ( ISSN 1058-6458 , DOI 10.1080 / 10586458.1998.10504355 , læst online , adgang til 16. april 2020 )
(i) Imin Chen og Samir Siksek , " Perfect beføjelser, der kan udtrykkes som summer af to terninger " , Journal of Algebra , bd. 322, nr . 3,august 2009, s. 638–656 ( DOI 10.1016 / j.jalgebra.2009.03.010 , læst online , adgang til 18. april 2020 )
(in) Nuno Freitas , " On the Fermat-kind equation x ^ 3 + y ^ 3 = z ^ p " , Commentarii Mathematici Helvetici , vol. 91, nr . 22016, s. 295–304 ( ISSN 0010-2571 , DOI 10.4171 / CMH / 386 , arXiv 1601.06361 , læst online , adgang til 18. april 2020 )
(in) Samir Siksek og Michael Stoll , " Delvis afstamning er hyperelliptiske kurver og den generaliserede Fermat-ligning x ^ 3 + y ^ z ^ 4 + 5 = 0 " , Bulletin of the London Mathematical Society , bind. 44, nr . 1,februar 2012, s. 151–166 ( DOI 10.1112 / blms / bdr086 , arXiv 1103.1979 , læst online , adgang til 18. april 2020 )
(i) Luis V. Dieulefait , " Modular congruence Q-curves, and the diophantine equation x ^ 4 + y ^ 4 = z ^ p " , Bulletin of the Belgian Mathematical Society - Simon Stevin , bind. 12, n o 3,September 2005, s. 363-369 ( ISSN 1370-1444 , DOI 10.36045 / bbms / 1126195341 , arXiv math / 0304425 , læst online , adgang til 18. april 2020 )
(in) Darmon, " Ligningen x ^ 4 - y ^ 4 = z ^ p " , Bulletin of the London Mathematical Society ,November 1995( læs online )
Nicolas Billerey , “ Fermats ligninger af typen (5, 5, p) ”, Bulletin of the Australian Mathematical Society , bind. 76, nr . 2oktober 2007, s. 161–194 ( ISSN 0004-9727 og 1755-1633 , DOI 10.1017 / S0004972700039575 , læst online , adgang til 16. april 2020 )
(da) Andrzej Dąbrowski , “ On a class of generalised Fermat equations ” , Bulletin of the Australian Mathematical Society , bind. 82, nr . 3,december 2010, s. 505–510 ( ISSN 0004-9727 og 1755-1633 , DOI 10.1017 / S000497271000033X , læst online , adgang til 16. april 2020 )
(in) Sander R. Dahmen og Samir Siksek , " Perfekte kræfter, der kan udtrykkes som summer af to femte eller syvende magter " , Acta Arithmetica , vol. 164, nr . 1,2014, s. 65–100 ( ISSN 0065-1036 og 1730-6264 , DOI 10.4064 / aa164-1-5 , arXiv 1309.4030 , læst online , adgang 15. april 2020 )
(in) Michael Bennett, " Ligningen x ^ {2n} ^ {2n + y = z ^ 5} " , Theory of Numbers Journal of Bordeaux ,2006( ISSN 2118-8572 , DOI 10.5802 / jtnb.546 , læs online )
(in) Samuele Anni og Samir Siksek , " Modulære elliptiske kurver over virkelige abeliske felter og den generaliserede Fermat-ligning x ^ {} 2ℓ + y ^ {2m} = z ^ p " , Algebra & Number Theory , vol. 10, nr . 6,30. august 2016, s. 1147–1172 ( ISSN 1944-7833 og 1937-0652 , DOI 10.2140 / ant.2016.10.1147 , arXiv 1506.02860 , læst online , adgang til 19. april 2020 )
(da) Nicolas Billerey , Imin Chen , Lassina Dembele , Luis Dieulefait og Nuno Freitas , “ Nogle udvidelser af den modulære metode og Fermat ligninger af signatur (13, 13, n) ” , arXiv ,5. marts, 2019( arXiv 1802.04330 , læst online , adgang til 19. april 2020 )
(i) Peter Norvig, " Beal formodning Revisited " ,22. oktober 2015(adgang 15. april 2020 )
Édouard Lucas, “ Om løsningen af ligningssystemet 2v ^ 2 - u ^ 2 = w ^ 2 og 2v ^ 2 + u ^ 2 = 3z ^ 2 i hele tal ”, Nouvelles annales de mathematique 2e série , vol. 16,1877, s. 409-416
(da) Angelos Koutsianas , " På den generaliserede Fermat-ligning $ a ^ 2 + 3b ^ 6 = c ^ n $ " , arXiv ,14. april 2019( arXiv 1805.07127 , læst online , hørt den 17. april 2020 )
(in) Sander R. Dahmen, klassiske og modulære metoder anvendt til diofantiske ligninger ,2008( læs online )
(in) Ernst S. Selmer , " The Diophantine equation ax ^ 3 + by + cz ^ 3 ^ 3 = 0 " , Acta , vol. 85, n o 0,1951, s. 203-362 ( ISSN 0001-5962 , DOI 10.1007 / BF02395746 , læst online , adgang til 17. april 2020 )
(in) Gustav Söderlund, " De primitive løsninger til den diofantiske ligning 2X + Y ^ 4 ^ 4 = Z ^ 3 " , Noter om talteori og diskret matematik , bind. 23, nr . 22017, s. 36-44 ( ISSN 1310-5132 , e-ISSN 2367-8275 , læs online )
(i) Luis Dieulefait og Jorge Jimenez Urroz , " Løsning Fermat ligninger via standard modulære ℚ-polyquadratic kurver over marker " , Crelle 's Journal (Crelles Journal) , vol. 2009, nr . 633,januar 2009, s. 183-195 ( ISSN 0075-4102 og 1435-5345 , DOI 10.1515 / CRELLE.2009.064 , arXiv math / 0611663 , læses online , konsulteret den 17. april 2020 )
(in) Andrzej Dabrowski , " On the integers représentée par 4 x ^ - y ^ 4 ' , Bulletin of the Australian Mathematical Society , bind. 76, nr . 1,august 2007, s. 133–136 ( ISSN 0004-9727 og 1755-1633 , DOI 10.1017 / S0004972700039514 , læst online , adgang til 16. april 2020 )
(i) Alain Kraus , " Det drejer sig om ligningerne x ^ m - y ^ m = R z ^ n " , Compositio Mathematica , vol. 132, nr . 1,2002, s. 1–26 ( DOI 10.1023 / A: 1016028914506 , læst online , adgang 19. april 2020 )
(en) Luis V. Dieulefait , " Løsning af diofantinske ligninger x ^ 4 + y ^ 4 = qz ^ p " , Acta Arithmetica , vol. 117, nr . 3,2005, s. 207–211 ( ISSN 0065-1036 og 1730-6264 , DOI 10.4064 / aa117-3-1 , arXiv matematik / 0304430v1 , læst online , adgang til 18. april 2020 )
(i) Luis Dieulefait og Nuno Freitas , " The Fermat-slags ligninger x ^ 5 + 5 = y ^ 2 z ^ p ^ p guld 3z løst gennem Q-kurver " , Mathematics of Computation , Vol. 83, nr . 286,10. juni 2013, s. 917–933 ( ISSN 0025-5718 og 1088-6842 , DOI 10.1090 / S0025-5718-2013-02731-7 , arXiv 1103.5388 , læst online , adgang til 17. april 2020 )
(in) Nicolas Billerey , Imin Chen Luis Dieulefait og Nuno Freitas , " A multi-Frey tilgang til Fermat signaturligninger (r, r, p) " , Transactions of the American Mathematical Society , bind. 371, nr . 12,7. marts 2019, s. 8651–8677 ( ISSN 0002-9947 og 1088-6850 , DOI 10.1090 / tran / 7477 , arXiv 1703.06530 , læst online , adgang til 19. april 2020 )
(in) Nuno Freitas , " Opskrifter til Fermat-standardligninger af formen x ^ r + y ^ r = Cz ^ p " , Mathematische Zeitschrift , vol. 279, n knogler 3-4,april 2015, s. 605-639 ( ISSN 0025-5874 og 1432-1823 , DOI 10.1007 / s00209-014-1384-5 , arXiv 1203.3371 , læst online , adgang til 19. april 2020 )
(in) Nuno Freitas og Samir Siksek , " Criteria for Irreducibility of mod p Representations of Frey Curves " , Theory of Numbers Bordeaux Journal , vol. 27, nr . 1,2015, s. 67–76 ( ISSN 1246-7405 og 2118-8572 , DOI 10.5802 / jtnb.894 , arXiv 1309.4748 , læst online , adgang til 18. april 2020 )
Wilfrid Ivorra , ” On ligningerne x ^ p + 2 ^ β y ^ p = z ^ 2 og x ^ p + 2 ^ β y ^ p = 2z ^ 2 ”, Acta Arithmetica , vol. 108, nr . 4,2003, s. 327–338 ( ISSN 0065-1036 og 1730-6264 , DOI 10.4064 / aa108-4-3 , læst online , adgang til 17. april 2020 )
(i) Michael A. Bennett og Chris M. Skinner , " Tre diofantisk ligninger via Galois repræsentationer og modulær former " , Canadian Journal of Mathematics , vol. 56, nr . 1,1 st februar 2004, s. 23-54 ( ISSN 0008-414X , e-ISSN 1496-4279 , DOI 10.4153 / CJM-2004-002-2 , læst online , adgang til 17. april 2020 )
(i) Michael A. Bennett , Vinayak Vatsal og Soroosh Yazdani , " Ternary Diophantine equations of signature (p, p, 3) " , Compositio Mathematica , bind. 140, nr . 06,november 2004, s. 1399–1416 ( ISSN 0010-437X , e-ISSN 1570-5846 , DOI 10.1112 / S0010437X04000983 , læst online , adgang til 17. april 2020 )
Alain Kraus, " På ligningerne a ^ p + b ^ p + 15c ^ p = 0 og a ^ p + 3b ^ p + 5c ^ p = 0 ", Rapporter fra Académie des Sciences - Serie I - Matematik , bind . 322,1996, s. 809–812
(in) Kenneth A. Ribet, " På ligningen a ^ 2 + ^ p ^ p αb + c ^ p = 0 " , Acta Arithmetica , vol. 79, nr . 1,1997, s. 7-16 ( ISSN 0065-1036 , arXiv math / 9508208 , læs online )
Emmanuel Halberstadt og Alain Kraus , “ Fermat curves: results and problems ”, Journal für die Reine und angewandte Mathematik (Crelles Journal) , bind. 2002 nr . 548,12. januar 2002( ISSN 0075-4102 og 1435-5345 , DOI 10.1515 / crll.2002.058 , læst online , adgang til 18. april 2020 )
(in) " Forsømte Gaussere " på www.mathpuzzle.com (adgang til 18. april 2020 )
(in) Nuno Freitas og Samir Siksek , " The asymptotic Fermat's Last Theorem for five-sixths of real quadratic fields " , Compositio Mathematica , bind. 151, nr . 8,august 2015, s. 1395–1415 ( ISSN 0010-437X , e-ISSN 1570-5846 , DOI 10.1112 / S0010437X14007957 , arXiv 1307.3162 , læst online , adgang til 17. april 2020 )
(i) Mehmet Haluk Sengün og Samir Siksek , " På den asymptotiske Fermats sidste sætning i antal felter " , Commentarii Mathematici Helvetici , vol. 93, nr . 231. maj 2018, s. 359–375 ( ISSN 0010-2571 , DOI 10.4171 / CMH / 437 , arXiv 1609.04458 , læst online , adgang til 19. april 2020 )
(in) Frazer Jarvis og Paul Meekin , " The Fermats ligning over Q (sqrt 2)) " , Journal of Number Theory , vol. 109, nr . 1,1 st november 2004, s. 182–196 ( ISSN 0022-314X , DOI 10.1016 / j.jnt.2004.06.006 , læst online , adgang til 17. april 2020 )
(da) George C. Ţurcaş , “ Om Fermats ligning over nogle kvadratiske imaginære talfelter ” , Research in Number Theory , vol. 4, n o 2juni 2018, s. 24 ( ISSN 2522-0160 og 2363-9555 , PMID 30957002 , PMCID PMC6428335 , DOI 10.1007 / s40993-018-0117-y , arXiv 1710.10163 , læst online , adgang til 15. april 2020 )
(i) Benedict H. Gross og David E. Rohrlich , " Nogle resultater på Mordell-Weil gruppe Jacobi af Fermat kurven " , Inventiones Mathematicae , vol. 44, nr . 3,Oktober 1978, s. 201–224 ( ISSN 0020-9910 og 1432-1297 , DOI 10.1007 / BF01403161 , læst online , adgang til 15. april 2020 )
(i) Pavlos Tzermias , " lav-graders punkt er Hurwitz-Klein-kurver " , transaktioner af den amerikanske Mathematical Society , vol. 356, nr . 03,1 st marts 2004, s. 939–952 ( ISSN 0002-9947 , e-ISSN 1088-6850 , DOI 10.1090 / S0002-9947-03-03454-8 , læst online , adgang til 18. april 2020 )
(i) Fred H. Hao og Charles J. Parry , " Ligningen fermat over kvadratiske felter " , Journal of Number Theory , bind. 19, nr . 1,1 st august 1984, s. 115–130 ( ISSN 0022-314X , DOI 10.1016 / 0022-314X (84) 90096-9 , læst online , adgang til 18. april 2020 )
(i) Nuno Freitas og Samir Siksek , " Fermats sidste sætning nogle små løbet reelle kvadratiske felter " , Algebra & talteori , vol. 9, nr . 4,30. maj 2015, s. 875–895 ( ISSN 1944-7833 og 1937-0652 , DOI 10.2140 / ant.2015.9.875 , læst online , adgang til 18. april 2020 )
(de) Alexander Aigner, “ Über die Möglichkeit von x ^ 4 + y ^ 4 = z ^ 4 in quadratischen Körpern ” , Jahresbericht der deutschen Mathematiker Vereinigung , vol. 43,1934, s. 226-229
(de) Alexander Aigner , “ Die Unmöglichkeit von x ^ 6 + y ^ 6 = z ^ 6 und x ^ 9 + y ^ 9 = z ^ 9 in quadratischen Körpern ” , Monatshefte für Mathematik , bind. 61, nr . 2Juni 1957, s. 147-150 ( ISSN 0026-9255 og 1436-5081 , DOI 10.1007 / bf01641485 , læst online , adgang til 17. april 2020 )
(in) Heline Deconinck , " Om den generaliserede Fermats ligning over totalt reelle felter " , arXiv ,22. maj 2015( arXiv 1505.06117 , læst online , hørt den 17. april 2020 )
(i) John A. Zuehlke , " Fermats sidste sætning for Gauss heltalseksponenter " , American Mathematical Monthly , bd. 106, nr . 1,Januar 1999, s. 49–49 ( ISSN 0002-9890 og 1930-0972 , DOI 10.1080 / 00029890.1999.12005006 , læst online , adgang til 18. april 2020 )
(i) John A. Zuehlke , " The Darmon Granville Algebraic Equation with Exponents " , Journal of Number Theory , bind. 96, nr . 2Oktober 2002, s. 225–231 ( DOI 10.1006 / jnth.2002.2809 , læst online , adgang til 18. april 2020 )

Se også

Relaterede artikler