Clifford algebra

I matematik er Clifford algebra et multilinear algebra objekt forbundet med en kvadratisk form . Det er en associerende algebra over et felt , der tillader en udvidet type beregning, der omfatter vektorer, skalarer og " multivektorer " opnået af produkter af vektorer og med en beregningsregel, der oversætter geometrien af den subkvadratiske form. Navnet på denne struktur er en hyldest til den engelske matematiker William Kingdon Clifford .

En af de mulige generaliseringer af komplekse tal og kvaternioner er Clifford algebras . I matematik giver de en samlende ramme til at studere geometri problemer såsom teorien om kvadratiske former og ortogonale grupper og til at indføre spinorer og spinor geometri ( fr ) . Men de giver også en beregningsramme, der er relevant for mange fysiske felter, fra den mest teoretiske ( relativitet , kvantemekanik ) til den mest anvendte ( computersyn , robotik ). Til disse applikationer praktiseres undertiden en forenklet tilgang med en anden introduktion, der er begrænset til områderne reals og komplekser, hvilket fører til strukturen meget tæt på geometrisk algebra .

En vis fortrolighed med det grundlæggende i multilinær algebra vil være meget nyttigt, når du læser denne artikel.Mange resultater antage, at karakteristiske af den basen felt K ikke 2 (dvs. division med 2 er mulig); denne antagelse gøres i resten, undtagen i et afsnit dedikeret til det særlige tilfælde af karakteristik 2.

Definition

En Clifford algebra er en algebra associativ enhed forbundet med et vektorrum V har en kvadratisk form Q . Vi betegner med <,> den symmetriske bilineære form, der er forbundet med Q :

{\ displaystyle \ langle u, v \ rangle = {\ frac {1} {2}} (Q (u + v) -Q (u) -Q (v)).}

Uformel introduktion

Clifford algebra Cℓ ( V, Q ) er den "mest generelle" algebra genereret af V , det vil sige består af alle formler af summer og produkter af skalarer og vektorer, der kan tænkes, underlagt den betingelse

v ^ {2} = Q (v)

for enhver vektor i

v

V

hvor produktet tages inde i algebraen, og hvor er en skalar, multipel af algebraenheden. Vi kan omskrive denne grundlæggende identitet i formen ${\ displaystyle v ^ {2} = v \ cdot v}$ ${\ displaystyle Q (v)}$

{\ displaystyle u \ cdot v + v \ cdot u = 2 \ langle u, v \ rangle}

for alt

u, v \ i V.

Denne idé om "den mest generelle" algebra underlagt denne identitet kan formelt udtrykkes gennem forestillingen om universel ejendom, der følger.

Byggeri og universelt ejerskab

Lad V et vektorrum på en kommutativ felt K , og en kvadratisk form på V . En Clifford-algebra Cℓ ( Q ) er en enhedsassociativ algebra over K med et lineært kort defineret af følgende universelle egenskab : $Q: V \ til K$ $i: V \ til C \ ell (Q)$

For enhver associerende algebra A på K forsynet med et lineært kort, der verificerer for hver vektor af V (hvor 1 betegner den multiplikative neutrale af A ), findes der en unik homomorfisme af algebraer, der får følgende diagram til at skifte: $j: V \ til A$ $j (v) ^ {2} = Q (v) 1$ $v$ $f: C \ ell (Q) \ til A$

det vil sige det . $f \ circ i = j$

Arbejder med symmetrisk bilineær formular forbundet med Q , betingelsen om j er $\ langle \ cdot, \ cdot \ rangle$

j (v) j (w) + j (w) j (v) = \ langle v, w \ rangle

for alle v w ∈ V .

En Clifford-algebra som beskrevet ovenfor eksisterer stadig og kan konstrueres som følger: start med den mest generelle algebra, der indeholder V , konkret tensoralgebra T ( V ), og påfør derefter den grundlæggende identitet ved at tage et passende kvotient . I vores tilfælde ønsker vi at tage det bilaterale ideal , der genereres af alle elementerne i formen $I_ {Q}$ $TV)$

v \ otimes vQ (v) 1

for alt

v \ i V

og definerer C1 ( V, Q ) som kvotienten

C \ ell (V, Q) = T (V) / I_ {Q}

Det er så mere direkte at vise, at C2 ( V, Q ) indeholder V og tilfredsstiller den universelle egenskab ovenfor, hvorfor C2 er unik bortset fra en isomorfisme; således taler vi om Clifford algebra Cℓ ( V, Q ). Det følger også af denne konstruktion, at jeg er injektionsdygtig . Normalt vi forsømmer at betegne i og vi betragter V som en vektor underrum af Cl ( V, Q ).

En konsekvens af definitionen er , at identiteten for alle vektorer af er sand i Cℓ ( V, Q ). Denne egenskab kan bruges som en alternativ definition. $u, v$ $V$ ${\ displaystyle u \ cdot v + v \ cdot u = \ langle u, v \ rangle 1}$

Den universelle karakterisering af Clifford-algebraer viser, at konstruktionen af Cℓ ( V, Q ) er funktionel i sin natur . Konkret kan Cℓ betragtes som en funktor, der stammer fra kategorien af vektorrum med kvadratiske former (hvis morfismer er lineære kort, der bevarer den kvadratiske form) mod kategorien af associative algebraer. Den universelle egenskab sikrer, at lineære kort mellem vektorrum (bevarer den kvadratiske form) unikt strækker sig til homomorfier af algebraer mellem associerede Clifford-algebraer.

Basis og dimension

Hvis dimensionen af V er n og er et grundlag for V , så er sættet $\ {e_ {1}, \ ldots, e_ {n} \}$

{\ displaystyle \ {e_ {i_ {1}} \ cdot e_ {i_ {2}} \ cdot \ ldots \ cdot e_ {i_ {k}} \ mid 1 \ leq i_ {1} <i_ {2} <\ cdots <i_ {k} \ leq n {\ mbox {et}} 0 \ leq k \ leq n \}}

er et grundlag for C2 ( V, Q ). Denne familie inkluderer et tomt produkt ( k = 0), derfor algebraenheden. Hver værdi af k giver elementer af grundlaget, så dimensionen af Clifford algebra er ${\ binom nk}$

\ dim C \ ell (V, Q) = \ sum _ {{k = 0}} ^ {n} {\ begin {pmatrix} n \\ k \ end {pmatrix}} = 2 ^ {n}.

Der er et sæt privilegerede baser for V : de ortogonale baser . En ortogonal basis er sådan, at

\ langle e_ {i}, e_ {j} \ rangle = 0 \ qquad i \ neq j. \,

Den grundlæggende Clifford-identitet indebærer det for en ortogonal basis

{\ displaystyle e_ {i} \ cdot e_ {j} = - e_ {j} \ cdot e_ {i} \ qquad i \ neq j. \,}

Dette gør manipulationen af vektorerne på den ortogonale basis ret enkel. Givet et produkt af vektorer, der adskiller sig fra den ortogonale basis, kan vi placere dem i en standardrækkefølge ved at inkludere et tegn, der svarer til antallet af transpositioner, der er nødvendige for at bestille dem korrekt (dvs. underskriften på den bestilte permutation ). ${\ displaystyle e_ {i_ {1}} \ cdot e_ {i_ {2}} \ cdot \ ldots \ cdot e_ {i_ {k}}}$

Vi kan let udvide den kvadratiske form på V til en kvadratisk form på Cℓ ( V, Q ) ved at bede om, at de forskellige elementer er vinkelrette på hinanden og ved at indstille: $e _ {{i_ {1}}} e _ {{i_ {2}}} \ cdots e _ {{i_ {k}}}$

{\ displaystyle Q (e_ {i_ {1}} \ cdot e_ {i_ {2}} \ cdot \ ldots \ cdot e_ {i_ {k}}) = Q (e_ {i_ {1}}) Q (e_ { i_ {2}}) \ cdots Q (e_ {i_ {k}})}

Især ,, og den kvadratiske form over en skalar er simpelthen . De ortogonale baser af V kan således udvides til en ortogonale base af C1 ( V, Q ). Den kvadratiske form, der er defineret på denne måde, er faktisk uafhængig af det valgte ortogonale grundlag (en formulering uafhængig af basen vil blive givet nedenfor). $Q (1) = 1$ $Q (\ lambda) = \ lambda ^ {2}$

Eksempler: reelle og komplekse Clifford-algebraer

De vigtigste Clifford-algebraer er dem over reelle og komplekse vektorrum med ikke-degenererede kvadratiske former .

Ægte Clifford algebras

Hver ikke-degenereret kvadratisk form på et ægte vektorrum med begrænset dimension svarer til den standarddiagonale form:

Q (v) = v_ {1} ^ {2} + \ cdots + v_ {p} ^ {2} -v _ {{p + 1}} ^ {2} - \ cdots -v _ {{p + q }} ^ {2}

hvor n = p + q er dimensionen af vektorrummet. Heltalsparret ( p , q ) kaldes firkantformens underskrift . Vektorrummet med denne kvadratiske form er ofte betegnet ℝ p, q . Clifford-algebra på ℝ p, q betegnes med Cℓ p, q (ℝ). Symbolforklaringerne Cl n (ℝ) organer enten Cl n , 0 (ℝ) eller Cl 0, n (ℝ), alt efter om forfatterne foretrækker positive eller negative defineret rum.

En standardortonormal basis { e i } for ℝ p, q består af n = p + q indbyrdes ortogonale vektorer, p har en +1-norm og q har en "norm" -1 (vi anfører citater, fordi en norm strengt taget er positiv). Algebraen Cℓ p, q (ℝ) vil derfor have p basisvektorer, hvis kvadrat vil være lig med +1 og q basisvektorer, hvis kvadrat vil være lig med -1.

Cℓ 0,0 (ℝ) er naturligt isomorf til ℝ, da der ikke er andre vektorer end nul.
Cl 0,1 (ℝ) er en todimensional algebra genereret af en unik vektor e 1 , hvis pladsen er lig med -1, og derfor isomorf til ℂ, inden for komplekse tal .
Algebra Cℓ 0,2 (ℝ) er en firedimensionel algebra genereret af {1, e 1 , e 2 , e 1 e 2 }. De sidste tre elementer er kvadreret lig -1 og alle anti-switch, så algebraen er isomorf til kvaternionerne ℍ.
Den følgende algebra i det følgende, Cℓ 0.3 (ℝ), er en ottedimensional algebra isomorf til den direkte sum ℍ⊕ℍ kaldet Clifford biquaternions .

Komplekse Clifford algebras

Vi kan også studere Clifford-algebraer på komplekse vektorrum. Hver ikke-degenereret kvadratisk form på et komplekst vektorrum svarer til den standard diagonale form

Q (z) = z_ {1} ^ {2} + z_ {2} ^ {2} + \ cdots + z_ {n} ^ {2}

hvor n = dim V , så der er i det væsentlige en enkelt Clifford-algebra i hver dimension. Vi betegne Clifford algebra løbet ℂ n med standard kvadratisk form af Cl n (ℂ). Vi kan vise, at algebra Cl n (ℂ) kan opnås ved complexification af algebra Cl p, q (ℝ) hvor n = p + q :

{\ displaystyle C \ ell _ {n} (\ mathbb {C}) \ cong C \ ell _ {p, q} (\ mathbb {R}) \ otimes \ mathbb {C} \ cong C \ ell (\ mathbb {C} ^ {p + q}, Q \ otimes \ mathbb {C})}

Her er Q den ægte kvadratiske form for signatur ( p, q ), men kompleksiteten afhænger ikke af signaturen. De første tilfælde er ikke svære at beregne. Vi finder det

{\ displaystyle C \ ell _ {0} (\ mathbb {C}) = \ mathbb {C}}

{\ displaystyle C \ ell _ {1} (\ mathbb {C}) = \ mathbb {C} \ oplus \ mathbb {C}}

{\ displaystyle C \ ell _ {2} (\ mathbb {C}) = \ mathrm {M} _ {2} (\ mathbb {C})}

(matrixalgebra størrelse 2) .

Der er en fuldstændig klassificering af disse algebraer : Det viser sig, at hver af de algebraer Cl p, q (ℝ) og Cl n (ℂ) er isomorf til en algebra af matricer på ℝ, ℂ eller ℍ eller til direkte sum af to algebraer af denne slags.

Ejendomme

Sammenligning med den ydre algebra

Givet et vektorrum V , kan vi konstruere den ydre algebra , definitionen er uafhængig af en kvadratisk form på V . Hvis Q = 0, er Clifford-algebra Cℓ ( V, Q ) også den udvendige algebra . For anden Q end nul er der en kanonisk isomorfisme mellem og C ( V, Q ), set som vektorrum . Det respekterer ikke algebraernes struktur (produktlovene) undtagen i tilfældet Q = 0. Vi kan således betragte Clifford algebra Cra ( V, Q ) som en berigelse af den ydre algebra på V med en multiplikation, der afhænger af Q . $\ Lambda (V)$ $\ Lambda (V)$ $\ Lambda (V)$

Den nemmeste måde at etablere isomorfisme er at vælge en ortogonal basis { e i } for V og udvide den til en ortogonal basis for Cℓ ( V, Q ) som beskrevet ovenfor. Ansøgningen bestemmes af $C \ ell (V, Q) \ til \ Lambda (V)$

e _ {{i_ {1}}} e _ {{i_ {2}}} \ cdots e _ {{i_ {k}}} \ mapsto e _ {{i_ {1}}} \ wedge e _ {{ i_ {2}}} \ wedge \ cdots \ wedge e _ {{i_ {k}}}

En sådan konstruktion kræver et valg af base { e i } ortogonal, men vi kan vise, at den opnåede isomorfisme er uafhængig af dette valg.

Hvis karakteristikken for K er 0, kan vi også etablere isomorfismen ved antisymmetri. Definer funktioner ved $f_ {k}: V \ gange \ ldots \ gange V \ til C \ ell (V, Q)$

f_ {k} (v_ {1}, \ cdots, v_ {k}) = {\ frac 1 {k!}} \ sum _ {{\ sigma \ in S_ {k}}} {{\ rm {sgn} }} (\ sigma) \, v _ {{\ sigma (1)}} \ cdots v _ {{\ sigma (k)}}

hvor summen overtages af den symmetriske gruppe over k- elementer, og hvor er permutationens signatur . Det multilineære kort f k er skiftevis og inducerer et lineært kort . Den direkte sum af disse kort giver et lineært kort mellem og Cℓ ( V, Q ), som er en isomorfisme. ${{\ rm {sgn}}} (\ sigma)$ $\ sigma$ $\ Lambda ^ {k} (V) \ til C \ ell (V, Q)$ $\ Lambda (V)$

En anden måde at se på forholdet er konstruktionen af en filtrering på C on ( V, Q ). Recall at tensor algebra T ( V ) har en naturlig filter: hvor F k indeholder summerne af tensorer af rang ≤ k . Projicering af dette til Cliffords algebra giver et filter på Cℓ ( V, Q ). Den tilknyttede graduerede algebra $F ^ {0} \ subset F ^ {1} \ subset F ^ {2} \ subset \ ldots$

\ bigoplus _ {k} F ^ {k} / F ^ {{k-1}}

er naturligt isomorf til den ydre algebra . $\ Lambda (V)$

Hvis er af en endelig begrænset dimension, hvis feltet er algebraisk lukket, og hvis den kvadratiske form ikke er degenereret, er Clifford-algebra central . Ved Artin-Wedderburn-sætningen er den således (ikke-kanonisk) isomorf til en matrixalgebra . Det følger heraf, at i dette tilfælde har en irreducerbar repræsentation af dimension , som er unik op til en (ikke-unik) isomorfisme. Det er spinorrepræsentationen (in) , hvis vektorer kaldes spinors . $V$ $C (q)$ $2 ^ {{\ dim V / 2}}$

Graduering

Som et vektorrum arver Cℓ ( V, Q ) en ℤ-gradering af den kanoniske isomorfisme med den ydre algebra . Værdien af kvadratet af en vektor af V viser, at Clifford-multiplikationen ikke respekterer denne ℤ-gradering. Der er dog en grovere gradering, der er kompatibel med produktet, som består i at se på pariteten af antallet af faktorer i et produkt af vektorer. $\ Lambda (V)$

Dette er konstrueret ℤ 2 -graduation og associerede morphism fra den lineære afbildning på V . Det holder kvadratisk form Q og strækker sig derfor ved Clifford algebras universelle egenskab til en algebra automorfisme $v \ mapsto -v$

\ alpha: C \ ell (V, Q) \ til C \ ell (V, Q).

Endomorfien er en involution (dvs. dens kvadrat er den identitet ), kaldet vigtigste involution eller klasse involution . Mellemrummet Cℓ ( V, Q ) er den direkte sum af egenrummet for -1 og 1 $\ alpha$

C \ ell (V, Q) = C \ ell ^ {0} (V, Q) \ oplus C \ ell ^ {1} (V, Q)

hvor . Produktets egenskaber afspejles i en regel med tegn $C \ ell ^ {i} (V, Q) = \ {x \ i C \ ell (V, Q) | \ alpha (x) = (- 1) ^ {i} x \}$ $\ alpha$

C \ ell ^ {i} (V, Q) C \ ell ^ {j} (V, Q) = C \ ell ^ {{i + j}} (V, Q)

hvor de højere indeks skal læses modulo 2. Således er Cℓ ( V, Q ) en ℤ 2- graderet algebra (også kaldet superalgebra ). Rummet Cl 0 ( V, Q ) danner en subalgebra af Cl ( V, Q ), som også er en Clifford algebra, kaldet selv subalgebra . Den del Cl 1 ( V, Q ) kaldes ulige del af Cl ( V, Q ) ikke er en subalgebra. Denne ℤ 2- gradering spiller en vigtig rolle i analysen og anvendelsen af Clifford algebras.

Den grad af et element af Clifford algebra henviser generelt til den grad i ℤ-eksamen. De elementer, der er homogene i ℤ 2- gradueringen, kaldes simpelthen lige eller ulige.

Hvis V er den direkte ortogonale sum af en ikke-isotrop vektor a ( Q ( a ) ikke-nul) og et hyperplan U , så er C0 0 ( V, Q ) isomorf til Cℓ ( U, -Q ( a ) Q ) , hvor - Q ( a ) Q er formen Q begrænset til U og ganget med - Q ( a ). Især på de reelle tal indebærer dette det

C \ ell _ {{p, q}} ^ {0} (\ mathbb {R}) \ cong C \ ell _ {{p, q-1}} (\ mathbb {R})

for q > 0 og

C \ ell _ {{p, q}} ^ {0} (\ mathbb {R}) \ cong C \ ell _ {{q, p-1}} (\ mathbb {R})

for p > 0.

I det negative bestemte tilfælde giver dette en inklusion, der udvider sekvensen $C \ ell _ {{0, n-1}} (\ mathbb {R}) \ delmængde C \ ell _ {{0, n}} (\ mathbb {R})$

{\ displaystyle \ mathbb {R} \ subset \ mathbb {C} \ subset \ mathbb {H} \ subset \ mathbb {H} \ oplus \ mathbb {H} \ subset \ ldots}

På samme måde kan vi i det komplekse tilfælde vise, at den jævne subalgebra af er isomorf til . ${\ displaystyle C \ ell _ {0, n} (\ mathbb {C})}$ ${\ displaystyle C \ ell _ {0, n-1} (\ mathbb {C})}$

Mere generelt, når rummet V skrives som summen af to ortogonale supplerende, beregnes Clifford-algebraen af V ud fra Clifford-algebraerne i disse underrum ved at udføre et tensorprodukt tilpasset til ℤ 2 - gradering (in) .

Associerede anti-automorfismer

Ud over automorfi , er der to anti automorphisms , der spiller en vigtig rolle i analysen af Clifford algebraer. Husk, at tensoralgebra T ( V ) har en anti-automorfisme, som vender rækkefølgen af alle produkterne: $\ alpha$

v_ {1} \ otimes v_ {2} \ otimes \ cdots \ otimes v_ {k} \ mapsto v_ {k} \ otimes \ cdots \ otimes v_ {2} \ otimes v_ {1}

Da idealet er uforanderligt under denne tilbageførsel, falder denne operation ned mod en anti- automorfisme af C V ( V, Q ) kaldet transposition eller reversering , betegnet med . Gennemførelse er en antiautomorphism: . Transponeringsoperationen gør ikke brug af ℤ 2- gradueringen, så vi definerer en anden antiautomorfisme ved sammensætning af α og transpositionen. Vi kalder denne operation for den bemærkede Clifford-bøjning : $I_ {Q}$ $x ^ {t}$ $(xy) ^ {t} = y ^ {t} x ^ {t}$ ${\ bar x}$

{\ bar x} = \ alpha (x ^ {t}) = \ alpha (x) ^ {t}

Af disse to anti-automorfismer er gennemførelsen den mest grundlæggende.

Alle disse operationer er involveringer . Vi kan vise, at de fungerer som ± 1 på de elementer, der er homogene i ℤ-gradueringen. Faktisk afhænger alle tre operationer kun af grad modulo 4. Det vil sige, hvis x er homogen med grad k , så

\ alpha (x) = \ pm x \ qquad x ^ {t} = \ pm x \ qquad {\ bar x} = \ pm x \,

hvor tegnene er angivet i følgende tabel:

k mod 4	0	1	2	3
$\ alpha (x) \,$	+	-	+	-	$(-1) ^ {k} \,$
$x ^ {t} \,$	+	+	-	-	$(-1) ^ {{k (k-1) / 2}} \,$
${\ bar x}$	+	-	-	+	$(-1) ^ {{k (k + 1) / 2}} \,$

Cliffords prikprodukt

Den kvadratiske form Q over V kan udvides til en kvadratisk form over en hvilken som helst C0 0 ( V, Q ) som forklaret ovenfor (og som vi også betegner med Q ). En uafhængig grundlæggende definition er

Q (x) = \ langle x ^ {t} x \ rangle

hvor < en > er den skalar del af en (del af eksamen 0 i ℤ-skalering). Det kan vi vise

Q (v_ {1} v_ {2} \ cdots v_ {k}) = Q (v_ {1}) Q (v_ {2}) \ cdots Q (v_ {k})

hvor v jeg er de elementer af V - denne identitet er ikke tilfældet for vilkårlige elementer af Cl 0 ( V, Q ).

Den tilhørende symmetriske bilineær form på Cl 0 ( V, Q ) er givet ved

\ langle x, y \ rangle = \ langle x ^ {t} y \ rangle.

Vi kan bekræfte, at dette er reduceret til det oprindelige bilineær form, når begrænset til V . Bilinear form på alle Cl 0 ( V, Q ) er ikke-degenereret hvis og kun hvis det ikke er degenereret på V .

Det er ikke svært at verificere, at transpositionen er hjælpemidlet til venstre / højre Clifford-multiplikation med respekt for dette interne produkt. Det vil sige,

\ langle ax, y \ rangle = \ langle x, a ^ {t} y \ rangle,

\ langle xa, y \ rangle = \ langle x, ya ^ {t} \ rangle.

Tilfældet med karakteristisk 2

Kvadratiske former og Clifford-algebraer med karakteristisk 2 udgør et usædvanligt tilfælde. Især hvis karakteristikken ved K = 2, er det ikke sandt, at en kvadratisk form bestemmes af dens symmetriske bilineære form, eller at hver kvadratisk form tillader en ortogonal basis. Der er ikke længere en naturlig isomorfisme med den ydre algebra (selvom de forbliver isomorfe).

Struktur af Clifford algebras

I denne del antager vi, at vektorrummet V er endelig dimensionelt, og at den bilineære form af Q ikke er degenereret. En central simpel algebra løbet K er en matrix algebra over en division algebra (endelig størrelse) med et centrum K . For eksempel er de centrale enkle algebraer over realerne matrixalgebraer over enten realerne eller kvaternionerne.

Hvis V har et par dimension derefter Cl ( V, Q ) er en central simpel algebra løbet K .
Hvis V har en jævn dimension, er Cℓ 0 ( V, Q ) en central simpel algebra over en kvadratisk forlængelse af K eller over en sum af to centrale enkle algebraer over K- isomorfer.
Hvis V har en ulige dimension, er Cℓ ( V, Q ) en simpel central algebra over en kvadratisk udvidelse af K eller over en sum af to centrale enkle algebraer over K- isomorfer.
Hvis V har et ulige dimension derefter Cl 0 ( V, Q ) er en central simpel algebra løbet K .

Strukturen i Clifford algebras kan fastlægges eksplicit ved hjælp af følgende resultat. Antag at U har en jævn dimension og en ikke-ensformet bilineær form med en diskriminerende d , og antag at V er et andet vektorrum med en kvadratisk form. Clifford-algebraen for U + V er isomorf til tensorproduktet fra Clifford-algebraerne fra U og , hvilket er rummet V med dets kvadratiske form ganget med . På reelle tal indebærer dette især det $(-1) ^ {{dim (U) / 2}} dV$ $(-1) ^ {{dim (U) / 2}} d$

{\ displaystyle Cl_ {p + 2, q} (\ mathbb {R}) = M_ {2} (\ mathbb {R}) \ tid Cl_ {q, p} (\ mathbb {R})}

Cl _ {{p + 1, q + 1}} (\ mathbb {R}) = M_ {2} (\ mathbb {R}) \ tid Cl _ {{p, q}} (\ mathbb {R})

{\ displaystyle Cl_ {p, q + 2} (\ mathbb {R}) = \ mathbb {H} \ otimes Cl_ {q, p} (\ mathbb {R})}

Disse formler kan bruges til at finde strukturen i alle ægte Clifford algebras.

Grupper relateret til Clifford algebras

Find de ortogonale automatiseringer af V

Gruppen af inverterbare elementer i Cliffords algebra virker naturligt på algebraen ved indvendige automatiseringer : dette er den tilstødende repræsentation

{\ displaystyle \ mathrm {Ad} _ {\ varphi}: x \ mapsto \ varphi \ cdot x \ cdot \ varphi ^ {- 1}}

som i det virkelige eller komplekse endelige dimensionelle tilfælde er en sædvanlig repræsentation af teorien om løggrupper . Denne operation vil gøre det muligt at finde og generalisere grupperne af transformationer af euklidisk geometri.

Blandt de invertibler findes især alle vektorerne v i det oprindelige rum V, som ikke er isotrope for Q ( ). Deres billede af den adjungerede kortet er en transformation af Clifford algebra som blade V stabil, og som faktisk er det modsatte af hyperplan refleksion vinkelret på v . Dette forklarer, hvorfor vi også er interesserede i en snoet version af den tilstødende repræsentation: ${\ displaystyle Q (v) \ neq 0}$

{\ displaystyle {\ widetilde {\ mathrm {Ad}}} _ {\ varphi}: x \ mapsto \ alpha (\ varphi) \ cdot x \ cdot \ varphi ^ {- 1}}

siden denne gang for , genkender vi i hyperplan refleksion . ${\ displaystyle v \ i V, Q (v) \ neq 0}$ ${\ displaystyle {\ widetilde {\ mathrm {Ad}}} _ {v}}$ ${\ displaystyle v ^ {\ perp}}$

Under Cartan-Dieudonne sætning , hvis V er endelig dimension og hvis bilineær form af Q er non-singul, vi kan, efter materiale, får alle elementer af den ortogonale gruppe af V .

Grupperne af spinorgeometri

Mere generelt kan vi se efter alle transformationer af V induceret af virkningen af elementer i gruppen af invertibler. Det er nødvendigt at begrænse sig til dem, der efterlader V stabil: dette kaldes Clifford-gruppen . Det har undergrupper med interessante bevarelse egenskaber: den særlige Clifford gruppen, den Pinor gruppe eller pinors og spinor gruppe eller spinors.

Ansøgninger

Automatisering af geometrisk beregning

Differentiel geometri

I differentiel geometri udvider vi konstruktionerne af udvendig algebra inden for rammerne af vektorbundter . Dette er for eksempel tilfældet, når man definerer for eksempel at definere det cotangente bundt eller mere generelt den eksterne algebra af differentieringsformerne på en differentialmanifold .

På samme måde kan vi på et vektorbundt forsynet med en symmetrisk bilinær form (alt sammen tilstrækkeligt regelmæssigt) udvide konstruktionen af Clifford algebrafibre med fiber og opnå et Clifford-bundt . Dette er især tilfældet på den tangente bundt af en ( pseudo -) Riemannian manifold , forsynet med metricen .

Denne konstruktion tilbyder interessante anvendelser i Riemannian geometri . Således, med forbehold af visse topologiske begrænsninger, kan vi på bestemte Riemannian-manifolder definere forestillingerne om spinor-struktur eller Spin- c- struktur, som til gengæld kan kaste lys over egenskaberne af disse manifolder.

Fysisk

Clifford algebraer har mange vigtige anvendelser inden for fysik. Fysikere betragter normalt en Clifford-algebra som en algebra genereret af matricer kaldet Dirac-matricer, som har egenskaben: $\ gamma _ {1}, \ ldots, \ gamma _ {n}$

\ gamma _ {i} \ gamma _ {j} + \ gamma _ {j} \ gamma _ {i} = 2 \ eta _ {{ij}} \,

hvor er matrixen for en kvadratisk signaturform ( p, q ) - typisk (1,3), når man arbejder i et Minkowski-rum . Dette er nøjagtigt de forhold, der er defineret for Clifford algebra Cℓ 1,3 (ℂ) (op til en uvigtig faktor 2), som ved klassificeringen af Clifford algebraer er isomorf til den komplekse matrixalgebra 4 × 4. Matricerne er kun matricerne af multiplikationen med vektoren i spinorrepræsentationen med hensyn til et vilkårligt grundlag for spinorer. $\ eta$ $\ gamma _ {i}$ $e_i$

Dirac-matricer blev først opdaget af Paul Dirac, da han forsøgte at skrive en relativistisk ordens første bølgeligning for elektronen og gav en eksplicit isomorfisme fra Clifford-algebra til kompleks matrixalgebra. Resultatet blev brugt til at definere Dirac-ligningen, som er skrevet meget enkelt i Clifford algebra. Hele Clifford algebra bruges i kvantefeltsteori .

Noter og referencer

Bemærkninger

Matematikere, der arbejder med ægte Clifford-algebraer og foretrækker positive bestemte kvadratiske former (netop dem, der arbejder med indeksteori) bruger undertiden et andet tegnvalg i den grundlæggende Clifford-identitet. Det vil sige, de tager . Vi kan erstatte Q med - Q går fra en konvention til en anden. Et eksempel på et arbejde, der bruger denne alternative konvention, er Lawson og Michelsohns Spin Geometry , citeret som reference. $v ^ {2} = - Q (v)$
Se for eksempel hele Lawson og Michelsohn 1989 , s. 7-9.
Lawson Michelsohn , s. 11.
Det modsatte gælder, når den alternative tegnkonvention (-) for Clifford algebras anvendes: konjugatet er vigtigere. Generelt udveksles betydningen af konjugation og transponering, når man bevæger sig fra et tegnkonvention til et andet. For eksempel i den konvention, der anvendes her, er inversen af en vektor givet af, mens den i konventionen (-) er givet af . $v ^ {{- 1}} = v ^ {t} / Q (v)$ $v ^ {{- 1}} = {\ bar {v}} / Q (v)$
Lawson og Michelsohn 1989 , s. 12-13.
Lawson og Michelsohn 1989 , s. 17.

Referencer

(fr) Denne artikel er helt eller delvist taget fra den engelske Wikipedia- artikel med titlen " Clifford algebra " ( se forfatterliste ) .
(en) S. Carnahan, Borcherds Seminar Notes, Uncut , uge 5, " Spinors og Clifford Algebras "
(en) H. Blaine Lawson (en) og Marie-Louise Michelsohn , Spin Geometry , PUP ,1989( ISBN 978-0-691-08542-5 )
(en) Pertti Lounesto, Clifford Algebras and Spinors , CUP , 2001 ( ISBN 978-0-521-00551-7 )
(en) Ian R. Porteous, Clifford Algebras and the Classical Groups , CUP, 1995 ( ISBN 978-0-521-55177-9 )
(in) " En hurtig introduktion til geometrisk algebra " [video] på youtube.com (adgang til 25. juli 2021 ) ( 44 min. 22 s )

Se også

Relaterede artikler

eksterne links

(da) " Clifford algebra " , på PlanetMath
(da) Sporing af historien om "Clifford algebra" (ubekræftet)