Kvaternion algebra
I matematik , en kvaternion algebra over en kommutativ felt K er en K -algebra af dimension 4, som generaliserer både legeme af quaternions af Hamilton og algebra af kvadratiske matricer af orden 2. For at være mere specifik er det centrale simpel algebra over K grad 2.
I denne artikel betegner vi med K et kommutativt felt (af enhver karakteristik ).
Definitioner og eksempler
Kaldet kvaternion algebra på K alle algebra (Enhed og associativ) En dimension 4 i K er simpelthen (det vil sige, A og {0} er de eneste to-sidede idealer ), og hvis centrum er K .
Vi kalder et felt med kvaternioner over K enhver kvaternionsalgebra over K, hvis underliggende ring er et felt.
Eksempler
- Den enkelte del af kvaternioner på R ( op til isomorfisme ) er feltet H for kvaternioner Hamilton.
- Algebra M 2 ( K ) kvadratiske matricer af orden 2 er en kvaternion algebra på K . Det er isomorf til algebra End K ( E ) af endomorphisms af enhver vektor plan E på K .
Bøjning
Definition og eksempler
Enten På en kvaternion algebra løbet K . En algebra for involution af A er et endomorfismvektorrum af A er involutivt ( J 2 = Id A ) og er en antihomomorfisme ringe ( J ( xy ) = J ( y ) J ( x ) uanset lad x og y være i A ) .
Der eksisterer en unik involution algebra J af A , således at for ethvert element x af A , x + J ( x ) og xj ( x ) tilhører K . Det kaldes konjugation af A . For ethvert element x af A , kaldet konjugat af x og er angivet ved x grundstoffet J ( x ) af A .
For ethvert element x af A kalder vi reduceret spor af x, og vi betegner med T ( x ) elementet x + x for K ; kaldet reduceret norm af x og betegnet med N ( x ) elementet x x af K .
Eksempler
- I H , konjugatet af quaternionen q = a + b i + c j + d k er en - b i - c j - d k , spor af q er 2 en og normen af q er et 2 + b 2 + c 2 + d 2 .
- I H 2 ( K ), konjugatet af matricen M = er transponerede af sin adjugate matrix : den reducerede spor M er sporet sædvanlige en + d af M og den reducerede norm M er den determinant fælles annonce - af M .
- I slutningen K ( E ) -algebra af endomorfier af et vektorplan E er konjugatet af en endomorfisme f supplementet til f med hensyn til en hvilken som helst ikke-nul alternerende bilinær form ω på E (alle disse former er proportionale ), dvs. unik endomorfisme g sådan, at ω ( f ( x ), y ) = ω ( x , g ( y )). Det reducerede spor og den reducerede norm for f er det sædvanlige spor og determinant for f .
Ejendomme
Enten På en kvaternion algebra løbet K .
- Funktionen x ↦ T ( x ) fra A til K er en ikke-identisk nul lineær form .
- T (1) = 2.
- Funktionen x ↦ N ( x ) af A i K er en ikke-degenereret kvadratisk form på A . Den symmetriske bilineære form, der er knyttet til denne kvadratiske form, er funktionen ( x , y ) ↦ T ( x y ) af A × A i K : uanset x og y i A har vi T ( x y ) = N ( x + y ) - N ( x ) - N ( y ).
- For alle a i K og for alle x i A har vi N ( ax ) = a 2 N ( x ).
- Uanset hvad x og y er i A , har vi N ( xy ) = N ( x ) N ( y ).
- N (1) = 1.
- For at et element x af A skal være inverterbart i A , er det nødvendigt og tilstrækkeligt, at N ( x ) ikke er nul. Funktionen x ↦ N ( x ) af gruppen A * af de invertible elementer fra A til K er en gruppe morphism .
En grundlæggende egenskab er følgende: for ethvert element x af A har vi
x 2 - T ( x ) x + N ( x ) = 0.Konstruktioner af kvaternion algebras
Vi bemærker Ved en kvaternion algebra løbet K .
Tilfælde af karakteristik forskellig fra 2
Vi antager, at karakteristikken for K er forskellig fra 2.
Der findes et grundlag (1, u , v , w ) af A, som 1 hører til, således at u 2 og v 2 hører til K * og sådan, at uv = - vu = w .
Omvendt uanset ikke-nul-elementer en og b af K eksisterer der et unikt enhedsstruktur algebra struktur på K 4 som det, hvis vi betegner ( e 1 , e 2 , e 3 , e 4 ) den kanoniske basis, e 1 er enhedselementet og sådan, at e 2 2 = a , e 3 2 = b og e 4 = e 2 e 3 = - e 3 e 2 . Bemærkning om ( en , b ) K .
Hvis K = R og hvis a = b = –1, er det feltet H for Hamilton kvaternioner.
Karakteristisk tilfælde 2
Vi antager, at karakteristikken for K er lig med 2.
Der findes et grundlag (1, u , v , w ) af A, som 1 hører til, således at u 2 + u og v 2 hører til K * og sådan, at uv = vu + v = w .
Omvendt, uanset hvilke ikke-nul-elementer a og b i K , der findes en unik enhedsalgebrastruktur på K 4, for hvilken, hvis vi betegner ( e 1 , e 2 , e 3 , e 4 ) det kanoniske grundlag, e 1 er enhedselementet og sådan, at e 2 2 + e 2 = a , e 3 2 = b og e 4 = e 2 e 3 = e 3 e 2 + e 3 2 . Bemærk på [ a , b ) K .
Konstruktion ved hjælp af kvadratiske étale algebraer
I en hvilken som helst egenskab kan vi bygge en kvaternionsalgebra ved hjælp af kvadratisk étale algebra ved Cayley-Dickson-konstruktionen (en) .
Lad C være en kvadratisk Etale algebra løbet K (disse er algebraer isomorf til K × K , eller som er kvadratiske forlængelser adskillelige på K - i variabel andet end 2, nogen kvadratiske udvidelse kan adskilles). Der eksisterer en unik automorfi J af C forskellig fra identitet, og det kaldes konjugation af C og har en ikke-nul element af K .
Enten har en ikke-nul element af K . På K- vektorrummet Q = C × C er multiplikationen defineret med ( x , y ) ( x ', y ') = ( xx '+ aJ ( y ') y , yJ ( x ') + y ' x ) gør Q en kvaternion algebra på K . Bemærk Til ( C , B ) K . Omvendt er enhver kvaternonalgebra over K isomorf for en sådan algebra.
For eksempel, hvis K = R , C er feltet C med komplekse tal, og hvis a = –1, så er Q feltet H for Hamilton-kvaternioner.
Typer af kvaternion algebraer
Vi siger, at en kvaternionsalgebra indsættes ( delt på engelsk), hvis der findes en ikke-nul-vektor x af A, således at N ( x ) = 0. Algebra M 2 ( K ) er (op til isomorfisme) l unik kvaternionsalgebra indsat K .
Kvaternion-algebraer over K, som ikke udvides, er ingen ringere end kvaternionsfelter, og de findes muligvis ikke.
Kvaternion algebras på nogle kommutative felter
Hvis K = R , så enhver quaternion algebra på R enten indsat eller isomorf til H .
Hvis K er algebraisk lukket (eller mere generelt hvis K er adskilt lukket ), hvilket er tilfældet, hvis K = C , indsættes enhver kvaternionsalgebra over K.
Hvis K er endelig, indsættes enhver kvaternionsalgebra over K (dette skyldes, at ethvert endeligt felt er kommutativt).
Referencer
- N. Bourbaki , Elementer i matematik , Algebra , kapitel 3.
- (en) Max-Albert Knus (de) , Alexander Merkurjev , Markus Rost (de) og Jean-Pierre Tignol, The Book of Involutions , AMS , 1998.