Aritmetik

Den aritmetiske er en gren af matematikken , der er den videnskab af numre .

Aritmetikken er begrænset til at starte undersøgelsen af ​​egenskaberne af naturlige tal , af heltal og rationelle tal (som fraktioner ) og egenskaberne for operationer på disse tal. De traditionelle aritmetiske operationer er addition , division , multiplikation og subtraktion . Denne disciplin blev derefter udvidet ved at inkludere studiet af andre tal som realerne (i form af ubegrænset decimaludvidelse ) eller endnu mere avancerede begreber som eksponentiering eller kvadratroden . En aritmetik er en måde til formelt at repræsentere - det vil sige "kode" - tallene (f.eks. I form af en liste med tal); og (takket være denne repræsentation) definerer de grundlæggende operationer: tilføjelse, multiplikation osv.

Historie

Det etymologi af ordet aritmetiske er baseret på den gamle græske ἀριθμός ( arithmos ), hvilket betyder nummer .

Oprindelsen til aritmetik ser ud til at være en fønikisk opfindelse . I den pythagoræiske skole i anden halvdel af det VI th  århundrede  f.Kr.. AD , aritmetik var sammen med geometri , astronomi og musik en af ​​de fire kvantitative eller matematiske videnskaber ( Mathemata ). Disse blev inddelt i de syv liberale kunst ved Martianus Capella ( V th  århundrede) og mere præcist udpeget som quadrivium ved boethius . De andre tre discipliner var litterære ( grammatik , retorik , dialektik ) og var genstand for Cassiodorus og senere Alcuin, der gav dem navnet trivium .

Forskellig aritmetik

Elementær aritmetik

Udtrykket "elementær aritmetik" henviser undertiden til den mest basale form for matematik, der læres i folkeskolen . Dette er i det væsentlige studiet af tal og elementære operationer ( subtraktion , addition , division , multiplikation ).

Dette udtryk henviser også til det grundlæggende i aritmetiske teknikker. De anvendte værktøjer er den euklidiske opdeling , Euklids lemma , Bachet-Bézout- sætningen eller den grundlæggende sætning i aritmetik . De giver os mulighed for at demonstrere sætninger som Wilsons eller Fermats lille sætning .

Denne anden betydning af udtrykket behandles i den detaljerede artikel.

Modulær aritmetik

Carl Friedrich Gauss ( 1777 - 1855 ) studerer sættet med kongruensklasser af relative heltal modulo et givet heltal . Hver klasse svarer til en resterende del af den euklidiske division med dette heltal, og sættet er naturligvis forsynet med en tilføjelse og en multiplikation.

Undersøgelsen af ​​denne struktur kaldes modulær aritmetik. Det gør det muligt at generalisere resultaterne af elementær aritmetik. Den Euler sætning , svarende til et resultat stærkere end Fermats lille sætning illustrerer en generalisering.

Modular aritmetik bruges i kryptologi eller til konstruktion af korrigerende koder inden for datalogi .

Algebraisk talteori

Mange spørgsmål bliver ubesvarede, selv med modulære aritmetiske teknikker. Eksempler kommer fra diofantiske ligninger , det vil sige fra ligninger, hvis koefficienter er heltal, og hvis ønskede løsninger er heltal. En metode består i at udvide sæt af heltal til en ny struktur kaldet en ring af algebraiske heltal , som for Gaussiske heltal .

Undersøgelsen af ​​disse strukturer, mere generelle end modulære aritmetiske, som er begrænset til euklidiske ringe , udgør det første kapitel i algebraisk talteori .

Polynomisk aritmetik

Undersøgelsen af ​​aritmetik i betydningen heltal antager at etablere sætninger. Disse sætninger demonstreres ved hjælp af teknikker, der ikke er begrænset til heltal. Det er muligt at bruge den samme tilgang på andre strukturer, såsom polynomer . Gennem studiet af cyklotomiske polynomer lykkes Gauss at finde en ny regelmæssig polygon, der kan konstrueres med en lineal og et kompas , fra 17 sider.

Hans tilgang er aritmetik . Af denne grund taler vi om polynomisk aritmetik.

Sæt, der bruges i aritmetik

Tallets samlede antal er opdelt i forskellige sæt . De mest berømte er:

• IKKE{\ displaystyle \ mathbb {N}} : sættet med naturlige tal ( ).0;1;2;3;4;5; etc.{\ displaystyle 0; \, 1; \, 2; \, 3; \, 4; \, 5; {\ mbox {osv.}}}
• Z{\ displaystyle \ mathbb {Z}} : sættet med relative heltal ( ).-12;-2;0;5;6; etc.{\ displaystyle -12; \, - 2; \, 0; \, 5; \, 6; {\ mbox {osv.}}}
• D{\ displaystyle \ mathbb {D}} : sæt decimaltal , det vil sige skrevet i form af et kvotient af et relativt heltal og en positiv effekt på 10, det vil sige hvor x er et relativt heltal og n er et heltal ( , etc.).x10ikke{\ displaystyle {\ frac {x} {10 ^ {n}}}}-510,0,13100,1010{\ displaystyle {\ tfrac {-5} {10}}, \, 0, \, {\ tfrac {13} {100}}, \, {\ tfrac {10} {10}}}
• Spørgsmål{\ displaystyle \ mathbb {Q}} : sættet med rationelle tal , det vil sige tal, der kan skrives som en kvotient (resultat af en opdeling) af to relative heltal. Ved at indstille divisionen kan der være en uendelighed af cifre efter decimaltegnet i resultatet, men disse cifre gentager sig til sidst; i dette tilfælde siger vi, at decimalskrivningen er periodisk ubegrænset .(13;-513;227 etc.){\ displaystyle \ left ({1 \ over 3}; \, - {5 \ over 13}; {22 \ over 7} {\ mbox {osv.}} \ højre)}
• R{\ displaystyle \ mathbb {R}} : sættet med reelle tal , der måler alle afstandene mellem to punkter i en lige linje, som kan ses som grænser for rationelle tal, og som kan skrives med cifre efter decimaltegnet, men cifrene gentages ikke længere nødvendigvis ( , , etc.).π{\ displaystyle \ pi}2{\ displaystyle {\ sqrt {2}}}
• VS{\ displaystyle \ mathbb {C}} : komplekse tal i formen hvor x og y er ægte og imaginære, således at .x+jegy{\ displaystyle x + iy}jeg{\ displaystyle i}jeg2=-1{\ displaystyle i ^ {2} = - 1}

Nogle af disse sæt er delmængder af andre; alle elementer tilhører også f.eks. Men omvendt er et element af ikke nødvendigvis et element af . Disse sæt kan repræsenteres ved koncentriske cirkler: den mindste er , efterfulgt , , , og . IKKE{\ displaystyle \ mathbb {N}}Z{\ displaystyle \ mathbb {Z}}Spørgsmål{\ displaystyle \ mathbb {Q}}Z{\ displaystyle \ mathbb {Z}}IKKE{\ displaystyle \ mathbb {N}}Z{\ displaystyle \ mathbb {Z}}D{\ displaystyle \ mathbb {D}}Spørgsmål{\ displaystyle \ mathbb {Q}}R{\ displaystyle \ mathbb {R}}VS{\ displaystyle \ mathbb {C}}

Det er muligt kun at overveje en del af et sæt. Således betegner vi sættet med positive tal på . På samme måde betegner vi det private sæt på 0. Vi bemærker blandt andet det og det (det er "privat" ). R+{\ displaystyle \ mathbb {R} _ {+}}R{\ displaystyle \ mathbb {R}}R∗{\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {*}}R{\ displaystyle \ mathbb {R}}Z+=IKKE{\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {+} = \ mathbb {N}}Z∖IKKE=Z-∗{\ displaystyle \ mathbb {Z} \ setminus \ mathbb {N} = \ mathbb {Z} _ {-} ^ {*}}Z{\ displaystyle \ mathbb {Z}}IKKE{\ displaystyle \ mathbb {N}}

Ejendomme

Mange heltal har specielle egenskaber. Disse egenskaber er genstand for talteori . Blandt disse bestemte tal er primtallene uden tvivl de vigtigste.

Primtal

Dette er tilfældet med såkaldte primtal . Dette er de naturlige tal, der kun har to forskellige positive divisorer, nemlig 1 og sig selv. De første ti primtal er 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 og 29. Heltallet 1 er ikke prime, fordi det ikke har to forskellige positive delere, men kun en, nemlig sig selv. Der er en uendelighed af primtal. Ved at udfylde et gitter med størrelse 10 × 10 med de første 100 naturlige ikke-nul-tal og krydse dem ud, der ikke er primære, opnår vi de primtal, der tilhører {1,…, 100} ved en proces kaldet en sigte af Eratosthenes , opkaldt efter den græske lærde, der opfandt det .

Lige og ulige tal

Naturlige tal kan opdeles i to kategorier: lige og ulige .

Et lige heltal er et multiplum af 2 og kan derfor skrives med . Et ulige tal er ikke et multiplum af 2 og kan skrives med . ikke{\ displaystyle n}ikke=2k{\ displaystyle n = 2 \, k}k∈IKKE{\ displaystyle k \ in \ mathbb {N}}ikke{\ displaystyle n}ikke=2k+1{\ displaystyle n = 2 \, k + 1}k∈IKKE{\ displaystyle k \ in \ mathbb {N}}

Vi viser, at ethvert heltal er enten lige eller ulige, og dette for et unikt  : vi betegner . k{\ displaystyle k}∀ikke∈IKKE∃!k∈IKKE(ikke=2k∨ikke=2k+1){\ displaystyle \ forall n \ i \ mathbb {N} \ quad \ findes! k \ i \ mathbb {N} \ quad \ left (n = 2 \, k \ lor n = 2 \, k + 1 \ right) }

De første seks lige heltal er 0, 2, 4, 6, 8 og 10. De første seks ulige heltal er 1, 3, 5, 7, 9 og 11.

Noter og referencer

1. Quillet Encyclopedic Dictionary , bind. AD, s.  117.
2. Hervé Lehning, Al matematik i verden , Paris, Flammarion,2017, 446  s. ( ISBN  978-2-08-135445-6 , meddelelse BnF nr .  FRBNF45340842 ) , s.  135.
3. Pascal Mueller-Jourdan , en indvielse i filosofien for sen antikken: lektioner fra Pseudo-Elias , Fribourg, Éditions du Cerf ,2007, 143  s. ( ISBN  978-2-204-08571-7 , varsel BNF n o  FRBNF41210863 , læse online ) , s.  73.

Se også

Relaterede artikler

• Intervallaritmetik
• Computer aritmetik
• Peano-aritmetik
• Mættet aritmetik
• Associativitet
• Kommutativitet
• Distributivitet
• Rækkefølge for operationer

Bibliografi

Matematik

• Daniel Perrin , "  Kursus nummer 6: Aritmetik og kryptografi  " , om Institut for Matematik i Orsay ,2010
• Jean-Pierre Serre , aritmetik ,1970[ detaljer om udgaver ]

Filosofi

• Gottlob Frege , Grundlaget for aritmetik , 1884
• Richard Dedekind , Was sind und was sollen die Zahlen? , 1888
• Edmund Husserl , Aritmetikfilosofi  (en) , 1891