Hardy Space

De Hardy rum i feltet matematik af funktionel analyse , er rum af analytiske funktioner på enheden disken ? den komplekse plan .

Hilbert-sagen: rummet $H 2$ (?)

Definition

Lad $f være$ en holomorf funktion på ?, vi ved, at $f$ indrømmer en Taylor-serieudvidelse ved 0 på enhedsdisken:

{\ displaystyle \ forall z \ in \ mathbb {D} \ qquad f (z) = \ sum _ {n = 0} ^ {+ \ infty} \, {\ hat {f}} (n) \ z ^ { n} \ qquad {\ text {with}} \ qquad {\ hat {f}} (n): = {\ frac {f ^ {(n)} (0)} {n!}}.}

Vi så sige, at $f$ er i Hardy rum $H 2$ (?) hvis sekvensen hører ℓ 2 . Med andre ord har vi: ${\ displaystyle ({\ hat {f}} (n))}$

{\ displaystyle H ^ {2} (\ mathbb {D}) = \ left \ lbrace f \ in Hol (\ mathbb {D}) ~ \ left | ~ \ sum _ {n = 0} ^ {+ \ infty} \, | {\ hat {f}} (n) | ^ {2} <+ \ infty \ right. \ right \ rbrace}

Vi definerer derefter normen for $f$ ved:

{\ displaystyle \ | f \ | _ {2}: = \ left (\ sum _ {n = 0} ^ {+ \ infty} | {\ hat {f}} (n) | ^ {2} \ right) ^ {\ frac {1} {2}}.}

Eksempel

Funktionen tilhører $H$ $2$ (?), ved konvergens af serien ( konvergent Riemann serie ). ${\ displaystyle z \ mapsto \ log (1-z) = - \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {z ^ {n}} {n}}}$ ${\ displaystyle \ sum _ {n \ geq 1} {\ frac {1} {n ^ {2}}}}$

Et andet udtryk for standarden

For $f$ holomorfisk på ? og for $0 \leq r <1$ definerer vi:

{\ displaystyle M_ {2} (f, r): = \ left ({\ frac {1} {2 \ pi}} \ int _ {- \ pi} ^ {\ pi} \ vert f (r \ mathrm { e} ^ {\ mathrm {i} t}) \ vert ^ {2} ~ \ mathrm {d} t \ right) ^ {\ frac {1} {2}}.}

funktionen $r \mapsto M 2 ( f , r )$ stiger over $[0, 1 [$ .
$f \in H 2$ (?) hvis og kun hvisog vi har: ${\ displaystyle \ lim _ {r \ til 1 ^ {-}} M_ {2} (f, r) <+ \ infty}$

{\ displaystyle \ | f \ | _ {2} ^ {2} = \ lim _ {r \ til 1 ^ {-}} {{\ frac {1} {2 \ pi}} \ int _ {- \ pi } ^ {\ pi} \ vert f (r \ mathrm {e} ^ {\ mathrm {i} t}) \ vert ^ {2} ~ \ mathrm {d} t} = \ sup _ {0 \ leq r < 1} {\ frac {1} {2 \ pi}} \ int _ {- \ pi} ^ {\ pi} \ vert f (r \ mathrm {e} ^ {\ mathrm {i} t}) \ vert ^ {2} ~ \ mathrm {d} t.}

Demonstration

Lad os sætte hvor og . Vi har : ${\ displaystyle z = r \ mathrm {e} ^ {\ mathrm {i} t}}$ ${\ displaystyle r \ in [0,1 [}$ ${\ displaystyle t \ i [- \ pi, \ pi]}$ ${\ displaystyle f (z) = \ sum _ {n = 0} ^ {+ \ infty} {\ hat {f}} (n) z ^ {n} {\ hbox {derfor}} f (r \ mathrm { e} ^ {\ mathrm {i} t}) = \ sum _ {n = 0} ^ {+ \ infty} {\ hat {f}} (n) r ^ {n} \ mathrm {e} ^ {\ mathrm {i} nt}}$ Så efter Parsevals formel har vi: ${\ displaystyle M_ {2} (f, r) ^ {2} = \ sum _ {n = 0} ^ {+ \ infty} \ vert {\ hat {f}} (n) \ vert ^ {2} r ^ {2n}}$ Denne formel beviser den første påstand.
Hvis $f \in H 2$ (?), viser den foregående formel, at det er en stigende funktion, der findes derfor afgrænset og ifølge den monotone konvergenssætning er denne grænse lig med . Omvendt hvis vi for hver har ved vækst af : ${\ displaystyle M_ {2} (f,.)}$ ${\ displaystyle \ displaystyle {\ lim _ {r \ rightarrow 1-} M_ {2} (f, r)}}$ ${\ displaystyle \ | f \ | _ {2}}$ ${\ displaystyle \ displaystyle {\ lim _ {r \ rightarrow 1-} M_ {2} (f, r) = M <+ \ infty}}$ $N \ geq 0$ ${\ displaystyle M_ {2} (f, r)}$ ${\ displaystyle \ sum _ {n = 0} ^ {N} \ vert {\ hat {f}} (n) \ vert ^ {2} r ^ {2n} \ leq \ sum _ {n = 0} ^ { + \ infty} \ vert {\ hat {f}} (n) \ vert ^ {2} r ^ {2n} \ leq M ^ {2}}$ Ved at passere til grænsen, når der er en tendens mod derefter, når der er en tendens mod , opnår vi den anden påstand. $r$ ${\ displaystyle 1 ^ {-}}$ $IKKE$ $+ \ infty$

Nogle egenskaber i rummet $H 2$ (?)

Hardy rum $H 2$ (?) er isometrisk isomorphic (som en normaliseret vektorrum ) til ℓ 2 . Det er derfor et Hilbert-rum .

Demonstration

Vi overvejer applikationen defineret af . Dette er godt defineret ved definition af $H$ $2$ (?), er det klart lineær. Ved det unikke ved udviklingen i hele serien er det injektionsdygtigt , det er stadig at vise, at det er overvejende . ${\ displaystyle T: H ^ {2} (\ mathbb {D}) \ rightarrow \ ell _ {2}}$ ${\ displaystyle T (f) = ({\ hat {f}} (n))}$

Lad , således afgrænset, hele serien f defineret af en med en radius på konvergens er større end eller lig med 1, især og . er derfor overvejende. ${\ displaystyle (a_ {n}) \ in \ ell _ {2}}$ $(år)$ ${\ displaystyle f (z) = \ sum _ {n = 0} ^ {+ \ infty} a_ {n} z ^ {n}}$ ${\ displaystyle f \ i Hol (\ mathbb {D})}$ ${\ displaystyle T (f) = (a_ {n})}$ $T$

For alle $f \in H 2$ (?) og for alle $z$ i ? har vi:

{\ displaystyle \ vert f (z) \ vert \ leq {\ frac {\ | f \ | _ {2}} {\ sqrt {1- \ vert z \ vert ^ {2}}}}.}

Demonstration

Vi anvender Cauchy-Schwarz-uligheden i Taylor-seriens udvidelse af $f$ ved 0. Vi har derefter for alle $z$ i ?:

{\ displaystyle \ vert f (z) \ vert \ leq \ sum _ {n = 0} ^ {+ \ infty} \ vert {\ hat {f}} (n) \ vert \ vert z \ vert ^ {n} \ leq \ | f \ | _ {2} \, {(\ sum _ {n = 0} ^ {+ \ infty} \ vert z \ vert ^ {2n})} ^ {\ frac {1} {2} } = {\ frac {\ | f \ | _ {2}} {\ sqrt {1- \ vert z \ vert ^ {2}}}}}

Dette betyder, at lineært kort over evaluering $f \mapsto f ( z )$ , fra $H 2$ (?) til ℂ, er kontinuert for alle $z$ i ? og dens normen er mindre end:

{\ displaystyle {\ frac {1} {\ sqrt {1- \ vert z \ vert ^ {2}}}.}

Faktisk kan vi vise, at normen er nøjagtig lig med denne konstant.

Den svage topologi af enheden kugle af $H 2$ (?) falder sammen med topologien af ligelig konvergens på enhver kompakt .

De næste to egenskaber er så direkte konsekvenser af sidstnævnte.

Lad $( f n ) være$ en sekvens af elementer af $H 2$ (?), som konvergerer i normen i retning $f$ derefter $( f n )$ konvergerer ensartet på enhver kompakt af ? i retning $f$ .
Lad $( f n ) være$ en sekvens af elementer af $H 2$ (?) indgår i enheden bolden. Derefter kan vi udtrække en sekvens, der konvergerer ensartet på enhver kompakt af ?.

Den generelle sag

Definition

For $0 < p <+ \infty$ , én definerer den Hardy rum $H p$ (?) som værende rummet af de analytiske funktioner $f$ på apparatet disk såsom:

{\ displaystyle \ sup _ {0 <r <1} \ left (\ int _ {0} ^ {2 \ pi} | f (r \ mathrm {e} ^ {\ mathrm {i} t}) | ^ { p} ~ {\ frac {\ mathrm {d} t} {2 \ pi}} \ højre) <+ \ infty.}

Vi definerer derefter:

{\ displaystyle \ | f \ | _ {p} = \ sup _ {0 <r <1} \ left (\ int _ {0} ^ {2 \ pi} | f (r \ mathrm {e} ^ {\ mathrm {i} t}) | ^ {p} ~ {\ frac {\ mathrm {d} t} {2 \ pi}} \ right) ^ {\ frac {1} {p}}.}

Nogle egenskaber

For $p \geq 1$ er $H p$ (?) et Banach-rum .
Lad $f \in H p$ (?) for $p \geq 1$ . Så for næsten alle $t$ (i betydningen Lebesgue-mål ): ${\ displaystyle f ^ {*} (\ mathrm {e} ^ {\ mathrm {i} t}): = \ lim _ {r \ til 1 ^ {-}} f (r \ mathrm {e} ^ {\ mathrm {i} t})}$ eksisterer og kortet $f \mapsto f *$ er en isometri af $H p$ (?) om underrum af hvor: ${\ displaystyle H _ {*} ^ {p}}$ ${\ displaystyle L ^ {p} \ left ([0,2 \ pi], {\ frac {\ mathrm {d} t} {2 \ pi}} \ right)}$ ${\ displaystyle H _ {*} ^ {p} = \ left \ {\ left.f \ in L ^ {p} \ left ([0,2 \ pi], {\ frac {\ mathrm {d} t} {2 \ pi}} \ right) ~ \ right | ~ \ forall n \ leq -1, ~ {\ hat {f}} (n) = 0 \ right \}.}$
Vi har en anden karakterisering af normen takket være egenskaberne ved de subharmoniske funktioner : For enhver $f \in H p$ (?) har vi:

{\ displaystyle \ | f \ | _ {p} = \ lim _ {r \ til 1 ^ {-}} \ left (\ int _ {0} ^ {2 \ pi} | f (r \ mathrm {e} ^ {\ mathrm {i} t}) | ^ {p} {\ frac {\ mathrm {d} t} {2 \ pi}} \ right) ^ {\ frac {1} {p}}.}

Beurling faktorisering

Bibliografi

(en) Peter L. Duren , Theory of H p Spaces , Dover ,2000, 292 s. ( ISBN 978-0-486-41184-2 , læs online )
Nikolaï Nikolski, Elementer i avanceret analyse T.1 - Spaces of Hardy , Belin ,november 2012, ( ISBN 978-2701163482 )

Relateret artikel

Fiskekerne

Hardy Space

Hilbert-sagen: rummet H 2 (?)

Definition

Eksempel

Et andet udtryk for standarden

Nogle egenskaber i rummet H 2 (?)

Den generelle sag

Definition

Nogle egenskaber

Beurling faktorisering

Bibliografi

Relateret artikel

Hilbert-sagen: rummet $H 2$ (?)

Nogle egenskaber i rummet $H 2$ (?)