Weizsäcker-formel

Den Weizsäcker formel , også kaldet Bethe-Weizsäcker formel , er en semi-empiriske formel giver en tilnærmet værdi for den nukleare bindingsenergien B karakteriserer bindingen mellem nukleonerne der udgør kernen af atomer (se en oversigt i Model of væskedråbe ).

Historie

Den navnebror af formel Weizsäcker er den tyske fysiker Carl Friedrich von Weizsäcker (1912-2007) der foreslog det i 1935i en artikel offentliggjort i Zeitschrift für Physik . Fysikere Hans Bethe (1906-2005) og Robert Bacher (1905-2004) har forenklet sit udtryk til 1936. Fysiker Eugene Wigner (1902-1995) generaliserede det i 1937. I1939, Niels Bohr (1885-1962) og John Wheeler (1911-2008) introducerede udtrykket . $\ delta$

Udtryk

{\ displaystyle B \ left (A, Z \ right) = a_ {v} A-a_ {s} A ^ {\ frac {2} {3}} - a_ {c} {\ frac {Z \ left (Z -1 \ højre)} {A ^ {\ frac {1} {3}}}} - a_ {a} {\ frac {(A-2Z) ^ {2}} {A}} \ pm a_ {p} A ^ {- {\ frac {1} {2}}}}

eller:

B er bindingsenergien , A er massetallet (eller antallet af nukleoner indeholdt i kernen A = Z + N ), Z er antallet af protoner ;
${\ displaystyle a_ {vb} A}$ er udtrykket volumen ;
${\ displaystyle a_ {s} A ^ {2/3}}$ er overfladeudtrykket ;
${\ displaystyle a_ {c} Z \ left (Z-1 \ right) A ^ {- 1/3}}$ er Coulomb-udtrykket ;
${\ displaystyle a_ {a} \ left (NZ \ right) ^ {2} A ^ {- 1}}$ er asymmetriudtrykket ;
${\ displaystyle a_ {p} A ^ {- 1/2}}$ er udtrykket paritet eller parring .

Bemærkninger:

I Coulomb sigt, er ofte erstattet af bil . ${\ displaystyle Z \ left (Z-1 \ right)}$ $Z ^ {2}$ ${\ displaystyle Z \ left (Z-1 \ right) \ approx Z ^ {2}}$

I nogle formler varierer udtrykket parring i stedet for i . ${\ displaystyle A ^ {- 3/4}}$ ${\ displaystyle A ^ {- 1/2}}$

Værdierne for de anvendte konstanter er (i MeV ):

a v = 15,56
a s = 17,23
a c = 0,7
a a = 23,6
a p = 11,2

Der er forskellige sæt parametre til Weizsäcker-formlen. Valget af sæt af parametre defineres i henhold til de undersøgte kerner. Således vil nogle sæt af parametre give mere præcise bindingsenergier for stabile kerner, mens andre sæt vil give mere tilfredsstillende resultater for eksotiske kerner .

Denne formel gør det muligt med en god tilnærmelse at forklare Aston- kurven (modsat), som repræsenterer bindingsenergien pr. Nukleon som en funktion af antallet af nukleoner i kernen. Det er en eksperimentel kurve, fordi hver bindingsenergi beregnes der ud fra atomkernens masse målt ved massespektrometri.

Forklaring af de forskellige termer

Den Bethe-Weizsäcker formel bringer fem ord: .
${\ displaystyle \, B = E_ {v} + E_ {s} + E_ {c} + E_ {a} + E_ {p}}$

De to første skyldes væskedråbemodellen i kernen.
Den tredje udtrykker den elektrostatiske frastødning mellem protoner.
De sidste to er kvante .

For at forklare disse forskellige udtryk er det nødvendigt at antage, at kernen er sfærisk, med radius . Og da den er kompakt (dens volumen er proportional med antallet af nukleoner A ), så er den proportional med . $R_0$ $R_0$ ${\ displaystyle A ^ {1/3}}$

Volumen energi

For at forklare det første udtryk kan vi bruge en analogi med en ideel gas, hvor den indre energi er proportional med antallet af partikler, der udgør gassen. Således antages det, at denne mængde energi er proportional med A . Det hjælper med at forklare nukleare styrker korte spændvidder og mætning af nukleare styrker . $E_ {vb}$
${\ displaystyle \, E_ {vb} = a_ {vb} A}$

Overfladenergi

Begrebet overfladespænding (eller overfladespænding) af et væskedråbe kan bruges til at fortolke det andet udtryk. Intuitivt er nukleonerne på overfladen af kernen i kontakt med færre nukleoner end dem i centrum, bindingsenergien reduceres derfor, ligesom (uden at det er det samme fysiske fænomen involveret), hvad der sker ved en væske / gas-grænseflade såsom en dråbe vand i luften.

Ved at indføre som det andet udtryk af formlen beviser vi, som en første tilnærmelse, at overfladearealet af kernen er proportionalt med . ${\ textstyle \, E_ {s} = - a_ {s} A ^ {2/3}}$ ${\ textstyle E_ {s}}$

Til dette estimerer vi, at volumenet af kernen er proportionalt med antallet af nukleoner. Dette er en almindelig tilnærmelse:

r=r0PÅ1/3{\ displaystyle \, r = r_ {0} A ^ {1/3}} ${\ displaystyle \, r = r_ {0} A ^ {1/3}}$ Med den gennemsnitlige radius af et nukleon. ${\ displaystyle \, r_ {0}}$

Overfladen af en kugle med radius væsen , erstatning af dens tilnærmelse får vi: ${\ textstyle \, r}$ ${\ textstyle \, S = 4 \ pi r ^ {2}}$ ${\ textstyle \, r}$

S=4π(r0PÅ1/3)2=4πr02PÅ2/3{\ displaystyle \, S = 4 \ pi (r_ {0} A ^ {1/3}) ^ {2} = 4 \ pi r_ {0} ^ {2} A ^ {2/3}}

{\ displaystyle \, S = 4 \ pi (r_ {0} A ^ {1/3}) ^ {2} = 4 \ pi r_ {0} ^ {2} A ^ {2/3}}

Hvorfra, PÅ2/3∝S{\ displaystyle \, A ^ {2/3} \ propto S}

{\ displaystyle \, A ^ {2/3} \ propto S}

Elektrostatisk frastødning

Da protonerne alle er positivt ladede , afviser de hinanden. Dette deltager i at reducere bindingsenergien med et udtryk for elektrostatisk frastødning . I en grov tilnærmelse kan kernen betragtes som en kugle med en ensartet ladningstæthed . Den potentielle energi ved en sådan belastningsfordeling gives af: $E_c$

{\ displaystyle E = {\ frac {3} {5}} \ left ({\ frac {1} {4 \ pi \ epsilon _ {0}}} \ right) {\ frac {Q ^ {2}} { R}}}

hvor er den samlede ladning, kuglens radius. Ved at identificere med og tage radius proportional med opnår vi formen af Coulomb-udtrykket. Imidlertid eksisterer Coulomb-frastødning kun, når der er mere end en proton, der inducerer, hvad der bliver . Værdien af kan groft beregnes ved hjælp af ovenstående ligning: $Q$ $R$ $Q$ ${\ displaystyle Ze}$ ${\ displaystyle A ^ {1/3}}$ $Z ^ {2}$ ${\ displaystyle Z (Z-1)}$ $a_ {c}$

{\ displaystyle R = r_ {0} A ^ {\ frac {1} {3}}}

{\ displaystyle Q = Ze}

{\ displaystyle Z ^ {2} = Z (Z-1)}

${\ displaystyle E_ {c} = {\ frac {3} {5}} \ left ({\ frac {1} {4 \ pi \ epsilon _ {0}}} \ right) {\ frac {Q ^ {2 }} {R}} = {\ frac {3} {5}} \ venstre ({\ frac {1} {4 \ pi \ epsilon _ {0}}} \ højre) {\ frac {(Ze) ^ { 2}} {(r_ {0} A ^ {\ frac {1} {3}})}} = {\ frac {3e ^ {2} Z ^ {2}} {20 \ pi \ epsilon _ {0} r_ {0} A ^ {\ frac {1} {3}}}} = {\ frac {3e ^ {2} Z (Z-1)} {20 \ pi \ epsilon _ {0} r_ {0} A ^ {\ frac {1} {3}}}} = a_ {c} {\ frac {Z (Z-1)} {A ^ {1/3}}}}$

Den potentielle energi ved ladningsfordelingen er derfor:

{\ displaystyle E_ {c} = {\ frac {3e ^ {2} Z (Z-1)} {20 \ pi \ epsilon _ {0} r_ {0} A ^ {\ frac {1} {3}} }}}

Konstanten for det elektrostatiske frastødningsudtryk er: $a_ {c}$

{\ displaystyle a_ {c} = {\ frac {3e ^ {2}} {20 \ pi \ epsilon _ {0} r_ {0}}}}

En anden værdi af kan opnås ved hjælp af den fine strukturkonstant : $a_ {c}$

{\ displaystyle a_ {c} = {\ frac {3} {5}} \ left ({\ frac {\ hbar c \ alpha} {r_ {0}}} \ right)}

hvor er den fine struktur konstant , hvis kerneradius er ca. 1,25 femtometre . Dette giver en teoretisk værdi på 0,691 MeV, som ikke er langt fra de målte værdier. $\ alpha$ ${\ displaystyle r_ {0} A ^ {1/3}}$ $r_ {0}$ $a_ {c}$

{\ displaystyle a_ {c} = 0.691MeV}

Asymmetri energi

Da elektrostatisk frastødning konkurrerer med den stærke interaktion for at stabilisere kernen, har tunge kerner brug for et overskud af neutroner, så denne stærke interaktion modvirker effekten af elektrostatisk frastødning. Der er derfor en asymmetri af antallet af neutroner i forhold til antallet af protoner. Dette har a priori ingen anden effekt på bindingsenergien end dem, der er blevet undersøgt ovenfor. I virkeligheden vil en kvanteeffekt spille en rolle: Nukleonerne er på energiniveauer , hvilket betyder, at et overskud af neutroner vil øge deres energi. Vi opnår derefter effekten på den bindende energi kan skrives . ${\ displaystyle E_ {a} = - a_ {a} {\ frac {(NZ) ^ {2}} {A}} = - a_ {a} {\ frac {(A-2Z) ^ {2}} { PÅ}}}$

Parring af energi

En anden kvanteeffekt spiller en rolle i bindingsenergien: Nukleonerne med et halvt helt spin har tendens til at parres parvis og fortrinsvis grupperes sammen i lige tal. Således vil et ulige antal neutroner eller protoner være mindre stabile.
En empirisk formel gør det muligt at redegøre for denne effekt ved at føje til den bindende energi en parringsenergi (eller paritet ), der har forskellige værdier, afhængigt af om der er et lige eller ulige antal nukleoner, neutroner eller protoner: $E_p$
${\ displaystyle E_ {p} = a_ {p} \ left \ {{\ begin {matrix} + A ^ {- {\ frac {1} {2}}} & {\ mbox {case pair-pair (A pair , Z lige, N lige)}} \; \; \; \; \; \; \; \; \\ 0 & {\ mbox {lige-ulige tilfælde (A ulige, Z og N med forskellig paritet)}} \; \; \; \; \\ - A ^ {- {\ frac {1} {2}}} & {\ mbox {ulige-ulige tilfælde (A lige, Z ulige, N ulige)}} slut { matrix}} højre.}$

Kerner med et lige antal nukleoner, neutroner og protoner er mere stabile end dem med et ulige antal nukleoner, selv mere stabile end dem med et lige antal nukleoner og et ulige antal neutroner og protoner, hvorfor bindingsenergien varierer i overensstemmelse hermed.

Brug af formlen

Ligning i stabilitetsdalen

For et givet massetal A ser vi, at Bethe-Weizsäcker-formlen giver en kvadratisk ligning som en funktion af ladningen Z. Vi har således:

{\ displaystyle B_ {A} (Z) = (- a_ {c} A ^ {- {\ frac {1} {3}}} - 4a_ {a} A ^ {- 1}) Z ^ {2} + (a_ {c} A ^ {- {\ frac {1} {3}}} + 4a_ {a}) Z + (a_ {v} -a_ {a}) A-a_ {s} A ^ {\ frac {2} {3}} \ pm a_ {p} A ^ {- {\ frac {1} {2}}}}

Per definition defineres stabile kerner som kerner, der maksimerer bindingsenergi . Ved at søge de værdier, som annullerer derivatet sammenlignet med , kan man således opnå en ligning, der giver kernerne i dalen stabilitet . $B_ {A} (Z)$ $Z$ $B_ {A} (Z)$ $Z$

{\ displaystyle {\ frac {\ partial B_ {A} (Z)} {\ partial Z}} = 0 \ rightarrow Z = {\ frac {a_ {c} A ^ {- {\ frac {1} {3} }} + 4a_ {a}} {2 (a_ {c} A ^ {- {\ frac {1} {3}}} + 4a_ {a} A ^ {- 1})}} \ ca. {1 \ over 2} {A \ over 1 + A ^ {2/3} {\ frac {a_ {c}} {4a_ {a}}}}}

Forbedringer

Mange modeller forsøgte efterfølgende at forfine den væskedråbsmodel, der oprindeligt blev foreslået af Carl Friedrich von Weizsäcker ved at indføre nye parametre for mere præcist at gengive de målte masser eksperimentelt.

Flydende dråbeform

Denne model blev foreslået af William D. Myers og Wladyslaw J. Swiatecki i 1970'erne. Den tilføjer yderligere to parametre til væskedråbsmodellen, nemlig kompressibiliteten af nukleart stof og den lokale protonneutron-asymmetri.

Duflo - Zuker-model

Oprindeligt foreslået i 1995 af Jean Duflo og Andres Zuker derefter raffineret i 1999.

Noter og referencer

Taillet, Villain and Febvre 2018 , sv Weizsäcker (formel for), s. 785-786.
Pfalzner 2006 , B.4, s. 217.
Taillet, Villain and Febvre 2018 , sv Weizsäcker (formula of), s. 786, col. 1 .
Wapstra 1958 , § 15 , s. 26, n. 1 .
Weizsäcker 1935 .
Wapstra 1958 , § 15 , s. 26.
Bethe og Bacher 1936 .
Wigner 1937 .
Wapstra 1958 , § 15 , s. 26, n. 3 .
Bohr og Wheeler 1939 .
Le Sech og Ngô 2014 , kap. 2 , § 2.9 , s. 30.
Mayet 2017 , kap. 2 , § 2.1 , s. 41, 1).
Reuss 2003 , kap. 2 , § 2.2.4 , s. 49.
Mayet 2017 , kap. 2 , § 2.1 , s. 42, 2).
Reuss 2003 , kap. 2 , § 2.2.4 , s. 49-50.
Mayet 2017 , kap. 2 , § 2.1 , s. 42, 3).
Reuss 2003 , kap. 2 , § 2.2.4 , s. 50.
Le Sech og Ngô 2014 , kap. 2 , § 2.9 , s. 30-31.
Mayet 2017 , kap. 2 , § 2.1 , s. 42-43, 4).
Mayet 2017 , kap. 2 , § 2.1 , s. 43, 5).
Taillet, Villain and Febvre 2018 , sv Weizsäcker (formel for), s. 785, col. 2 .
Khater 2009 .
Le Sech og Ngô 2014 , kap. 2 , § 2.9 , s. 31.
" Atomkernen " på www.sciences-en-ligne.com (adgang 14. december 2015 )
Guy Royer , Bidrag til den makroskopiske beskrivelse af nukleare fænomener fusion, fission og fragmentering (doktorafhandling i kernefysik),1986( læs online [PDF] ) , s. 14
(en) J. Duflo AP og Zuker, " Mikroskopiske masseformler " , Physical Review C , bind. 52,1 st juli 1995, R23 ( DOI 10.1103 / PhysRevC.52.R23 )
(en) J. Duflo AP og Zuker, " Mikroskopiske masseformler " , Physical Review C , bind. 59,1 st maj 1999, R2347 ( DOI 10.1103 / PhysRevC.59.R2347 )

Se også

Bibliografi

: dokument brugt som kilde til denne artikel.

Originale publikationer

[Weizsäcker 1935] (de) Carl Friedrich von Weizsäcker , " Zur Theorie der Kernmassen " ["Om teorien om atommasser "], Zeitschrift für Physik , bind. 96, n os 7-8,Jul. 1935, s. 431-458 ( OCLC 5653580744 , DOI 10.1007 / BF01337700 , Bibcode 1935ZPhy ... 96..431W ).
[Bethe og Bacher 1936] (da) Hans A. Bethe og Robert F. Bacher , “ Nuclear physics: A. - Stationary states of nuclei ” , Anmeldelser af moderne fysik , bind. 8, nr . 2Apr 1936, s. 82-229 ( OCLC 4643731788 , DOI 10.1103 / RevModPhys.8.82 , Bibcode 1936RvMP .... 8 ... 82B , læs online [PDF] ).
[Wigner 1937] (i) Eugene Wigner , " Om strukturen af kerner ud over ilt " ["Om strukturen af kerner ud over ilt"], Physical Review , vol. 51, nr . 11,Juni 1937, s. 947-958 ( OCLC 4644011967 , DOI 10.1103 / PhysRev.51.947 , Bibcode 1937PhRv ... 51..947W , resumé ).
[Bohr og Wheeler 1939] (da) Niels Bohr og John Archibald Wheeler , " Mekanismen ved nuklear fission " , Physical Review , bind. 56, nr . 5,Sep 1939, s. 426-450 ( OCLC 4644057022 , DOI 10.1103 / PhysRev.56.426 , Bibcode 1939PhRv ... 56..426B , resumé , læs online [PDF] ).

Videregående uddannelsesbøger

[Basdevant 2016] Jean-Louis Basdevant , kvantefysik og dens anvendelser , Paris, Vuibert , coll. "LMD / Fysik",august 2016, 1 st ed. , 1 vol. , IX -421 s. , syg. , Fig. og graf. , 17 × 24 cm ( ISBN 978-2-311-40039-7 , EAN 9782311400397 , OCLC 957.581.835 , varsel BNF n o FRBNF44272737 , SUDOC 194.834.077 , online præsentation , læse online ) , § 5.2.2 ( ”Formlen for massen af Bethe-Weizsäcker '), s. 102-105.
[Basdevant, Rich og Spiro 2002] Jean-Louis Basdevant , James Rich og Michel Spiro , Atomenergi , Palaiseau, École polytechnique , uden for coll. ,Oktober 2002( repr. august 2006), 1 vol. , 336 s. , syg. , 17 × 24 cm ( ISBN 978-2-7302-0901-4 , EAN 9782730209014 , OCLC 64.768.914 , note BNF n o FRBNF38862997 , SUDOC 069.243.158 , online præsentation , læse online ) , § 2.2 ( ”Massen formel af Bethe-Weizsäcker '), s. 67-71.
[Le Sech og Ngô 2014] Claude Le Sech og Christian Ngô , Kernefysik: fra kvarker til applikationer , Paris, Dunod , coll. "Højere videnskab / fysik",juni 2014, 2 nd ed. ( 1 st ed. Apr 2010), 1 vol. , XVI -271 s. , syg. , 24 cm ( ISBN 978-2-10-070541-2 , EAN 9782100705412 , OCLC 881.576.971 , varsel BNF n o FRBNF43822194 , SUDOC 178.846.775 , online præsentation , læse online ) , § 2.9 ( "Den flydende drop-model"), s. 29-31.
[Pfalzner 2006] (da) Susanne Pfalzner , en introduktion til fusion af inerti-indespærring ["En introduktion til nuklear fusion ved inerti-indespærring"], New York og London, Taylor & Francis , koll. "Serier inden for plasmafysik",Marts 2006( repr. Sep 2019), 1 st ed. , 1 vol. , 232 s. , syg. , 16 × 24 cm ( ISBN 978-0-7503-0701-7 og 978-0-3673-9109-6 , EAN 9780750307017 , OCLC 62.679.899 , varsel BNF n o FRBNF41099603 , DOI 10,1201 / 9781420011845 , SUDOC 112.896.030 , online præsentation , læs online ) , B.4 (“ Konstanter af den semi-empiriske masseformel ”) [“Konstanter af den semi-empiriske masseformel”], s. 217.
[Reuss 2003] Paul Reuss , Précis de neutronique , Les Ulis, EDP Sciences og INSTN , coll. "Atomic engineering",august 2003( repr. Dec. 2012), 1 st ed. , 1 vol. , 533 s. , syg. , Fig. og graf. , 17 × 24 cm ( ISBN 2-86883-637-2 , EAN 9782868836373 , OCLC 470.236.789 , varsel BNF n o FRBNF39042390 , SUDOC 074.172.719 , online præsentation , læse online ) , § 2.2.4 ( "Drop-model"), s. 49-51.

Ordbøger og leksikaer

[Taillet, Villain and Febvre 2018] Richard Taillet , Loïc Villain and Pascal Febvre , Dictionary of physics , Louvain-la-Neuve, De Boeck Supérieur , uden for coll. ,Januar 2018, 4 th ed. ( 1 st ed. Maj 2008), 1 vol. , X -956 s. , syg. , Fig. og graf. , 17 × 24 cm ( ISBN 978-2-8073-0744-5 , EAN 9782807307445 , OCLC 1022951339 , varsel BNF n o FRBNF45646901 , SUDOC 224.228.161 , online præsentation , læse online ) , sv Weizsäcker (form for), s. 785-786.
[Wapstra 1958] (de + en) Aaldert Hendrik Wapstra , " Atomic masses of nuclides " , i Siegfried Flügge (red.), Handbuch der Physik / Encyclopedia of physics ["Encyclopedia of physics"], t. XXXVIII , 1 st del. : Äussere Eigenschaften der Atomkerne / Eksterne egenskaber for atomkerner [“ Eksterne egenskaber for atomkerner ”] , Berlin, Göttingen og Heidelberg, Springer , coll. " Kernphysik / Atomfysik " ( nr . 8/38/1),1958( repr. Apr 2012), 1 st ed. , 1 vol. , VI -471 s. , syg. , Fig. og graf. , 17 × 24,4 cm ( ISBN 978-3-642-45902-3 , OCLC 467.895.019 , varsel BNF n o FRBNF37353867 , DOI 10,1007 / 978-3-642-45901-6 , SUDOC 015.349.322 , online præsentation , læse på linje ) , kap. 1 st [ ”Atomic masser af nuklider”], s. 1-37 ( OCLC 7322443398 , DOI 10.1007 / 978-3-642-45901-6_1 ).

Relaterede artikler

eksterne links

[Khater 2009] Antoine Khater , "Introduktion til kernefysik" , i digitale uddannelsesressourcer til fysiklicensen ,16. juni 2009( læs online ) , § 2.10 (“Empirisk forhold for bindingsenergien pr. nukleon”) ( læs online ).
[Valentin] Luc Valentin , "Nuklear (fysik): atomkerne" , i Encyclopædia Universalis , nd ( læs online ) , § 2 ("Masse og bindende energi") ( læs online ).