Icosagon

En icosagon er en polygon med 20 hjørner , så 20 sider og 170 diagonaler .

Den summen af vinklerne indre af et ikke icosagon pasning er 3240 grader .

Den almindelige ikosagon er konstruerbar .

Regelmæssige ikoner

En almindelig icosagon er en icosagon, hvis 20 sider har samme længde, og hvis indre vinkler har samme mål. Der er fire: tre stjernemarkerede ( ikosagrammerne betegnet {20/3}, {20/7} og {20/9} ) og en konveks (betegnet {20}). Det er sidstnævnte der henvises til, når vi taler om "den almindelige ikosagon".

De tre regelmæssige stjerneklare ikosager
{20/3} (indvendig vinkel: 126 °)
{20/7} (indvendig vinkel: 54 °)
{20/9} (indvendig vinkel: 18 °)

Karakteristika for den almindelige icosagon

Hver af de 20 centrale vinkler måler og hver indre vinkel måles . ${\ displaystyle {\ frac {360 ^ {\ circ}} {200}} = 18 ^ {\ circ}}$ ${\ displaystyle {\ frac {3 \, 240 ^ {\ circ}} {20}} = 162 ^ {\ circ}}$

Hvis $a$ er længden af en kant:

den perimeter er ; ${\ displaystyle P = 20 \, a}$
det område er lig med enten ${\ displaystyle A = 5 \, a ^ {2} \ cot \ left ({\ frac {\ pi} {20}} \ right)}$

{\ displaystyle A = 5 \, a ^ {2} \ left (1 + {\ sqrt {5}} + {\ sqrt {5 + 2 {\ sqrt {5}}}} \ right)}

;

den apothem er værd ; ${\ displaystyle H = {\ frac {2 \, A} {P}} = {\ frac {a} {2}} \ cot \ left ({\ frac {\ pi} {20}} \ right)}$
den radius er værd . ${\ displaystyle R = {\ frac {H} {\ cos \ left ({\ frac {\ pi} {20}} \ right)}} = {\ frac {a} {2 \ sin \ left ({\ frac {\ pi} {20}} \ højre)}}$

Konstruktionsevne

Vi kan bygge icosagon fra decagon (opnået sig selv på en eller anden måde ) på samme måde som vi bygger den sidstnævnte fra pentagon : ved halvering .

Vi kunne forudsige det takket være Gauss-Wantzel-sætningen , da 20 er produktet af 4 ( magt 2 ) med 5 ( Fermats primtal ).

Reference

(in) Eric W. Weisstein , " Icosagon " på MathWorld .

Se også

Relaterede artikler

Ekspression af de trigonometriske linjer for de første multipler på 3 ° (9 ° = $π / 20$ rad )
Hakekors (en simpel ikke-regelmæssig og ikke-konveks icosagon )

Eksternt link

(da) Eric W. Weisstein , “ Trigonometry Angles - Pi / 20 ” , på MathWorld