Udefineret integral

I ægte eller kompleks analyse er en ubestemt integral af en funktion f integrerbar over et interval I en funktion defineret over I ved

F(x)=∫påxf(t)dt+K{\ displaystyle F (x) = \ int _ {a} ^ {x} f (t) \, {\ rm {d}} t + K}

hvor a er et element i I og K en reel eller kompleks konstant.

Når f er kontinuerlig , er F et antiderivativ af f , dvs. derivatet af F giver f ( F '= f ). Derefter har vi for vane at bemærke enhver primitiv af f i formen

F=∫f(x)dx{\ displaystyle F = \ int f (x) \, {\ rm {d}} x}

og forvirre ubestemt integral og primitiv.

Når f ikke er kontinuerlig, er der ingen enkel overensstemmelse mellem ubestemt og primitiv integral, i det mindste så længe det er Lebesgue-integralet . Men andre typer af mere kraftfulde integraler, såsom Kurzweil-Henstock-integralen , gør det muligt at integrere blandt andet enhver funktion, der tillader en primitiv, hvilket sikrer lighed mellem integralet og det primitive op til en konstant .

Tilfælde af den kontinuerlige funktion

Enhver kontinuert funktion på et interval I er integrable på enhver lukket begrænset interval inkluderet i jeg . Den første grundlæggende analysesætning hævder, at for enhver reel a af I er funktionen defineret på I af

F(x)=∫påxf(t)dt{\ displaystyle F (x) = \ int _ {a} ^ {x} f (t) \, {\ rm {d}} t}

er det antiderivative af f, som forsvinder ved a .

Primitiverne for f er derfor de udefinerede integraler

F(x)=∫påxf(t)dt+K.{\ displaystyle F (x) = \ int _ {a} ^ {x} f (t) \, {\ rm {d}} t + K.}

Konstanten K er nødvendig for at dække det sæt af mulige primitiver af f .

Tilfælde af den ikke-kontinuerlige funktion

I fire århundreder, matematikere, fra Torricelli til Kurzweil og Henstock  (en) via Leibniz , Euler , Cauchy , Riemann , Lebesgue , Denjoy og Perron , har bestræbt sig på at finde en stærk forbindelse mellem integreret på den ene side og primitiv d 'et andet sted. Så længe arbejdet udføres på kontinuerte funktioner, forholdet er enkel, og det er Cauchy der giver bevis ( 26 th  lektion Lessons Resumé data til Royal Institute of Technology på Calculus i 1823 ). Når dette resultat er blevet etableret, fokuseres forskningen på tilfældet med ikke-kontinuerlige funktioner. Riemann, derefter Lebesgue, derefter Kurzweil og Henstock bestræber sig på at præsentere definitioner af integrerbarhed, som gør det muligt at udvide forholdet mellem ubestemt integral og primitiv.

Udefineret integral af en Riemann-integrerbar funktion

Den ubestemte integral af en Riemann-integrerbar funktion er altid kontinuerlig. Det kan desuden differentieres på ethvert tidspunkt, hvor den oprindelige funktion er kontinuerlig. Dette resultat demonstreres af Darboux og du Bois Reymond i 1875. Men forholdet mellem ubestemt integral og primitiv bliver løsere. Vi mødes således

• ubestemte integraler, der ikke kan differentieres på nogle få punkter som for heltalets funktion;
• udefinerede integraler, der kan differentieres på, men hvis derivat ikke falder sammen på alle punkter med f. Bare tag for eksempel den konstante funktion lig med 1 undtagen hvor funktionen er 2. Hans ubestemte integrale udtryk for F ( x ) = x + K og derivatet af F i er 1;R{\ displaystyle \ mathbb {R}}x0{\ displaystyle x_ {0}}x0{\ displaystyle x_ {0}}
• ubestemte integraler, der forbliver ikke-afledelige på et tæt sæt  ;
• udefinerede integraler, der kan differentieres på [0, 1], hvis derivat ikke falder sammen med f på et tæt sæt;
• funktioner F , differentierbare undtagen på nogle få punkter, men som ikke er en ubestemt integral af deres afledte: for eksempel heltalets del  ;
• Funktioner F , differentierbar på , men hvis afledte f ikke er Riemann-integrerbar, for hvilken vi ikke kan definere en ubestemt integral. For eksempel er den kontinuerlige fortsættelse i 0 af funktionen differentierbar, af ubegrænsede afledte derfor ikke integrerbare som en funktion på segmentet [0, 1] for eksempel. Bemærk dog, at den forkerte integral af dette derivat i intervallet] 0, 1] er konvergent.R{\ displaystyle \ mathbb {R}}x↦x2synd⁡(1/x2){\ displaystyle x \ mapsto x ^ {2} \ sin (1 / x ^ {2})}

• Diskontinuerlig funktion f (blå) hvis ubestemte integral F (rød) er sådan, at F '(0) og f (0) er forskellige

• Heltalsfunktion (blå), hvis ubestemte integral (rød) ikke altid kan differentieres

• Funktion heltal del (rød), som ikke er ubestemt integreret af dets afledte (blå)

• Funktion x 2 sin (1 / x 2 ) (rød) hvis afledte (blå) ikke er afgrænset i nærheden af ​​0

Udefineret integral af en Lebesgue-integrerbar funktion

Funktionerne Lebesgue-integrable udvider omfanget af integrable funktioner og derfor af ubestemte integraler.

Den ubestemte integral af en Lebesgue-integrerbar funktion er absolut kontinuerlig . Omvendt er en absolut kontinuerlig funktion den ubestemte integral af en Lebesgue-integrerbar funktion.

Den ubestemte integral af en Lebesgue-integrerbar funktion kan differentieres på ethvert punkt, hvor f er kontinuerlig og F ' ( x ) = f ( x ), og mere generelt er det afledt μ-næsten overalt fra derivat f .

Hvis F er differentierbar på I og af Lebesgue-integrerbare derivater, så er F en ubestemt integral af dets derivat. Med andre ord, hvis f er Lebesgue-integrerbar og har et antiderivativ, svarer denne primitive til en ubestemt integral af f .

Men der eksisterer stadig kontinuerlige funktioner F , der kan afledes næsten overalt, hvis afledte er Lebesgue-integrerbar uden dog F at være en ubestemt integral af dets afledte. Et klassisk eksempel på en sådan funktion er Cantor-trappen .

Imidlertid er enhver funktion F med afgrænset variation differentierbar næsten overalt og er summen af ​​en ubestemt integral af F og en funktion G med afgrænset variation på nul derivat μ-næsten overalt.

Funktionerne KH-integreret, men udvider alligevel omfanget af integrerbare funktioner og falder næsten perfekt sammen med forestillingen om primitiv og ubestemt integral.

Hvis F er differentierbar på I , så er F ' KH-integrerbar, og F er en ubestemt integral af dets derivat. Med andre ord, hvis f har primitiver, så er de udefinerede integraler af f .

Hvis f er KH-integreret over I , er enhver ubestemt integral af f kontinuerlig og indrømmer næsten overalt et derivat svarende til f .

Noter og referencer

1. Roger Descombes, Integration , Hermann , Paris, 1972 ( ISBN  2 7056 5712 6 ) , s.  116 .
2. Jean Mawhin , “  Presences of Riemann sums in the evolution of integral calculus  ”, Cahiers du seminaire d'histoire des mathematiques , vol.  4,1983, s.  117-147 ( læs online ) : s. 133.
3. Mawhin 1983 , s.  136.
4. Henri Lebesgue, Lektioner om integration og søgning efter primitive funktioner , 1904, s.  65 .
5. Bertrand Hauchecorne, Modeksemplerne i matematik , Ellipses , Paris, 1988 ( ISBN  2 7298 8806 3 ) , s.  126 .
6. Alain Michel, forfatning for den moderne integrationsteori , Vrin , 1992, s.  108 , forhåndsvisning på Google Bøger .